Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

[ ENGLISH ] [AUTO] [KOI-8R] [WINDOWS] [DOS] [ISO-8859]

Николай Никитин


Волновая механика Шредингера.
(к 75-летию создания)


Предыстория и первое сообщение

Аннотация

Настоящая статья посвящена 75-летию создания Шредингером волновой механики в 1926 году. Предполагаются три части. В первой, которую Вы читаете сейчас, кратко освещена история создания матричной механики Гейзенберга-Борна-Иордана, которая предшествовала волновой механике Шредингера, дан подробный пересказ с комментариями первой статьи Шредингера по волновой механике и сделана попытка ответить на вопрос, почему нестрогий первоначально даже логически противоречивый волновой подход Шредингера сразу получил признание ведущих физиков своего времени, в то время как логически и математически безупречный подход "геттингенской школы" не нашел подобающего ему понимания и одобрения.

Исторически сложилось так, что создание современной квантовой теории шло двумя независимыми и очень отличными друг от друга путями. То, что оба эти пути в конце концов привели к созданию единой теории микромира, подтвержденной в настоящее время не одной сотней различных экспериментов, должно свидетельствовать в пользу существования объективных законов, определяющих внутреннюю логику развития естественных наук.

Первый путь связывает между собой физиков "боровского толка", (большинство из которых на момент создания квантовой теории работало в Геттингенском университете в Германии), и может быть прослежен от пионерской работы 1913 года выдающегося датского физика Нильса Бора. В своей работе Бор сформулировал знаменитые квантовые постулаты. Эти постулаты заложили основу того подхода к описанию явлений микромира, придерживаясь которого последователи и ученики Н.Бора, прежде всего, самый гениальный из них Вернер Гейзенберг, пришли к созданию во второй половине 1925 года формализма матричной механики, который сегодня более привычно называется энергетическим или матричным представлением квантовой механики. Данный подход связан с идеей рассмотрения микрочастиц, по сути дела, как кoрпускул и описания процессов взаимодействия между ними с использованием только тех понятий, для которых можно указать процедуру их экспериментального измерения. При этом переход микросистемы из начального состояния в конечное происходит посредством некоего загадочного квантового скачка, а вопросы типа "Каково состояние электрона в то время, когда он после акта излучения переходит в атоме с одной боровской орбиты на другую?" объявлялись не имеющими физического смысла, поскольку состояние электрона, без его существенного изменения, в момент перехода не может быть измерено ни одним физическим прибором.

Первая работа Гейзенберга "О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений" [1] поступила в редакцию одного из ведущих в то время научных журналов "Zeitschrift f${\rm\ddot u}$r Physik" 29 июля 1925 года. Этот день принято считать днем рождения современной квантовой механики. В своей работе Гейзенберг, во-первых, доказал, что комбинационный принцип Ритца для спектра частот излучения атома противоречит классическому понятию об определенной траектории движения электрона внутри атома, во-вторых, показал, что те математические величины ("представители" по Гейзенбергу), которые в новой теории должны соответствовать наблюдаемым на опыте физическим величинам, в общем случае не коммутируют друг с другом, в-третьих, опираясь на теорию дисперсии Крамерса, разработанную за год до этого, получил комутационное соотношение, которому должны удовлетворять представители координаты и импульса микросистемы (в современной операторной записи это хорошо известное соотношение ${\rm [\hat x,\hat p]=i\hbar}$) и, в-четвертых, пользуясь разработанным методом, Гейзенберг нашел квантовые уровни энергии линейного гармонического осцилятора и осцилятора с ангармонической добавкой к энергии вида $\Delta W= m\,\lambda\, x^3/3$.

Научный руководитель Гейзенберга известный немецкий физик-теоретик Макс Борн очень быстро понял, что введенных Гейзенбергом представителей можно отождествить с эрмитовскими матрицами, а квантовые уровни энергии являются ни чем иным, как собственными значениями эрмитовской матрицы гамильтониана системы. В Геттингене Борн нашел молодого талантливого математика Паскуаля Иордана, который хорошо знал матричное исчисление, поскольку примерно за год до описываемых событий помогал двум великим немецким математикам Давиду Гильберту и Рихарду Куранту в составлении первого тома знаменитых "Методов математической физики" [2]. В этой книге с невероятной прозорливостью излагается как раз тот математический аппарат, который станет необходим физикам при создании квантовой теории.

В соавторстве с Иорданом, а за тем и с Гейзенбергом, Борн быстро написал две статьи [3], в которых, по существу, изложен полный курс линейной алгебры, адаптированный к решению задач новой механики, которая с тех пор получила название матричной. Для понимания сути проблемы, необходимо обратить внимание на то, что в первой четверти XX века теория матриц отнюдь не входила в стандартные университетские курсы даже для математиков и, тем более, не была известна подавляющему большинству физиков-теоретиков, а потому не использовалась ими в своих работах. Например, в теоретической механике вместо матричного исчисления вплоть до второй половины XX века господствовал громоздкий координатный метод. В начале XX века появилась только одна достойная упоминания физическая теория, в которой матрицы играли важную роль. Это нелинейная электродинамика и теория тяготения Густава Ми. Но она была отвергнута и основательно забыта после появления и экспериментального подтверждения общей теории относительности А.Эйнштейна. Любопытно, что даже Гейзенберг, получивший фундаментальное университетское образование в Мюнхене у самого Арнольда Зоммерфельда (Помните, "нет Бога кроме Бора и Зоммерфельд пророк его"?), не знал, что такое матрица, и самостоятельно выдумал матричное исчисление, исходя из физических требований, которые предъявляются к процессу измерения состояния микросистемы. Говорят, что когда об этом узнал другой "молодой тигр" от физики Вольфганг Паули, то воскликнул: "Господи, какой ГЕНИАЛЬНЫЙ невежа, этот Гейзенберг!" Последняя точка в проверке правильности основных принципов матричной механики была поставлена 17 января 1926 года, когда в редакцию журнала "Zeitschrift f${\rm\ddot u}$r Physik" поступила статья все того же Паули "О спектре водорода с точки зрения новой квантовой механики" [4]. В этой работе сколь успешно столь и изящно решена задача о диагонализации гамильтоновой матрицы водородоподобного атома и исследовано поведение атома во внешних полях. С математической точки зрения задача оказалась невероятно трудной. Стоит заметить, что другой знаменитый теоретик Поль Адриен Морис Дирак потерпел неудачу, пытаясь ее решить. На этом, по существу, построение квантовомеханической теории можно было считать завершенным.

