TopList Яндекс цитирования
Русский переплет
Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Научный форум
-->
Первая десятка "Русского переплета"
Темы дня:

Нас посетило 38 млн. человек | "Русскому переплёту" 20 лет | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Обращение к Дмитрию Олеговичу Рогозину по теме "космические угрозы": как сделать систему предупреждения? | Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?
Rambler's Top100

Дальше: библиография

Николай Никитин


Волновая механика Шредингера.
(к 75-летию создания)


Предыстория и первое сообщение




Настоящая статья посвящена 75-летию создания Шредингером волновой механики в 1926 году. Предполагаются три части. В первой, которую Вы читаете сейчас, кратко освещена история создания матричной механики Гейзенберга-Борна-Иордана, которая предшествовала волновой механике Шредингера, дан подробный пересказ с комментариями первой статьи Шредингера по волновой механике и сделана попытка ответить на вопрос, почему нестрогий первоначально даже логически противоречивый волновой подход Шредингера сразу получил признание ведущих физиков своего времени, в то время как логически и математически безупречный подход "геттингенской школы" не нашел приличиствующего ему понимания и одобрения.

Исторически сложилось так, что создание современной квантовой теории шло как бы двумя независимыми и очень отличными друг от друга путями. То, что оба эти пути в конце концов привели к созданию единой теории микромира, подтвержденной в настоящее время не одной сотней различных экспериментов, должно свидетельствовать в пользу существования объективных законов, определяющих внутреннюю логику развития естественных наук.

Первый путь связывает между собой физиков "боровского толка", большинство из которых на момент создания квантовой теории работало в Геттингенском университете в Германии, и может быть прослежен от пионерской работы 1913 года знаменитого датского физика Нильса Бора, в которой он сформулировал свои знаменитые квантовые постулаты. В этих постулатах был фактически обозначен тот путь, по которому последователи и ученики Н.Бора, прежде всего, самый гениальный из них Вернер Гейзенберг, пришли к созданию во второй половине 1925 года формализма матричной механики. Этот путь связан с идеей рассмотрения микрочастиц, по сути, только как карпускул и описания процессов взаимодействия между ними исключительно с использованием тех понятий, которые могут быть измерены непосредственно в эксперименте. При этом переход микросистемы из начального состояния в конечное происходит по средствам некоего загадочного квантового скачка, а вопросы типа "Каково состояние электрона в то время, когда он после акта излучения переходит в атоме с одной боровской орбиты на другую?" объявлялись не имеющими физического смысла, поскольку состояние электрона, без его существенного изменения, в момент перехода не может быть измерено ни одним физическим прибором.

Первая работа Гейзенберга [1] поступила в редакцию одного из ведущих в то время научных журналов "Zeitschrift für Physik" 29 июля 1925 года. Этот день принято считать днем рождения современной квантовой механики. В своей работе Гейзенберг, во-первых, доказал, что если верен комбинационный принцип Ритца для спектра частот излучения атома, то это противоречит классическому понятию движения электрона по определенной траектории внутри атома, во-вторых, показал, что те математические величины ("представители" по Гейзенбергу), которые в новой теории должны соответствовать наблюдаемым на опыте физическим величинам, в общем случае не коммутируют друг с другом, в-третьих, опираясь на теорию дисперсии Крамерса, разработанную за год до этого, получил комутационное соотношение, которому должны удовлетворять представители координаты и импульса микросистемы (в современной операторной записи это хорошо известное соотношение ${\rm [\hat x,\hat p]=i\hbar}$) и, в-четвертых, пользуясь разработанным методом, Гейзенберг нашел квантовые уровни энергии линейного гармонического осцилятора и осцилятора с ангармонической добавкой вида $\Delta W= m\,\lambda\, x^3/3$.

