Портал | Содержание | О на� | �вторам | �ово�ти | Перва� де��тка | Ди�ку��ионный клуб | Чат �аучный форум --> Перва� де��тка "Ру��кого переплета" Темы дн�:

Президенту Путину о �оздании Ин�титута И�тории Ру��кого �арода. |�а� по�етило 40 млн. человек | Чем занимали�ь ру��кие 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или �колько в Ро��ии молодых ученых?

Магнитные моменты барионов в аддитивной кварковой модели

Mагнитный момент ча�тицы �о �пином 1/2 (как вектор и оператор) е�ть

$${\mbox{\boldmath $\mu$}} = \mu {\mbox{\boldmath $\sigma$}},$$

где ${\mbox{\boldmath$\sigma$}}$ - матрицы Паули, дей�твующие на �пиновые переменные ча�тицы. Предполага�, что барионы �о�то�т из трех кварков и что магнитные моменты кварков аддитивно �кладывают�� в магнитном моменте бариона, дл� по�леднего имеем

$${\mbox{\boldmath $\mu$}} = \Sigma_i \mu_i {\mbox{\boldmath $\sigma$}}_i~~~~~~~~~~~~(i = 1,2,3)$$

Зде�ь ${\mbox{\boldmath$\sigma$}}_i$ дей�твуют на �пиновые переменные кварков, вход�щих в �о�тав бариона. Магнитный момент бариона $\mu$ е�ть, по определению, матричный �лемент $z$-компоненты оператора магнитного момента по �о�то�нию бариона � проекцией �пина на о�ь $z$, равной 1/2

$$\mu = <s_z =1/2\vert \mu_z \vert s_z = 1/2>.$$

Дл� вычи�лени� магнитных моментов нам понадоб�т�� волновые функции барионов, найденные в лекции 5. �ачнем � протона

$${\dot p} = \sqrt{\frac23} {\dot u}{\dot u}\d{d}- \sqrt{\frac13}\sqrt{\frac12}({\dot u}\d{u} + \d{u}{\dot u}){\dot d}~~.$$

Мы и�пользуем волновую функцию без �вной �имметризации по третьему кварку (така� �имметризаци� не мен�ет результат). Вычи�л�� матричный �лемент от оператора магнитного момента, получаем

$$\mu_p = \frac23(\mu_u + \mu_u - \mu_d) + \frac26(\mu_u - \mu_u + \mu_d) = \frac13(4\mu_u - \mu_d).$$

Дл� ше�ти других ча�тиц октета ответ выпи�ывает�� моментально, гл�д� на ответ дл� магнитного момента протона

$$\mu_n = \frac13(4\mu_d - \mu_u) ~~~~~~~~~~\mu_{\Sigma^+} = \frac13(4\mu_u - \mu_s)$$

$$\mu_{\Sigma^-} = \frac13(4\mu_d - \mu_s)~~~~~~~~~~\mu_{\Xi^-} = \frac13(4\mu_s - \mu_d)$$

$$\mu_{\Xi^0} = \frac13(4\mu_s - \mu_u)~~~~~~~~~~\mu_{\Sigma^0} = \frac13(2(\mu_u + \mu_d) - \mu_s)$$

Отдельного ра��мотрени� требует $\Lambda$-гиперон. Его волнова� функци� (без �имметризации по пере�тановкам кварков, котора� не мен�ет результат) имеет вид

$${\dot \Lambda} = \frac{1}{\sqrt{2}}({\dot u}\d{d} - \d{u}{\dot d}) {\dot s}~~.$$

Соответ�твенно магнитный момент $\Lambda$-гиперона равен

$$\mu_\Lambda = \frac12(\mu_u - \mu_d + \mu_s - \mu_u + \mu_d + \mu_s) = \mu_s~~.$$

Также отдельного ра��мотрени� требует переходной матричный �лемент оператора магнитного момента $\mu_{\Sigma\Lambda}$, который имеет отношение к радиационному $\Sigma^0 \rightarrow \Lambda + \gamma$ ра�паду (�м. задачу). Дл� �того дополнительно выпишем волновую функцию $\Sigma^0$-гиперона

$${\dot \Sigma}^0 = \sqrt{\frac23} {\dot u}{\dot d}\d{s}- \sqrt{\frac13}\sqrt{\frac12}({\dot u}\d{d} + \d{u}{\dot d}){\dot s}~~$$

и получим

$$\mu_{\Sigma \Lambda} = -\sqrt{\frac13}\frac12(\mu_u - \mu_d +... ...s + \mu_u - \mu_d - \mu_s) = -\sqrt{\frac13}(\mu_u - \mu_d)~~.$$

Магнитные моменты кварков $\mu_u, \mu_d, \mu_s$ можно ра��матривать как параметры и определить их, например, по магнитным моментам протона, нейтрона и $\Lambda$-гиперона $\mu_p, \mu_n, \mu_\Lambda$

$$\mu_u=\frac{4\mu_p+\mu_n}{5} = 1.85~~~~~~ \mu_d=\frac{4\mu_n+\mu_p}{5} = -0.97~~~~~~\mu_s=\mu_\Lambda=-0.61~~.$$

Е�ли бы $SU(3)$-�имметри� была точной, то магнитные моменты кварков были бы пропорциональны их зар�дам

$$\mu_u : \mu_d : \mu_s = \frac23 : -\frac13 : -\frac13 = 2 : -1 : -1~~.$$

По чи�лам видно, что �оотношение $\mu_u : \mu_d = 2 : -1$ выполн�ет�� хорошо $1.85 : -0.97 \approx 2 : -1$, т.е. $SU(2)$-�имметри� - хороша� �имметри�, но �оотношение $\mu_d : \mu_s = -1 : -1$ нарушено значительно $-0.97 : -0.61 \neq -1 : -1$.

Е�ли $\mu_u : \mu_d = 2 : -1$ ($SU(2)$-�имметри�), то $\mu_p : \mu_n = 3 : -2$, что близко к �к�периментальному отношению $\mu_p : \mu_n = 2.79 : -1.91$. Так аддитивна� кваркова� модель �в�зывает магнитные моменты протона и нейтрона.

Сравним, наконец, пред�казани�, о�нованные на $SU(3)$-�имметрии, аддитивной модели и �к�периментальные данные

$\mu_p$	input	input	2.79
$\mu_n$	input	input	-1.91
$\mu_{\Sigma^+}$	2.79	2.67	2.42
$\mu_{\Sigma^-}$	-0.88	-1.09	-1.16
$\mu_{\Xi^-}$	-0.88	-0.49	-0.68
$\mu_{\Xi^0}$	-1.91	-1.43	-1.25
$\mu_{\Lambda}$	-0.96	input	-0.61
$\mu_{\Sigma\Lambda}$	1.65	1.63	1.61

Видно, что �огла�ие улучшает��, но ра�хождени� о�тают��. Отметим, что гипотеза аддитивно�ти е�те�твенна, но не безу�ловна. Глюонные поправки на взаимодей�твие кварков, например, дают неаддитивные вклады. Эти вклады улучшают �огла�ие � �к�периментом.