Однако, вопреки впечатляющим результатам как при объяснении явлений микромира, так и при разработке математического аппарата, матричная механика встречалась в штыки многими физиками того времени. На то существовало несколько причин. Первой в их ряду стоит назвать трудность с пониманием непривычного математического аппарата теории и исключительную трудоемкость универсального алгоритма для нахождения значений энергетического спектра квантовомеханических систем. Из-за этого матричную механику называли "типичным образцом геттингенской учености", что с обтекаемого немецкого на понятный русский можно перевести как "страшная заумь, выдуманая на нашу голову геттингенскими занудами". Второй причиной, несомненно, являлось то, что физический смысл теории был абсолютно не прояснен. Людей со знанием классической физики особенно нервировали все эти непонятные квантовые скачки и "загадочная" дискретность, которые не имеют аналогов в классике, но со времен Планка прочно угнездились в физике. А теперь к ним добавилась новая беда: невозможность приписать микрочастице определенную траекторию движения. Понадобилось еще около десяти лет, чтобы достаточно прояснить статус квантовых скачков и траекторий микрочастиц в созданной Бором и Гейзенбергом копенгагенской интерпретации квантовой механики. Хотя полной ясности в этом вопросе нет до сих пор. Квантовая теория - единственная физическая теория, которая имеет не одну, а не менее четырех различных физических интерпретаций используемого в ней математического аппарата (копенгагенскую, статистическую, многомировую и информационную или термодинамическую). Необходимо отметить, что хотя в матричной механике много внимания уделялось собственным значениям эрмитовских матриц и их физическому смыслу, никто в то время не задумывался о физическом смысле набора собственных векторов, отвечающих данным собственным значениям, в базисе которых эрмитовская матрица имела диагональный вид! Не последнюю роль в холодном приеме новой механики, видимо, сыграло и неприязненное отношение одного из величайших немецких физиков-экспериментаторов Вильгельма Вина лично к Вернеру Гейзенбергу. Дело в том, что за несколько лет до описываемых событий Гейзенберг позорно провалился на экзамене у Вина, показав свое полное незнание основных экспериментальных методов физики того времени. Только личная просьба Зоммерфельда спасла Гейзенберга от реальной возможности остаться без университетского диплома. С тех пор и до конца своей жизни Вин считал Гейзенберга молодым выскочкой-неучем.

Таким образом, многие физики по разным причинам не приняли матричную теорию Гейзенберга-Борна-Иордана и страстно желали, чтобы со временем (лучше, как можно скорее!) она была заменена другой теорией микромира, в которой не осталось бы места этим ужасным квантовым скачкам, матрицам и тому подобной жути, чтобы эта другая теория хотя бы отдаленно напоминала прежние уютные теории с их непрерывностью, определенными траекториями и привычными дифференциальными уравнениями, описывающими эти траектории.

Именно в ситуации подспудного ожидания большинством физиков появления "новой-старой" теории микромира 27 января 1926 года в редакцию немецкого физического журнала "Annalen der Physik" поступила первая из целой серии работ австрийского физика Эрвина Шредингера, в которой, как ошибочно могло показаться сначала, содержится столь желанное решение всех проблем. Статья называлась "Квантование как задача о собственных значениях" ("Quantisierung als Eigenwertproblem"). В этой работе и пяти последующих Шредингером были заложены основы волновой механики. Спустя 35 лет Макс Борн писал: "Что существует более выдающегося в теоретической физике, чем его (Шредингера - Н.Н.) первые шесть работ по волновой механике?" ([5] стр.384). В "первые шесть работ" Шредингера, буквально воспетые Борном, входят четыре статьи под общим названием "Квантование как задача о собственных значениях", первую из которых мы подробно разберем ниже, работа "Об отношении квантовой механики Гейзенберга-Борна-Иордана к моей", в которой показана математическая эквивалентность матричной и волновои механик, и работа "Непрерывный переход от микро- к макромеханике" - самая слабая в цикле, но сильно повлиявшая на взгляды самого Шредингера, который почти до конца своей жизни пытался строить компактные волновые пакеты, которые бы соответствовали движению микрочастиц, так как это впервые было им проделано в "Непрерывном переходе..." для частного случая потенциала гармонического осцилятора. Основные работы Э.Шредингера переведены на русский язык и опубликованы в двух сборниках [5,6]. Помимо этого, их достаточно подробный пересказ дан в книге А.И.Ансельма [7].