Научный руководитель Гейзенберга известный немецкий физик-теоретик Макс Борн очень быстро понял, что введенных Гейзенбергом представителей можно отождествить с эрмитовскими матрицами, а квантовые уровни энергии являются ни чем иным, как собственными значениями эрмитовской матрицы гамильтониана системы. В Геттингене Борн нашел молодого талантливого математика Паскуаля Иордана, который хорошо знал матричное исчисление, и, в соавторстве с ним, а за тем и с Гейзенбергом, быстро написал две статьи [2], в которых, по существу, изложен полный курс линейной алгебры, адаптированный к решению задач новой механики, которая с тех пор получила название матричной. Для понимания сути проблеммы, необходимо обратить внимание на то, что в первой четверти XX века теория матриц отнюдь не входила в стандартные университетские курсы даже для математиков и, тем более, была не известна подавляющему большенству физиков-теоретиков. Например, в теоретической механике вместо матричного исчисления вплоть до второй половины XX века господствовал громоздкий координатный метод. Даже Гейзенберг, получивший основное университетское образование в Мюнхене у самого Арнольда Зоммерфельда (Помните, нет Бога кроме Бора и Зоммерфельд пророк его?), не знал, что такое матрица, и самостоятельно выдумал матричное исчисление, исходя только из физических требований, которые предъявляются к микросистеме. Говорят, что когда об этом узнал другой "молодой тигр" от физики Вольфганг Паули, то воскликнул: "Господи, какой ГЕНИАЛЬНЫЙ невежа, этот Гейзенберг!" Последняя точка в проверке правильности основных принципов матричной механики была поставлена 17 января 1926 года, когда в редакцию журнала "Zeitschrift für Physik" поступила статья все того же Паули "О спектре водорода с точки зрения новой квантовой механики" [3]. В этой работе сколь успешно столь и изящно решена задача о диагонализации гамильтоновой матрицы водородоподобного атома и исследовано поведение атома во внешних полях. С математической точки зрения задача оказалась невероятно трудной. Стоит заметить, что другой знаменитый теоретик Поль Адриен Морис Дирак поторпел неудачу, пытаясь ее решить. На этом, по существу, построение квантовомеханической теории можно было считать завершенным.

Однако, вопреки впечатляющим результатам как при объяснении явлений микромира, так и при разработке математического аппарата, матричная механика встречалась в штыки многими физиками того времени. На то существовало несколько причин. Первой в их ряду стоит назвать трудность с пониманием непривычного математического аппарата теории, отсутствие универсального алгоритма нахождения значений наблюдаемых величин для любых квантовых задач. Из-за этого матричную механику называли "типичным образцом геттингенской учености", что с обтекаемого немецкого на понятный русский можно перевести как "страшная заумь, выдуманая на нашу голову геттингенскими занудами". Второй причиной, несомненно, являлось то, что физический смысл теории был абсолютно не прояснен. Людей со знанием классической физики особенно нервировали все эти непонятные квантовые скачки и "загадочная" дискретность, которые не имеют аналогов в классике, но со времен Планка прочно угнездились в физике. А теперь к ним добавилась новая беда: невозможность приписать микрочастице определенную траекторию движения. Понадобилось еще около десяти лет, чтобы достаточно прояснить статус квантовых скачков и траекторий микрочастиц в созданной Бором и Гейзенбергом копенгагенской интерпретации квантовой механики. Хотя полной ясности в этом вопросе нет до сих пор. Квантовая теория - единственная физическая теория, которая имеет не одну, а не менее четырех (!) различных физических интерпретаций используемого в ней математического аппарата. Необходимо отметить, что хотя в матричной механике много внимания уделялось собственным значениям эрмитовских матриц и их физическому смыслу, но никто в то время не задумывался о физическом смысле набора собственных векторов, отвечающих данным собственным значениям, в базисе которых эрмитовская матрица имеет диагональный вид! Не последнюю роль в холодном приеме новой механики, видимо, сыграло и неприязненное отношение одного из величайших немецких физиков-экспериментаторов Вильгельма Вина лично к Вернеру Гейзенбергу. Дело в том, что за несколько лет до описываемых событий Гейзенберг позорно провалился на экзамене у Вина, показав свое полное незнание основных экспериментальных методов физики того времени. Только личная просьба Зоммерфельда спасла Гейзенберга от реальной возможности остаться без университетского диплома. С тех пор и до конца своей жизни Вин считал Гейзенберга молодым выскочкой-неучем.

Таким образом, многие физики по разным причинам не приняли матричную теорию Гейзенберга-Борна-Иордана и страстно желали, чтобы со временем (лучше, как можно скорее!) она была заменена другой теорией микромира, в которой не осталось бы места этим ужасным квантовым скачкам, матрицам и тому подобной жути, чтобы эта другая теория хотя бы отдаленно напоминала прежние уютные теории с их непрерывностью, определенными траекториями и привычными дифференциальными уравнениями, описывающими эти траектории.

