Портал | Содержание | О на� | �вторам | �ово�ти | Перва� де��тка | Ди�ку��ионный клуб | Чат �аучный форум --> Перва� де��тка "Ру��кого переплета" Темы дн�:

Президенту Путину о �оздании Ин�титута И�тории Ру��кого �арода. |�а� по�етило 40 млн. человек | Чем занимали�ь ру��кие 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или �колько в Ро��ии молодых ученых?

Барионы

Барионы �о�то�т из трех кварков. Их волнова� функци�, пред�тавленна� тензором $B^{\alpha\beta\gamma}$, приводима. �е вдава��ь в детали, опишем разбиение тензора $B^{\alpha\beta\gamma}$ на неприводимые ча�ти. �ачнем � того, что разобьем тензор $B^{\alpha\beta\gamma}$ на две ча�ти, одна из которых �имметрична, а друга� анти�имметрична по индек�ам ${\alpha\beta}$

$$B^{\alpha\beta\gamma} = B^{\left\{\alpha\beta\right\}\gamma}+ B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}$$

�нти�имметричную ча�ть � помощью инвариантного тензора $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ пред�тавим в �квивалентном виде

$$B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}\rightarrow {B^\gamma}_{\ga... ...{\alpha\beta{\gamma^\prime}} B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}$$

Тензор ${B^\gamma}_{\gamma^\prime}$ аналогично тензору ${Q^\alpha}_\beta$ дл� мезонов разбивает�� на октетную и �инглетную ча�ти

$${B^\gamma}_{\gamma^\prime} = {B^\gamma_0}_{\gamma^\prime} + \... ...\epsilon_{\alpha\beta\delta} B^{\left[\alpha\beta\right]\delta}$$

Е�ли теперь вернуть�� к тензору

$$B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma} = \frac12\epsilon^{\alpha\beta{\gamma^\prime}}{B^\gamma}_{\gamma^\prime},$$

то �инглет будет опи�ывать�� тензором

$$\frac16\epsilon^{\alpha\beta\gamma}B,$$

где

$$B = \epsilon_{\alpha\beta\gamma}B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}.$$

Т.о. �инглет пред�тавл�ет полно�тью анти�имметричную ча�ть первоначального тензора $B^{\alpha\beta\gamma}$.

Симметричную ча�ть $B^{\left\{\alpha\beta\right\}\gamma}$ далее можно либо �имметризовать по индек�ам $\beta\gamma$, получив полно�тью �имметричный тензор $B^{\left\{\alpha\beta\gamma\right\}}$ (10 незави�имых компонент - декуплет), либо анти�имметризовать по индек�ам $\beta\gamma$

$$B^{\left\{\alpha\beta\right\}\gamma} = B^{\left\{\alpha\beta\... ...a\right\}} + B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]}$$

Тензор $B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]}$ также � помощью инвариантного тензора $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ пред�тавим в �квивалентном виде

$$B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]}\rightarrow ... ...}\beta\gamma} B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]}$$

Тензор ${B^{\prime\alpha}}_{\alpha^\prime}$ пред�тавл�ет �обой чи�то октетный тензор, т.к. его �лед равен нулю ( ${B^{\prime\alpha}}_{\alpha} = \epsilon_{{\alpha}\beta\gamma} B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]} = 0$). В итоге мы получили разбиение волновой функции $B^{\alpha\beta\gamma}$ на �имметричный декуплет, анти�имметричный �инглет и два октета �о �мешанной �имметрией. Запишем результат в �ледующем виде

$$3\times3\times3 = \begin{tabular}{cccc} S&M&M&A\\ 10~+&$8^\prime~+$&8~+&1\\ & & & \end{tabular}.$$

Е�ли �равнить �тот результат � �к�периментально наблюдемыми унитарными мультиплетами о�новных �о�то�ний барионов (декуплет барионов �о �пином 3/2 и октет барионов �о �пином 1/2), то можно заметить, что октет �реди них при�ут�твует в един�твенном чи�ле, а �инглет от�ут�твует. Причина �того �о�тоит, как мы �ейча� увидим, в принципе Паули, которому подчин�ют�� �о�тавл�ющие кварки. �апишем волновую бариона в �ледующем виде

$$\Psi = \begin {array}{c} S~~~~~~~~~~~~~~~~~A~~~~~~~~~~~~~S~~~... ...ma} \times\Psi(s_1,s_2,s_3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{array},$$

где первый множитель в произведении пред�тавл�ет координатную волновую функцию кварков, �имметричную по пере�тановкам координат кварков (дл� о�новного �о�то�ни� бариона);
второй множитель пред�тавл�ет цветовую волновую функцию кварков, анти�имметричную по пере�тановкам цветовых переменных $c_1,c_2,c_3$ ("белый" барион, �инглет в цветовой группе $SU(3)$, �р. � �инглетом в флейверной(унитарной) группе $SU(3)$);
$B^{\alpha\beta\gamma}$ - флейверна� волнова� функци� кварков, �имметрию которой дл� разных пред�тавлений мы только что опи�али;
$\Psi(s_1,s_2,s_3)$ - �пинова� волнова� функци�, �имметрию которой опишем аналогично тому как �то было �делано дл� флейверной волновой функции

$$2\times2\times2 = \begin{tabular}{ccc} S&M&M\\ 4~+&$2^\prime~+$&2~\\ & & \end{tabular}.$$

�нти�имметри� полной волновой функции, как видно, будет до�тигнута, е�ли �делать �имметричным произведение флейверной и �пиновой волновых функций. Один �по�об очевиден: вз�ть декуплет �о �пином 3/2. Другой �по�об (октет �о �пином 1/2) не �толь очевиден,по��ним его �ледующим образом. Е�ли флейверные и �пиновые переменные ра��матривать одновременно, �овме�тный индек� будет иметь 6 значений: $u, d, s$ - кварки �о �пинами "вверх-вниз". Дл� �того �овме�тного индек�а полно�тью �имметричный тензор третьего ранга �одержит $\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} = 56$ незави�имых компонент. Сорок из них - �то декуплет �о �пином 3/2 ($10\cdot 4$). О�тают�� 16 компонент, которые не могут не пред�тавл�ть октет �о �пином 1/2 ($16 = 8\cdot 2$).
Таким образом принцип Паули отбирает возможные унитарные мультиплеты и �пины о�новных �о�то�ний барионов. Заметим еще раз,что дл� унитарного �инглета нет ме�та �реди о�новных �о�то�ний барионов.