Работы Шредингера являются венцом второго подхода к построению квантовой теории, который условно можно вести от Макса Планка и Альберта Эйнштейна через фигуру Луи де Бройля к Эрвину Шредингеру. Если физики "боровского толка" вслед за своим учителем, поскольку этого требовали результаты экспериментов, смело уходили от берегов классической физики в таинственное матричномеханическое море, то представители второго подхода словно греческие мореплаватели пробирались в незнакомые земли внутриатомных явлений ни на секунду не упуская из вида спасительный берег классической физики. Если "боровцы" делали упор на корпускулы и квантовые скачки, то "эйнштенианцы" (будем называть их так, поскольку зримое или незримое присутствие Эйнштейна связывало их между собой) на плавные переходы и волновую природу микромира. Если Бор, Борн, Гейзенберг, Паули и Иордан хорошо знали друг друга и создавали матричную механику в атмосфере непрерывного общения и обмена идеями, то Планк, Эйнштейн, де Бройль и Шредингер оставались талантливыми одиночками, а их личное знакомство состоялось уже после того, как волновая механика была создана. И если матричную механику логически безукоризненную и математически безупречную более чем настороженно встретили в широких кругах физиков, то волновой механике оказали самый восторженный прием, начиная уже с самой первой логически весьма противоречивой и странной статьи Шредингера. С высоты современного понимания квантовых процессов можно утверждать, что оба подхода "боровский" и "эйнштейновский" внесли примерно равный вклад в становление квантовой механики. Но, как это не странно, формальный матричный подход в конечном итоге содействовал именно большему прогрессу в понимании физического содержания квантовой теории, а интуитивистские построения волновой механики являются основой практически всех вычислительных достижений квантовой физики. Суммируя все вышеизложенное, можно сказать, что оба пути создания квантовой механики являются как бы взаимно дополнительными друг к другу в том смысле, который вкладывал в это понятие Н.Бор.

При создании матричной механики Гейзенберг и Борн обратились за помощью к Д.Гильберту, чтобы тот разъяснил им некоторые специальные вопросы матричного исчисления. Гильберт помог геттингенским физикам и дополнительно обратил их внимание на то, что в математике матрицы обычно возникают при решении краевых задач теории дифференциальных уравнений. Возможно, что если бы Гейзенберг и Борн прислушались к этому мудрому совету, то у них бы появился шанс раньше Шредингера построить волновую механику. Замечание Гильберта было отнюдь не случайным. В то время различные линейные и нелинейные дифференциальные уравнения составляли основу математического аппарата теоретической физики. Классическая механика, теория теплоты, теория колебаний, электродинамика и даже теория относительности - все они базировались на получении и решении (точном или приближенном) различных типов дифференциальных уравнений. Львиная доля математиков начиная где-то с середины XIX века занималась созданием методов решения дифференциальных уравнений и изучением свойств получившихся решений. Даже общая теория относительности с ее тензорным аппаратом в пространстве Римана удобно укладывалась в привычную схему, приводя только к усложнению вычислений, но не к переоценке фундаментальной роли дифференциальных уравнений в изучении природы. И тут грянула матричная механика: коммутационные соотношения, диагонализация матриц, унитарные преобразования. Ничего общего с привычной схемой. Удар, шок, пусть даже не вполне осознаный и сформулированный, да еще помноженный на необходимость осваивать все примудрости матричного исчисления! Поэтому, когда вдруг появляется статья, в которой уважаемый и известный профессор Цюрихского университета Эрвин Шредингер, зарекомендовавший себя рядом весьма заметных работ в области кинетической теории газов, статистической механики, физики непрерывных сред, физической оптики и общей теории относительности (последние заслужили весьма высокую оценку А.Эйнштейна), пишет работу, в которой с первых строчек утверждает, что в ней он "... собирается показать на простейшем примере нерелятивистского свободного атома водорода, что обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо "целых чисел", что целочисленность "получается при этом единственным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны (вот, вот она - такая долгожданная аналогия с классической физикой! - Н.Н.)", что это "новое представление может быть обобщено" и "что оно тесно связано с ИСТИННОЙ ПРИРОДОЙ КВАНТОВАНИЯ", то любому "классическому" физику с радостью хочется верить в подобные заверения маститого профессора.

Прежде, чем идти дальше, разберем, что Шредингер подразумевал под "обычными правилами квантования". Казалось бы, что из всего вышесказанного о матричной механике с необходимостью следует, что под "обычными правилами" Шредингер понимает правила для нахождения собственных значений матрицы Гамильтона в теории Гейзенберга-Борна-Иордана. Но если даже для самих авторов матричной механики данные правила сложны и непривычны, если при их применении Борн, Гейзенберг и Иордан вынуждены консультироваться с крупнейшими математиками своего времени, то с какой стати новые правила квантования вдруг становятся "обычными" для ученого, весьма далекого от проповедников новой "геттингенской учености" и совершенно не знакомого с философскими и методологическими взглядами Н.Бора, из которых вырос формализм матричной механики? Таким образом, первое "очевидное" предположение не верно. Более того, к моменту написания своей статьи Шредингер мог, разве что, знать о самой первой работе Гейзенберга, которая, хотя и поступила в редакцию "Zeitschrift f${\rm\ddot u}$r Physik" еще 29 июля, но была опубликована только в конце года (все, кто имел дело с публикациями своих научных статей, могут подтвердить, что такая задержка вполне обычна: пока отрецезируют, пока наберут, пока гранки пришлют, пока отпечатают, именно поэтому в вопросах приоритета важную роль играет то, когда статья поступила в редакцию, а не когда была напечатана), а две статьи, в которых матричная механика формулируется строго [3], даже теоретически Шредингеру известны быть не могли, поскольку вышли из печати в первой половине 1926 года, то есть тогда, когда основа волновой механики уже существовала. Всвязи с этим нам кажется неправильным следующее замечание авторов недавно вышедшей книги [8] на стр. 59: "Можно думать, Шредингер искренне считал, что он создал новую теорию атомных явлений. Во всяком случае это вполне объясняет упорное нежелание замечать предшественников. В его статье нет ссылок на Гейзенберга, Борна и Иордана, и даже Паули, который уже решил задачу Кеплера". Да их и не могло быть! Более того, после сопоставления дат не вызывает никакого сомнения, что статья Паули появилась в редакции "Zeitschrift..." уже ПОСЛЕ того, как статья Шредингера была послана в "Annalen ...". А опубликованы обе вообще во второй половине 1926 года. Кстати, ссылки на работы по матричной механике появляются уже во второй статье Шредингера, а четвертая по счету его работа целиком посвящена поиску соответствия между матричной и волновой механиками. Можно предположить, что Зоммерфельд, которого во второй статье Шредингер благодарит за "дружеское письмо" с полезной информацией, сообщил Шредингеру о достижениях геттингенцев. Чтобы закрыть тему, отмечу, что в целом в очень хорошей и современной книге [8] авторы явно симпатизируют Гейзенбергу и фон Нейману, их выдающимся достижениям и, можно сказать, враждебно относятся к не менее важным результатам Шредингера, всячески пытаясь принизить их оригинальность и значимость. Подобная предвзятость во многом портит общее впечатление от книги.