Именно в ситуации подспудного ожидания большинством физиков появления "новой-старой" теории микромира 27 января 1926 года в редакцию немецкого физического журнала "Annalen der Physik" поступила первая из целой серии работ австрийского физика Эрвина Шредингера, в которой, как ошибочно могло показаться сначало, содержится столь желанное решение всех проблем. Статья называлась "Квантование как задача о собственных значениях" ("Quantisierung als Eigenwertproblem"). В этой работе и пяти последующих Шредингером были заложены основы волновой механики. Спустя 35 лет Макс Борн писал: "Что существует более выдающегося в теоретической физике, чем его (Шредингера - Н.Н.) первые шесть работ по волновой механике?" ([4] стр.384). В "первые шесть работ" Шредингера, буквально воспетые Борном, входят четыре статьи под общим названием "Квантование как задача о собственных значениях", первую из которых мы подробно разберем ниже, работа "Об отношении квантовой механики Гейзенберга-Борна-Иордана к моей", в которой показана математическая эквивалентность матричной и волновои механик, и работа "Непрерывный переход от микро- к макромеханике"- самая слабая в цикле, но сильно повлиявшая на взгляды самого Шредингера, который почти до конца своей жизни пытался строить компактные волновые пакеты, которые бы соответствовали движению микрочастиц, так как это впервые было им проделано в "Непрерывном переходе..." для частного случая потенциала гармонического осцилятора. Основные работы Э.Шредингера переведены на русский язык и опубликованы в двух сборниках [4,5]. Помимо этого, их подробный пересказ дан в книге А.И.Ансельма [6].

Работы Шредингера являются венцом второго подхода к построению квантовой теории, который условно можно вести от Макса Планка и Альберта Эйнштейна через фигуру Луи де Бройля к Эрвину Шредингеру. Если физики "боровского толка" вслед за своим учителем, поскольку этого требовали результаты экспериментов, смело уходили от берегов классической физики в таинственное матричномеханическое море, то представители второго подхода словно греческие мореплаватели пробирались в незнакомые земли внутриатомных явлений ни на секунду не упуская из вида спасительный берег классической физики. Если "боровцы" делали упор на карпускулы и квантовые скачки, то "эйнштенианцы" (будем называть их так, поскольку зримое или незримое присутствие Эйнштейна связывало их между собой) на плавные переходы и волновую природу микромира. Если Бор, Борн, Гейзенберг, Паули и Иордан хорошо знали друг друга и создавали матричную механику в атмосфере непрерывного общения и обмена идеями, то Планк, Эйнштейн, де Бройль и Шредингер оставались талантливыми одиночками, а их личное знакомство состоялось уже после того, как волновая механика была создана. И если матричную механику логически безукоризненную и математически безупречную более чем настороженно встретили в широких кругах физиков, то волновой механике оказали самый восторженный прием, начиная уже с самой первой логически весьма противоречивой и странной статьи Шредингера. С высоты современного понимания квантовых процессов можно утверждать, что оба подхода "боровский" и "эйнштейновский" внесли примерно равный вклад в становление квантовой механики. Но, как это не странно, формальный матричный подход в конечном итоге содействовал именно большему прогрессу в понимании физического содержания квантовой теории, а интуитивистские построения волновой механики являются основой практически всех вычислительный достижений квантовой теории. Суммируя все вышеизложенное, можно сказать, что оба пути создания квантовой механики являются как бы взаимно дополнительными друг к другу в том смысле, который вкладывал в это понятие Н.Бор.

Говорят, что когда великому немецкому математику Давиду Гильберту рассказали о матричной механике, он заметил, что матрицы обычно возникают при решении краевых задач теории дифференциальных уравнений. И это замечание было отнюдь не случайным. В то время различные линейные и нелинейные дифференциальные уравнения составляли основу математического аппарата теоретической физики. Классическая механика, теория теплоты, теория колебаний, электродинамика и даже теория относительности - все они базировались на получении и решении (точном или приближенном) различных типов дифференциальных уравнений. Львиная доля математиков начиная где-то с середины XIX века занималась созданием методов решения дифференциальных уравнений и изучением свойств получившихся решений. Даже Общая теория относительности с ее тензорным аппаратом в пространстве Римана удобно укладывалась в привычную схему, приводя только к усложнению вычислений, но не к переоценке фундаментальной роли дифференциальных уравнений в изучении природы. И тут грянула матричная механика: коммутационные соотношения, диагонализация матриц, унитарные преобразования. Ничего общего с привычной схемой. Удар, шок, пусть даже не вполне осознаный и сформулированный, да еще помноженный на необходимость осваивать все примудрости матричного исчисления! Поэтому, когда вдруг появляется статья, в которой уважаемый и известный профессор Цюрихского университета Эрвин Шредингер, зарекомендовавший себя рядом весьма заметных работ в области кинетической теории газов, статистической механики, физики непрерывных сред, физической оптики и общей теории относительности (последние заслужили весьма высокую оценку А.Эйнштейна), пишет работу, в которой с первых строчек утверждает, что вней он "... собирается показать на простейшем примере нерелятивистского свободного атома водорода, что обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо "целых чисел", что целочисленность "получается при этом единственным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны (вот, вот она - такая долгожданная аналогия с классической физикой!)", что это "новое представление может быть обобщено" и "что оно тесно связано с ИСТИННОЙ ПРИРОДОЙ КВАНТОВАНИЯ", то любому "классическому" физику с радостью хочется верить в подобные заверения маститого профессора.

Прежде, чем идти дальше, разберем, что Шредингер понимал под "обычными правилами квантования". Казалось бы, что из всего вышесказанного о матричной механике с необходимостью следует, что под "обычными правилами" Шредингер как раз и понимает правила для нахождения собственных значений матрицы Гамильтона в теории Гейзенберга-Борна-Иордана. Но если даже для самих авторов матричной механики данные правила сложны и непривычны, то с какой стати они вдруг становятся "обычными" для ученого, весьма далекого от проповедников новой "геттингенской учености"? Таким образом, первое "очевидное" предположение не верно. Более того, к моменту написания своей статьи Шредингер мог, разве что, знать о самой первой работе Гейзенберга, которая, хотя и поступила в редакцию "Zeitschrift für Physik" еще 29 июля, но была опубликована только в конце года (все, кто имел дело с публикациями своих научных статей могут подтвердить, что такая задержка вполне обычна: пока отрецезируют, пока наберут, пока гранки пришлют, пока отпечатают, именно поэтому в вопросах преоритета важную роль играет то, когда статья поступила в редакцию, а не когда была напечатана), а две статьи, в которых матричная механика формулируется строго [2], даже теоретически Шредингеру известны быть не могли, поскольку вышли из печати в первой половине 1926 года, то есть тогда, когда основа волновой механики уже существовала. Всвязи с этим нам кажется неправильным следующее замечание авторов недавно вышедшей книги [7] на стр.59: "Можно думать, Шредингер искренне считал, что он создал новую теорию атомных явлений. Во всяком случае это вполне объясняет упорное нежелание замечать предшественников. В его статье нет ссылок на Гейзенберга, Борна и Иордана, и даже Паули, который уже решил задачу Кеплера". Да их и не могло быть! Более того, после сопоставления дат не вызывает никакого сомнения, что статья Паули появилась в редакции "Zeitschrift..." уже ПОСЛЕ того, как статья Шредингера была послана в "Annalen ...". А опубликованы обе вообще во второй половине 1926 года. Кстати, ссылки на работы по матричной механике появляются уже во второй статье Шредингера, а четвертая по счету его работа целиком посвящена поиску соответствия между матричной и волновой механиками. Можно предположить, что Зоммерфельд, которого во второй статье Шредингер благодарит за "дружеское письмо" с полезной информацией, как раз и сообщил Шредингеру о достижениях геттингенцев. Чтобы закрыть тему, отмечу, что вцелом в очень хорошей и современной книге [7] авторы явно симпатизируют Гейзенбергу и фон Нейману, их выдающимся достижениям и, можно сказать, враждебно относятся к неменее гениальным результатам Шредингера, всячески пытаясь принизить их оригинальность и значимость. Подобная предвзятость во многом портит общее впечатление от книги.

Но вернемся к вопросу, что же понимал Шредингер под "обычными правилами квантования"? Если более детально ознакомиться с историей квантовой теории, то на поставленный вопрос может появиться только один ответ. Шредингер имел ввиду (квазиклассическое) правило квантования Бора-Зоммерфельда

\begin{displaymath}
\oint\, p_i d\, q_i = h\, n_i,
\end{displaymath} (1)

где $q_i$ и $p_i$ - $i$-ые компоненты обобщенных координат и обобщенных импульсов системы, $h$-постоянная Планка, а $n_i$-некоторое целое число. Данное правило квантования было постулированно Зоммерфельдом в 1916 году как естественное обобщение теории атома Бора и к 1925 стало "обычным", но требование целочисленности в (1) продолжало оставаться загадочным и необъяснимым. Именно с этим правилом связанны все успехи "наивной квантовой теории" до фундаментальных работ Гейзенберга и Шредингера, в которых содержалась новая квантовая теория. Заметим, что новая квантовая механика прояснила смысл правила квантования Бора-Зоммерфельда и указала на его приближенность. Для получения более подробной информации заинтересованному читателю можно рекомендовать книги [6] и [8].