Но вернемся к вопросу, что же понимал Шредингер под "обычными правилами квантования"? Если более детально ознакомиться с историей квантовой теории, то на поставленный вопрос может появиться только один ответ. Шредингер имел ввиду (квазиклассическое) правило квантования Бора-Зоммерфельда

$$\oint\, p_i d\, q_i = h\, n_i,$$ (1)

где $q_i$ и $p_i$ - компоненты обобщенных координат и обобщенных импульсов системы, $h$-постоянная Планка, а $n_i$-целые числа. Данное правило квантования было постулированно Зоммерфельдом в 1916 году как естественное обобщение теории атома Бора и к 1925 стало "обычным", но требование целочисленности в (1) продолжало оставаться загадочным и необъяснимым. Именно с этим правилом связаны все успехи "наивной квантовой теории" до фундаментальных работ Гейзенберга и Шредингера, в которых содержалась новая квантовая теория. Заметим, что новая квантовая механика прояснила смысл правила квантования Бора-Зоммерфельда и указала на его приближенность. Для получения более подробной информации заинтересованному читателю можно рекомендовать книги [7] и [9].

Таким образом, изначально в своей работе Шредингер пытался прояснить сущность правила квантования Бора-Зоммерфельда и избавиться от загадочной постулативной целочисленности именно в (1). Но так сложилось, что за время между написанием и публикацией первой работы по волновой механике, у новой теории Шредингера появился иной более подготовленный и грозный оппонент - теория Гейзенберга-Борна-Иордана. Именно в качестве "спасительной альтернативы от ужасов матричной механики" волновая механика Шредингера и была воспринята современниками.

Наконец перейдем к разбору важнейших положенияй первой работы Шредингера по волновой механике. Шредингер, подобно Зоммерфельду, начинает формулировать свой рецепт квантования с хорошо известного в начале XX века любому физику с классическим образованием уравнения Гамильтона-Якоби для консервативной системы:

$$H\left (q,\,\frac{\partial\, S}{\partial\, q} \right )\, =\, E.$$ (2)

Под $q$ Шредингер понимает совокупность всех обобщенных координат рассматриваемой системы, $S$-действие или укороченное действие, что для случая консервативной системы не играет большой роли, частная производная действия по координате представляет собой обобщенный импульс, а $E=const$ - энергия стационарного уровня. Ясность и прозрачность исходного принципа, который положен Шредингером в основу своей теории, с самого начала делает ее более предподчтительной для восприятия широкими кругами физиков, нежели безусловная оригинальность, но определенная сложность исходного принципа матричной механики Гейзенберга.

Ищется решение $S(q)$ дифференциального уравнения (2), "представляющее собой сумму функций, каждая из которых зависит только от одной из независимых переменных $q$". Каждый, кто изучал курс математической физики, без труда поймет, что для решения своего уравнения Шредингер воспользовался стандартной процедурой разделения переменных, которая широко применялась в первой четверти XX века. В настоящее время метод разделения переменных также является основным подходом при решении дифференциальных уравнений. Следующим шагом Шредингер производит замену переменных в (2). Он вводит новую функцию $\psi$ согласно условию:

$$S\, =\, K\,{\rm ln}\,\psi .$$ (3)

Из свойств логарифмов следует, что функция $\psi$ имеет "вид произведения функций, зависящих только от одной координаты". Таким образом впервые в физику была введена волновая функция микрочастицы, хотя в рассматриваемой работе Шредингера этот термин еще отсутствует. По смыслу преобразования (3), функция $\psi$ должна быть действительной, однако специально это условие в статье не оговаривается. Несколько позже физики поймут, что в общем случае волновая функция может быть комплексна, а потому замена переменных (3) некорректна.

Вообще говоря, с комплексностью волновой функции Шредингер должен был столкнуться уже в своей первой работе, поскольку решение уравнения (8) для атома водорода в сферических координатах $r$, $\theta$, $\varphi$ имеет следующий вид ([10] стр.206):

$$\psi_{nlm}(r,\theta ,\varphi)=\chi_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta ,\varphi),$$

где $\chi_{nl}(r)$-радиальная волновая функция, $Y_{lm}(\theta ,\varphi)=\Theta_l(\theta)\, e^{im\varphi}$-шаровая функция, в которой сосредоточена вся зависимость от углов, $n$-главное квантовое число, $l$-орбитальное квантовое число (напомним, что если главное квантовое число задано, то орбитальное квантовое число может принимать значения $l$=0, 1, 2, ... $n-1$), $m$-магнитное квантовое число (которое при заданном $l$ равно $m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\, ...\,\pm l$). Поэтому, в случае, когда $m\ne 0$ и $\varphi\ne 0$, шаровая функция, а вместе с ней и волновая функция $\psi$ стационарного состояния атома водорода, комплексны.

Однако, в обсуждаемой статье Шредингер хотя и упоминает дважды о шаровых функциях (в первый раз они ему нужны, чтобы показать целочисленность орбитального квантового числа $l$), но нигде явно их не выписывает, а о магнитном квантовом числе не упоминает вовсе. Такой подход вызывает определенное удивление. Более того, по всей видимости, сам Шредингер впервые столкнулся с комплексностью волновой функции только тогда, когда в следующих своих работах исследовал развитие квантовой системы во времени. Но, даже, не смотря на это, еще достаточно долгое время утверждал: "Неприятно - против этого даже следует возражать - применение комплексных чисел. $\psi$ все-таки реальная функция..." (см. [5], стр.204).

Проследим далее за ходом мыслей и формой изложения Э.Шредингера. "Постоянную $K$ приходится ввести из соображений размерности, согласно которым она должна обладать размерностью действия. Таким образом получаем соотношение

$$H\left (q,\,\frac{K}{\psi}\,\frac{\partial\,\psi}{\partial\, q} \right )\, =\, E.$$ (4)

... При пренебрежении изменениями массы уравнение (4) можно всегда свести, по крайней мере в случае одноэлектронной проблемы, к слудующему виду: квадратичная форма от функции $\psi$ и ее первых производных равна нулю." Для электрона в атоме водорода в прямоугольных координатах данная квадратичная форма имеет вид:

$$\frac{p^2_x}{2m}+\frac{p^2_y}{2m}+\frac{p^2_z}{2m}-\frac{e^2}{r}-E\, =\, 0,$$

где $\psi = \psi (x,y,z)$, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $m$-масса электрона, $e$-его заряд. После очевидных преобразований можно записать (учитываем, что $p_i=\partial S/ \partial q_i = (K/\psi)(\partial\psi /\partial q_i)$):

$$\left (\frac{\partial\,\psi}{\partial\, x} \right )^2+ \left... ...t )^2- \frac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\psi^2=0.$$ (5)

Следующая фраза является ключевой для всей первой работы Шредингера по волновой механике. "Ищем такую действительную (лишнее подтверждение того, что волновая функция не считается комплексной - Н.Н.) во всем конфигурационном пространстве однозначную ограниченную и всюду дважды дифференцируемую функцию $\psi$, которая дает экстремальное значение интегралу от упомянутой квадратичной формы (то есть формы (5)-Н.Н.), распространенному по всему крнфигурационному пространству. Эта вариационная проблема и заменяет у нас квантовые условия." Указанная вариационная проблема для атома водорода имеет вид:

$$\delta J =\delta\,\int\int\int\, dx\, dy\, dz\, \left [ \lef... ...rac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\psi^2 \right ]=0.$$ (6)

"Интеграл берется здесь по всему пространству. Обычным способом отсюда получаем

$$\frac{1}{2}\,\delta J\, =\,\int\, df\,\delta\psi\,\frac{\par... ...ac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\,\psi \right ] =0.$$ (7)

Следовательно, должно быть, во-первых, справедливо уравнение

$$\Delta\psi+\frac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\,\psi =0,$$ (8)

и, во-вторых, должен равняться нулю распространенный по всей бесконечно удаленной замкнутой поверхности интеграл"

$$\int\, df\,\delta\psi\,\frac{\partial\psi}{\partial n}=0,$$ (9)

где $df$-элемент бесконечно удаленной поверхности, а $n$-нормаль к поверхности.

Вот и все. Получившееся таким образом уравнение (8) теперь называют стационарным уравнением Шредингера для атома водорода в координатном представлении. Оно допускает очевидное обощение на любое потенциальное поле и является одной из двух вершин работы Эрвина Шредингера как физика-теоретика. За ним последуют теория возмущений и нестационарное уравнение (вторая вершина), многочисленные приложения к конкретным проблемам микромира, обобщения для частиц со спином и релятивистских частиц, но именно при помощи уравнения (8) был совершен решающий прорыв в понимании законов микромира.

Осталось еще много вопросов, на которые хотелось бы получить ответы. Во-первых, что делать с уравнением (5), ведь совершенно очевидно, что решения уравнений (5) и (8) различны? Во-вторых, зачем понадобилось практически на пустом месте вводить вариационный принцип (6), который по загадочности своего происхождения может поспорить с правилом квантования Бора-Зоммерфельда? Фактически выходит так, что не существует прямого логического перехода от уравнений Гамильтона-Якоби (4) к вариационному принципу (6). И, наконец, каков физический смысл введенной в результате замены переменных (3) загадочной функции $\psi$? Ни на один из этих вопросов, возможно, исключая последнего, первая статья Шредингера не дает четкого ответа. Поэтому возникает подозрение, что на самом деле Шредингер получил уравнение (8) иным способом, а потом, уже зная правильный ответ, попытался вывести его более наукообразно методами, наиболее распространенными в теоретической физике начала XX века. В пользу подобного предположения свидетельствует несколько фактов.

Факт первый. Совершенно неожиданно, по крайней мере из логики статьи это не следует, при попытке обозначить физическое содержание функции $\psi$, Шредингер пишет: "Довольно естественно связывать функцию $\psi$ с некоторым колебательным процессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомнению (что это, намек на статью [1] Гейзенберга?)" и что "при переходе энергии от одного собственного колебания к другому появляется нечто (предположительно, световая волна - Н.Н.) с частотой, равной разности частот собственных колебаний". Далее, "световая волна причинно связана с биениями, появляющимися всегда при подобных переходах в любой точке пространства", а "частота света определяется числом максимумов, через которые проходит наш колебательный процесс за секунду". При этом Шредингер особо подчеркивает, что он сначала "хотел обосновать новое понимание квантовых правил, используя указанный сравнительно наглядный путь, но потом предпочел рассмотренный в статье чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить все существенные стороны вопроса." Что же, в таком случае, Шредингеру кажется более существенным, чем наглядный вывод уравнения (8)? А вот что: "Существенным мне кажется то, что квантовые правила не вводятся больше как загадочное "требование целочисленности" (см. уравнение (1) - Н.Н.) а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственной функции". То есть самым существенным Шредингеру кажется то, что он смог описать таинственные квантовые явления методами, характерными для сугубо классической физики того времени. Основываясь на своем понимании физики внутриатомных процессов, Шредингер смело вступает в полемику с Бором: "Не требует особых разъяснений то обстоятельство, что представление, по которому при квантовом переходе энергия преобразуется из одной колебательной формы в другую значительно более удовлетворительно, чем представление о перескакивающем электроне. Изменение формы колебаний всегда может происходить непрерывно в пространстве и времени, оно может длиться время, равное определяемому экспериментально времени процесса излучения...". Таким образом, держась привычного берега, греческие мореходы приплыли в новые земли, более того, на иной квантовый материк, хотя сами они наивно полагают, что находятся совсем недалеко от родного классического дома!