Таким образом, изначально в своей работе Шредингер пытался прояснить сущность правила квантования Бора-Зоммерфельда и избавиться от загадочной постулативной целочисленности именно в (1). Но так сложилось, что за время между написанием и публикацией первой работы по волновой механике, у новой теории Шредингера появился иной более подготовленный и грозный оппонент - теория Гейзенберга-Борна-Иордана. Именно в качестве "спасительной альтернативы от ужасов матричной механики" волновая механика Шредингера и была воспринята современниками.

Наконец перейдем к разбору важнейших положениям первой работы Шредингера по волновой механике. Шредингер, подобно Зоммерфельду, начинает формулировать свой рецепт квантования с хорошо известного в начале XX века любому физику с классическим образованием уравнения Гамильтона-Якоби для консервативной системы:

\begin{displaymath}
H\left (q,\,\frac{\partial\, S}{\partial\, q} \right )\, =\, E.
\end{displaymath} (2)

Под $q$ Шредингер понимает совокупность всех обобщенных координат рассматриваемой системы, $S$-действие или укороченное действие, что для случая консервативной системы не играет большой роли, частная производная действия по координате представляет собой обобщенный импульс, а $E=const$ - энергия стационарного уровня. Ясность и прозрачность исходного принципа, который положен Шредингером в основу своей теории, с самого начала делает ее более предподчтительной для восприятия широкими кругами физиков, нежели безусловная оригинальность, но определенная сложность исходного принципа матричной механики Гейзенберга.

Ищется решение $S(q)$ дифференциального уравнения (2), "представляющее собой сумму функций, каждая из которых зависит только от одной из независимых переменных $q$". Подобный подход к решению уравнения (2) тоже является стандартным для своего времени. Следующим шагом Шредингер производит замену переменных в (2). Он вводит новую функцию $\psi$ согласно условию:

\begin{displaymath}
S\, =\, K\,{\rm ln}\,\psi .
\end{displaymath} (3)

Из свойств логарифмов следует, что функция $\psi$ имеет "вид произведения функций, зависящих только от одной координаты". Таким образом впервые в физику была введена волновая функция микрочастицы, хотя в рассматриваемой работе Шредингера этот термин еще отсутствует. По смыслу преобразования (3), функция $\psi$ должна быть действительной и безразмерной, однако специально эти условия в статье не оговариваются. Несколько позже физики поймут, что в общем случае волновая функция может быть комплексна, а потому замена переменных (3) некорректна.

Вообще говоря, с комплексностью волновой функции Шредингер должен был столкнуться уже в своей первой работе, поскольку решение уравнения (8) для атома водорода в сферических координатах $r$, $\theta$, $\varphi$ имеет следующий вид ([9] стр.206):

\begin{displaymath}
\psi_{nlm}(r,\theta ,\varphi)=\chi_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta ,\varphi),
\end{displaymath}

где $\chi_{nl}(r)$-радиальная волновая функция, $Y_{lm}(\theta ,\varphi)=\Theta_l(\theta)\, e^{im\varphi}$-шаровая функция, в которой сосредоточена вся зависимость от углов, $n$-главное квантовое число, $l$-орбитальное квантовое число (напомним, что если главное квантовое число задано, то орбитальное квантовое число может принимать значения $l$=0, 1, 2, ... $n-1$), $m$-магнитное квантовое число (которое при заданном $l$ равно $m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\, ...\,\pm l$). Поэтому, в случае, когда $m\ne 0$ и $\varphi\ne 0$, шаровая функция, а вместе с ней и волновая функция $\psi$ стационарного состояния атома водорода, комплексны.

Однако, в обсуждаемой статье Шредингер хотя и упоминает дважды о шаровых функциях (в первый раз они ему нужны, чтобы показать целочисленность орбитального квантового числа $l$), но ни где явно их не выписывает, а о магнитном квантовом числе не упоминает вовсе. Такой подход вызывает определенное удивление. Более того, по все видимости, сам Шредингер впервые столкнулся с комплексностью волновой функции только тогда, когда в следующих своих работах исследовал развитие квантовой системы во времени. Но, даже, не смотря на это, еще достаточно долгое время утверждал: "Неприятно - против этого даже следует возражать - применение комплексных чисел. $\psi$ все-таки реальная функция..." (см. [4], стр.204).

Проследим далее за ходом мыслей и формой изложения Э.Шредингера. "Постоянную $K$ приходится ввести из соображений размерности, согласно которым она доолжна обладать размерностью действия. Таким образом получаем соотношение

\begin{displaymath}
H\left (q,\,\frac{K}{\psi}\,\frac{\partial\,\psi}{\partial\, q} \right )\, =\, E.
\end{displaymath} (4)

... При пренебрежении изменениями массы уравнение (4) можно всегда свести, по крайней мере в случае одноэлектронной проблемы, к слудующему виду: квадратичная форма от функции $\psi$ и ее первых производных равна нулю." Например, для электрона в атоме водорода в прямоугольных координатах данная квадратичная форма имеет вид:

\begin{displaymath}
\frac{p^2_x}{2m}+\frac{p^2_y}{2m}+\frac{p^2_z}{2m}-\frac{e^2}{r}-E\, =\, 0,
\end{displaymath}

где $\psi = \psi (x,y,z)$, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $m$-масса электрона, $e$-его заряд. После очевидных преобразований можно записать (учитываем, что $p_i=\partial S/ \partial q_i = (K/\psi)(\partial\psi /\partial q_i)$):
\begin{displaymath}
\left (\frac{\partial\,\psi}{\partial\, x} \right )^2+
\left...
...t )^2-
\frac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\psi^2=0.
\end{displaymath} (5)

Следующая фраза является ключевой для всей первой работы Шредингера по волновой механике. "Ищем такую действительную (лишнее подтверждение того, что волновая функция не считается комплексной - Н.Н.) во всем конфигурационном пространстве однозначную ограниченную и всюду дважды дифференцируемую функцию $\psi$, которая дает экстремальное значение интегралу от упомянутой квадратичной формы (то есть формы (5)-Н.Н.), распространенному по всему крнфигурационному пространству. Эта вариационная проблема и заменяет у нас квантовые условия." Указанная вариационная проблема для атома водорода имеет вид:

\begin{displaymath}
\delta J =\delta\,\int\int\int\, dx\, dy\, dz\,
\left [
\lef...
...rac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\psi^2
\right ]=0.
\end{displaymath} (6)

"Интеграл берется сдесь по всему пространству. Обычным способом отсюда получаем
\begin{displaymath}
\frac{1}{2}\,\delta J\,
=\,\int\, df\,\delta\psi\,\frac{\par...
...ac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\,\psi
\right ] =0.
\end{displaymath} (7)

Следовательно, должно быть, во-первых, справедливо уравнение
\begin{displaymath}
\Delta\psi+\frac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\,\psi =0,
\end{displaymath} (8)

и, во-вторых, должен равняться нулю распространенный по всей бесконечно удаленной замкнутой поверхности интеграл"
\begin{displaymath}
\int\, df\,\delta\psi\,\frac{\partial\psi}{\partial n}=0,
\end{displaymath} (9)

где $df$-элемент бесконечно удаленной поверхности, а $n$-нормаль к поверхности.

Вот и все. Получившееся таким образом уравнение (8) теперь называют стационарным уравнением Шредингера для атома водорода в координатном представлении. Оно допускает очевидное обощение на любое потенциальное поле и является одной из двух вершин работы Эрвина Шредингера как физика-теоретика. Потом последуют теория возмущений и нестационарное уравнение (вторая вершина), многочисленные приложения к конкретным проблемам микромира, обобщения для частиц со спином и релятивистских частиц, но именно при помощи уравнения (8) был совершен решающий прорыв в понимании законов микромира.

Осталось еще много вопросов, на которые хотелось бы получить ответы. Во-первых, что делать с уравнением (5), ведь совершенно очевидно, что решения уравнений (5) и (8) различны? Во-вторых, зачем понадобилось практически на пустом месте вводить вариационный принцип (6), который по загадочности своего происхождения может поспорить с правилом квантования Бора-Зоммерфельда? Фактически выходит так, что не существует прямого логического перехода от уравнений Гамильтона-Якоби (4) к вариационному принципу (6). И, наконец, каков физический смысл введенной в результате замены переменных (3) загадочной функции $\psi$? Ни на один из этих вопросов, возможно, исключая последнего, первая статья Шредингера не дает четкого ответа. Поэтому возникает подозрение, что на самом деле Шредингер получил уравнение (8) каким-то иным способом, а потом, уже зная правильный ответ, попытался вывести его более наукообразно методами, наиболее распространенными в теоретической физике начала XX века. В пользу подобного предположения свидетельствует целый ряд фактов.