Необходимо заметить, что Шредингер ошибался, когда полагал закрытым раз и навсегда вопрос о квантовых скачках. Попытка последовательного описания излучения атома как процесса биения, непрерывного в пространстве и времени, не удалась, как за четверть века до того подобная попытка не удалась Максу Планку в вопросе о классическом описании излучения абсолютно черного тела. Загадочные квантовые скачки благополучно существуют в физике до настоящего времени. Чаще всего о них вспоминают всвязи с проблемой редукции (стягивания) волновой функции в процессе измерения микрочастицы макроприбором. Эта проблема не имеет удовлетворительного решения и по сей день.

Факт второй. Практически впрямую называется и путь, по которому первоначально Шредингер пришел к уравнению (8) отталкиваясь от "безумной" в то время еще твердо не подтвержденной экспериментально гипотезы Л. де Бройля о волнах материи (вспомните, результаты опытов Дэвиссона и Джермера по наблюдению дифракции электронов на кристалле стали известны только в 1927 году, хотя первые сведения о постановке эксперимента относятся к 1925 году): "Прежде всего, нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, который привел к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении "фазовых волн"... Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распростроняющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания (в то время, как у де Бройля рассматриваются бегущие волны материи в вакууме - Н.Н.)." Замечательно, но тогда при чем тут уравнения Гамильтона-Якоби и вариационный принцип? Исчерпывающий ответ дается во второй статье Шредингера из цикла "Квантование как задача о собственных значениях", которую мы надеемся детально разобрать в следующей заметке. В ней уравнение (8) получается абсолютно другим способом при помощи применения к нерелятивистским волнам материи Л. де Бройля оптико-механической аналогии Гамильтона. Способ легкий, красивый, очень логичный, но математически не строгий в противовес математически корректного, но "не ясного самого по себе преобразования (3) и столь же не ясного перехода от приравнивания нулю некоторого выражения к требованию того, чтобы пространственный интеграл от этого же выражения был стационарным (это собственные слова Шредингера из второй статьи, в которой он комментирует первую! - Н.Н.)". Кроме того, сохранилось множество исторических свидетельств, в которых коллеги Шредингера настаивают, что все началось именно с оптико-механической аналогии Гамильтона, примененной для более ясного понимания сущности идеи волн материи Л. де Бройля [9].

При интерпретации функции $\psi$ как некоторого собственного колебательного процесса электрона в атоме Шредингер столкнулся с одним достаточно серьезным противоречием. Из теории колебаний известно, что при заданой амплитуде энергия колебаний пропорциональна квадрату частоты. Это утверждение теории носит общий характер и применимо ко всякому колебательному процессу. Если принять его, то это привело бы "для отрицательных значений $E$ к мнимым значениям частоты и, кроме того, интуитивные соображения "квантового теоретика" (то есть, правило частот Бора, которое объясняет феноменологический комбинационный принцип Ритца - Н.Н.) говорят, что здесь должна иметь место пропорциональность значения $E$ самой частоте, а не ее квадрату".

Как же Шредингер справляется с указанным противоречием? "Для параметра $E$ вариационного соотношения (8) предварительно не установлен какой-либо нулевой уровень". Предположим, что этот нулевой уровень много больше, чем любое из имеющихся в задаче отрицательных значений $E$. Например, можно вспомнить релятивистскую теорию и принять за начало отсчета энергию покоя системы. "Тогда соответствующие частоты будут действительны и их относительно малые изменения на самом деле окажутся приближенно пропорциональными $E$. Но именно этого и требует "интуиция" квантового теоретика, поскольку нулевой уровень энергии не является фиксированным". Данное утверждение можно записать в виде

$$\nu=C^{{\rm '}}\sqrt{C+E}=C^{{\rm '}}\sqrt{C}+ \frac{C^{{\rm '}}}{2\sqrt{C}}\, E + ...\, ,$$ (10)

где $C\gg E$. Выражение (10) позволяет прояснить боровское условие для частот. "Соответственно этому условию частота излучения пропорциональна разности энергий, т.е. согласно (10) пропорциональна разности между собственными частотами $\nu$ гипотетического колебательного процесса. Следовательно, хотя все собственные частоты много больше частот излучения, эти две величины тесно связаны друг с другом, причем последняя из них является как бы глубоким "разностным тоном" собственного колебания, протекающего со значительно большей частотой." Таким образом, указаное выше противоречие полностью снимается весьма изящным образом.

Уже в первом сообщении Шредингер, обеспокоиный определенной эфемерностью связи вариационного принципа (6) с уравнениями Гамильтона-Якоби (4), предпринимает попытку иначе сформулировать вариационный принцип, на основании которого можно получить уравнение (8). С этой целью он 28 февраля 1926 года делает следующее добавление при корректуре. "В случае классической механики консервативной системы можно сформулировать нашу вариационную задачу изящнее, чем это было здесь сделано, без непосредственной связи с уравнением Гамильтона следующим образом. Пусть $T(q,p)$ - кинетическая энергия, зависящая от координат и импульсов, $V$ - потенциальная энергия, $d\tau$ - "рационально измеренный" объем конфигурационного пространства, то есть произведение $dq_1 dq_2\, ...\, dq_n$, умноженное еще на квадратный корень из дискриминанта квадратичной формы $T(q,p)$ (ср.: Гиббс, "Статистическая механика"). Тогда значение функции $\psi$ должно придавать "интегралу Гамильтона"

$$\int\, d\tau\, \left\{ K^2 T\left (q,\frac{\partial\psi}{\partial q} \right )+\psi^2 V\right \}$$ (11)

стационарное значение при дополнительном нормирующем условии

$$\int\psi^2 d\tau\, =\, 1.$$ (12)

Cобственные значения этой вариационной проблемы, являющиеся, как известно, также стационарными значениями интеграла (11), дают согласно нашим предположениям квантовые уровни энергии."