Факт первый. Совершенно неожиданно, по крайней мере из логики статьи это не следует, при попытке обозначить физическое содержание функции $\psi$, Шредингер пишет: "Довольно естественно связывать функцию $\psi$ с некоторым колебательным процессом в атоме, в котором реальность электронный траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомнению (что это, намек на статью [1] Гейзенберга?)." И далее: "Я сначала тоже хотел обосновать новое понимание квантовых правил, используя указанный сравнительно наглядный путь, но потом предпочел рассмотренный в статье чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить все существенные стороны вопроса. Существенным мне кажется то, что квантовые правила не вводятся больше как загадочное "требование целочисленности" (см. уравнение (1) - Н.Н.)а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственной функции (все, держась привычного берега, греческие мореходы приплыли в новые земли! - Н.Н.)."

Факт второй. Практически впрямую называется и путь, по которому Шредингер пришел к уравнению (8) первоначально - отталкиваясь от "безумной" и в то время еще твердо не подтвержденной экспериментально гипотезы Л. де Бройля о волнах материи (вспомните, результаты опытов Дэвиссона и Джермера стали известны только в 1927 году): "Прежде всего, нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, который привел к появлению приведенных сдесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении "фазовых волн"... Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распростроняющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания (в то время, как у де Бройля рассматриваются бегущие волны материи в вакууме - Н.Н.)." Замечательно, но тогда при чем тут уравнения Гамильтона-Якоби и вариационный принцип? Исчерпывающий ответ дается во второй статье Шредингера из цикла "Квантование как задача о собственных значениях", которую мы надеемся детально разобрать в следующей заметке. В ней уравнение (8) получается абсолютно другим способом при помощи применения к нерелятивистским волнам материи Л. де Бройля оптико-механической аналогии Гамильтона. Способ легкий, красивый, очень логичный, но математически не строгий в противовес "не ясного самого по себе преобразования (3) и столь же не ясного перехода от приравнивания нулю некоторого выражения к требованию того, чтобы пространственный интеграл от этого же выражения был стационарным (это собственные слова Шредингера из второй статьи, в которой он комментирует первую! - Н.Н.)". Кроме того, сохранилось множество исторических свидетельств, в которых коллеги Шредингера настаивают, что все началось именно с оптико-механической аналогии Гамильтона, примененной для более ясного понимания сущности идеи волн материи Л. де Бройля [8].

Однако, вернемся к первой работе. Что еще в ней сделано? Почти на девяти страницах Шредингер проводит анализ уравнения (8) в полярных координатах как при $E > 0$, так и при $E\le 0$. Мы не будем его сдесь подробно воспроизводить, поскольку данный анализ можно найти в любом учебнике по квантовой механике, например, в [9]. Шредингер установил, что в случае $E > 0$ спектр носит непрерывный характер, а в cлучае $E\le 0$ вариационная задача имеет решения тогда и только тогда, когда значение $E$ удовлетворяет условию

\begin{displaymath}
E_n=-\,\frac{m\, e^4}{2K^2n^2},
\end{displaymath} (10)

где $n$-произвольное целое число. Из сравнения (10) и спектра, полученного Н.Бором для атома водорода, Шредингер заключает, что $n$ можно отождествить с главным квантовым числом (введеным Бором еще в 1913 году), если положить $K=h/2\pi$. В настоящее время постоянная $K$ носит название перечеркнутой постоянной Планка или дираковской постоянной и обозначается $\hbar$. Далее в работе приводится общая формула для радиальной части волновой функции $\chi_{nl}$, и исследуется кратность вырождения $\psi$ по $n$ и $l$: "Подсчет числа постоянных в шаровых функциях показывает, что найденое решение содержит при допустимых комбинациях ($n$,$l$) ровно $2l+1$ произвольных постоянных; при заданном значении $n$ число произвольных постоянных равно, таким образом, $n^2$". Если же учесть спин электрона, о существовании которого в конце 1925 - начеле 1926 года было не известно, то кратность вырождения каждого энергетического уровня $E_n$ будет равна $2n^2$. В этом месте во второй и последний раз в работе появляется упоминание о шаровых функциях, но опять по непонятной причине не принимается во внимание, что при $l\ne 0$ эти функции могут оказаться комплексными.

Последний раз позволим себе немного пофантазировать. Возможно, что ключ к ответу на вопрос, почему шаровые функции были проигнорированы Шредингером, лежит в маленькой ссылке, которая предворяет анализ решений уравнения (8): "Я Глубоко благодарен Герману Вейлю за его помщь при решении уравнения (8)". Вполне возможно, это означает, что Шредингер узнал у Вейля некоторые минимальные основные сведения о шаровых функциях (результат действия на них оператора Лапласа в сферических координатах, кратность вырождения, нормировку), которые помогли ему решить уравнение (8), но с явным представлением этих функций глубоко не разобрался. Отсюда и отсутствие явного вида шаровых функций в тексте статьи, и незнание того, что шаровые функции могут оказаться комплексными. Впрочем, все это исключительно домыслы. Подтверждающих их свидетельств либо не существует вовсе, либо они не сохранились.

Так что же, не смотря на все логические противооречия и прямые ошибки, заставило современников самым восторженным образом отнестись к зарождающейся волновой механике уже с самой первй не очень удачной статьи Э.Шредингера? В основном, как уже многократно отмечалсь выше, ее кажущаяся интегрированность в привычные понятия теоретической физики того времени: дифференциальне уравнение Гамильтна-Якби, вариационный принцип, возникновение дискретных уровней в атоме водорода подобно тому, "как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны", кажущееся отсутствие этих ужасных квантовых скачков. Планк писал Шредингеру в апреле 1926 года: "Читаю Вашу статью с тем же напряжением, с каким любопытный ребенок выслушивает развязку загадки, над которой он долго мучился, и радуюсь красотам, раскрывающимся перед моими глазами". Планку вторит Лоренц: "... даже если окажется, что на этом пути не удастся прийти к удовлетворительному решению, все же следует восхищаться проницательностью Ваших соображений и надеяться, что Ваши усилия существенно помогут глубже проникнуть в эти загадочные (квантовые - Н.Н.) явления." И, наконец, реакция Эйнштейна: "Господин Планк с оправданным восторгом, показал мне Вашу теорию, которую я так же стал изучать с огромным интересом". И некоторое время спустя: "Я убежден, что Вашей формулировкой условий квантования Вы добились решающего успеха. Я так же убежден, что путь, избранный Гейзенбергом и Борном, уводит в сторону." А вот, что пишет в своих воспоминаниях [10] В.Гейзенберг: "...методика Шредингера позволяла осуществить целый ряд вычислений, которые в квантовой (то есть матричной - Н.Н.) механике были бы чрезвычайно сложными." А многие, как, например, уже упоминавшийся В.Вин, напрямую связывали относительную легкость вычислений в волновой механике по сравнению с матричной с тем, что волновая механика является более правильнй теорией для описания микромира.

Что в первой статье Шредингера по волновой механике ценно для потомков? Прежде всего - в этой статье впервые появляется стационарное уравнение Шредингера. Пусть оно "выведено" абсолютно не логичным, можно сказать, даже неверным методом. Сегодня мы знаем, что уравнение Шредингера корректно вывести не возможно вовсе. Это один из постулатов квантовой механики, подобно тому, как законы Ньютона являются постулатами механики классической. Это первое. Второе - впервые введено понятие волновой функции микрочастицы $\psi$ и сделана попытка придать функции $\psi$ определенный физический смысл. Именно начиная с рассмотреной нами статьи Шредингера, в квантовой теории обратили внимания не только на собственные значения некоторго дифференциального оператора (или матрицы, как у Гейзенберга, Борна и Иордана), но и на собственные функции данного оператора. И последнее, в работе проведен ставший теперь классическим анализ решения уравнения Шредингера для частицы в центральносимметричном поле. Этот анализ вошел с небольшими изменениями во все учебники по квантовой механике.

Возмжно, что не менее поучительно, проследить шаг за шагом ход живой мысли великого австрийского физика и таким образом проникнуться духом физической науки - настоящим духом неподдельного творчества и возвышенного искания истины, который начисто исчезает в логической выверенности и методической прилизанности стандартных учебных пособий.

На этом мы завершаем первую часть статьи, посвященной 75-летию создания волновой механики. Следующие две части планируется посвятить иному "выводу" стационарного уравнения Шредингера при пмощи оптико-механическй аналогии Гамильтна и логике написания Шредингером нестацинарного уравнения для эволюции волновой функции.





Дальше:
Библиография
Sergei B. Popov 2001-01-30

Rambler's Top100