Обычно коментаторы первой работы Шредингера уделяют мало внимания данному добавлению. Возможно, подобное пренебрежение проистекает из того, что ни вариационный принцип (11), ни даже ключевая для понимания всей работы вариационная проблема (6) никогда больше не использовались Шредингером для обоснования волновой механики. Начиная со следующей работы их место прочно займут волны материи де Бройля и оптико-механическая аналогия Гамильтона. Однако необходимо заметить, что в указаном добавлении, по существу, заложено правило вычисления среднего значения для любой физической величины по состоянию $\psi$ и введены операторы координаты и импульса микрочастицы для случая координатного представления квантовой механики. Действительно, если классическая система описывается гамильтонианом $H(q,p)=T(q,p)+V(q)$, то переход к описанию квантовой системы, как это следует из явного вида "интеграла Гамильтона" (11), осуществляется при помощи следующей замены:

Классическое описание	$\to$	Квантовое описание
$H(q,p)$	$\to$	$H\left (q,(K/\psi )\,(\partial\psi/\partial q\right) ) \,\psi^2$.

Эта замена выполняет ту же функцию, что и замена переменных (3) в основном тексте статьи, но при этом не трубует, чтобы функция $\psi$ была действительной. Из данной замены следует, что классическому импульсу $p$ в квантовом случае соответствует оператор, пропорциональный $K\,\partial /\partial q$. Коэффициент пропорциональности возможно зафиксировать точно, если использовать полученные Гейзенбергом комутационные соотношения между координатой и импульсом. Логично предположить, что к моменту внесения дополнения в корректуру Шредингер уже знал выражение для оператора импульса, поскольку его статья "Об отношении квантовой механики Гейзенберга-Борна-Иордана к моей", в которой он его выписал явно, поступила в редакцию "Annalen der Physik" 18 марта 1926 года, то есть через пол месяца после внесения добавлений к обсуждаемой статье.

Таким образом, вариация "интеграла Гамильтона" (11) (Шредингер не зря поставил эти слова в кавычки, поскольку стоящее в (11) под знаком интегрирования выражение имеет столь же малое отношение к классическому Гамильтониану сколь и уравнение (8) к "породившему" его уравнению Гамильтона-Якоби (4)) представляет собой условие того, что среднее значение полной энергии, вычисленной при помощи функции $\psi$, принимает стационарное значение, совместимое с условием нормировки (12), то есть

$$% latex2html id marker 406(\ref{ig})\,\Leftrightarrow\,\de... ...ight ] \right )\,\psi + \psi\, V(q)\,\psi \right\}\, =\, 0,$$

где значки $\leftarrow$ и $\rightarrow$ указывают, в каком направлении действуют операторы дифференцирования. Возникает типичное вариационное уравнение со связями, которое стандартно решается введением множителя Лагранжа, что эквивалентно решению уравнения (8) c потенциалом $V(q)$.

Что еще существенного сделано Шредингером в первой работе? Почти на девяти страницах Шредингер проводит анализ уравнения (8) в полярных координатах как при $E > 0$, так и при $E\le 0$. Мы не будем его здесь подробно воспроизводить, поскольку данный анализ можно найти в любом учебнике по квантовой механике, например, в [10]. Шредингер установил, что в случае $E > 0$ спектр носит непрерывный характер, а в cлучае $E\le 0$ вариационная задача имеет решения тогда и только тогда, когда значение $E$ удовлетворяет условию

$$E_n=-\,\frac{m\, e^4}{2K^2n^2},$$ (13)

где $n$-произвольное целое число. Из сравнения (13) и спектра, полученного Н.Бором для атома водорода, Шредингер заключает, что $n$ можно отождествить с главным квантовым числом (введеным Бором еще в 1913 году), если положить $K=h/2\pi$. В настоящее время постоянная $K$ носит название перечеркнутой постоянной Планка или дираковской постоянной и обозначается $\hbar$. Далее в работе приводится общая формула для радиальной части волновой функции $\chi_{nl}(r)$, и исследуется кратность вырождения $\psi$ по $n$ и $l$: "Подсчет числа постоянных в шаровых функциях показывает, что найденое решение содержит при допустимых комбинациях ($n$,$l$) ровно $2l+1$ произвольных постоянных; при заданном значении $n$ число произвольных постоянных равно, таким образом, $n^2$". Если же учесть спин электрона, о существовании которого в конце 1925 - начеле 1926 года было не известно, то кратность вырождения каждого энергетического уровня $E_n$ будет равна $2n^2$. В этом месте во второй и последний раз в работе появляется упоминание о шаровых функциях, но опять по непонятной причине не принимается во внимание, что при $l\ne 0$ эти функции могут оказаться комплексными.

Позволим себе предложить вниманию читателей одну гипотезу. Она достаточно логична, однако надо сказать прямо, что подтверждающих ее свидетельств либо не существовало вовсе, либо они не сохранились. Возможно, что ключ к ответу на вопрос, почему комплексность шаровых функций была проигнорирована Шредингером, лежит в маленькой ссылке, которая предваряет анализ решений уравнения (8): "Я Глубоко благодарен Герману Вейлю за его помощь при решении уравнения (8)". Вполне возможно, это означает, что Шредингер узнал у Вейля некоторые минимальные основные сведения о шаровых функциях (результат действия на них оператора Лапласа в сферических координатах, кратность вырождения, нормировку), которые помогли ему решить уравнение (8), но глубоко с теорией этих функций не разбирался. Отсюда и отсутствие явного вида шаровых функций в тексте статьи, и незнание того, что шаровые функции могут оказаться комплексными.

Шредингер не смог показать, что найденый им набор собственных функций и собственных значений уравнения (8) является полным. Однако он подчеркнул, что "согласно другим исследованиям можно предположить, что мы не пропустили какого-либо собственного значения". Строгое доказательство данного факта было дано Артуром Эддингтоном в 1927 году.

Так что же, несмотря на все логические противооречия и прямые ошибки, заставило современников самым восторженным образом отнестись к зарождающейся волновой механике начиная уже с первй не очень удачной статьи Э.Шредингера? В основном, как уже многократно отмечалсь выше, ее кажущаяся интегрированность в привычные понятия теоретической физики того времени: дифференциальне уравнение Гамильтона-Якоби, вариационный принцип, возникновение дискретных уровней в атоме водорода подобно тому, "как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны", кажущееся отсутствие этих ужасных квантовых скачков. Планк писал Шредингеру в апреле 1926 года: "Читаю Вашу статью с тем же напряжением, с каким любопытный ребенок выслушивает развязку загадки, над которой он долго мучился, и радуюсь красотам, раскрывающимся перед моими глазами". Планку вторит Лоренц: "... даже если окажется, что на этом пути не удастся прийти к удовлетворительному решению, все же следует восхищаться проницательностью Ваших соображений и надеяться, что Ваши усилия существенно помогут глубже проникнуть в эти загадочные (квантовые - Н.Н.) явления." Наконец, реакция Эйнштейна: "Господин Планк с оправданным восторгом, показал мне Вашу теорию, которую я так же стал изучать с огромным интересом". И некоторое время спустя: "Я убежден, что Вашей формулировкой условий квантования Вы добились решающего успеха. Я так же убежден, что путь, избранный Гейзенбергом и Борном, уводит в сторону." А вот, что пишет в своих воспоминаниях [11] В.Гейзенберг: "...методика Шредингера позволяла осуществить целый ряд вычислений, которые в квантовой (то есть матричной - Н.Н.) механике были бы чрезвычайно сложными." А многие, как, например, уже упоминавшийся В.Вин, напрямую связывали относительную легкость вычислений в волновой механике по сравнению с матричной с тем, что волновая механика является более правильнй теорией для описания микромира.

Что в первой статье Шредингера по волновой механике ценно для потомков? Прежде всего - в этой статье впервые появляется стационарное уравнение Шредингера. Пусть оно "выведено" абсолютно не логичным, можно сказать, даже неверным методом. Сегодня мы знаем, что уравнение Шредингера корректно вывести не возможно вовсе. Это один из постулатов квантовой механики, подобно тому, как законы Ньютона являются постулатами механики классической. Это первое. Второе - впервые введено понятие волновой функции микрочастицы $\psi$ и сделана попытка придать функции $\psi$ определенный физический смысл. Именно начиная с рассмотреной нами статьи Шредингера, в квантовой теории обратили внимания не только на собственные значения некоторго дифференциального оператора (или матрицы, как у Гейзенберга, Борна и Иордана), но и на собственные функции данного оператора. И последнее, в работе проведен ставший теперь классическим анализ решения уравнения Шредингера для частицы в центральносимметричном поле. Этот анализ вошел с небольшими изменениями во все учебники по квантовой механике.

В связи с последним утверждением необходимо сделать одно замечание. Анализ энергетического спектра уравнения (8) не был ни иллюстрацией возможных физических приложений уравнения (8), ни физическим предсказанием, которое можно получить из рассматриваемого уравнения. Это связано с тем, что в уравнении присутствует неизвестная константа $K$, которая сама по себе нуждается в определении. Сравнение уровней энергии (13) с известным результатом Бора как раз и фиксирует постоянную $K$ в (8). Примеры нахождения энергетических спектров других квантовых систем уже при фиксированном $K=\hbar$ и сравнение полученных таким образом спектров с расчитанными другими методами или с экспериментом в работе отсутствуют. Это заставляет Шредингера проявлять определенную осторожность при анализе значимости своего стационарного уравнения: "Я не считаю возможным, до тех пор пока не будут успешно рассчитаны новым способом более сложные задачи, подробнее рассматривать истолкование введенного колебательного процесса. Не исключена возможность, что подобные расчеты приведут к простому совпадению с выводами обычной квантовой теории (то есть, с результатами, полученными при помощи правила квантования Бора-Зоммерфельда (1) - Н.Н.)." Но при этом мы должны помнить, что главным оправданием введения дифференциального уравнения (8) для Шредингера служит то, что благодаря этому уравнению удалось избавиться от загадочного требования целочисленности в (1) и тем самым (обманчиво логично!) свести непривычные, а потому загадочные, законы микромира к известным результатам классической теории колебаний.

Первая работа Шредингера по волновой механике лежит в стороне от основного пути, по которому в дальнейшем развивалась данная ветвь квантовой теории. Не смотря на это мы привели подробный анализ работы, поскольку нам представляется весьма интересным проследить шаг за шагом ход живой мысли великого австрийского физика и таким образом проникнуться духом физической науки - настоящим духом неподдельного творчества и возвышенного искания истины, который начисто исчезает в логической выверенности и методической прилизанности стандартных учебных пособий.

На этом мы завершаем первую часть статьи, посвященной 75-летию создания волновой механики. Следующие две части планируется посвятить иному "выводу" стационарного уравнения Шредингера при пмощи оптико-механическй аналогии Гамильтна и логике написания Шредингером нестацинарного уравнения для эволюции волновой функции.

Copyright (c) "Русский переплет"