Портал | Содержание | О на� | �вторам | �ово�ти | Перва� де��тка | Ди�ку��ионный клуб | Чат �аучный форум --> Перва� де��тка "Ру��кого переплета" Темы дн�:

Президенту Путину о �оздании Ин�титута И�тории Ру��кого �арода. |�а� по�етило 40 млн. человек | Чем занимали�ь ру��кие 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или �колько в Ро��ии молодых ученых?

[ ENGLISH ] [AUTO] [KOI-8R] [WINDOWS] [DOS] [ISO-8859]

�иколай �икитин


Волнова� механика Шредингера.
(к 75-летию �оздани�)


Преды�тори� и первое �ообщение

�а�то�ща� �тать� по�в�щена 75-летию �оздани� Шредингером волновой механики в 1926 году. Предполагают�� три ча�ти. В первой, которую Вы читаете �ейча�, кратко о�вещена и�тори� �оздани� матричной механики Гейзенберга-Борна-Иордана, котора� предше�твовала волновой механике Шредингера, дан подробный пере�каз � комментари�ми первой �татьи Шредингера по волновой механике и �делана попытка ответить на вопро�, почему не�трогий первоначально даже логиче�ки противоречивый волновой подход Шредингера �разу получил признание ведущих физиков �воего времени, в то врем� как логиче�ки и математиче�ки безупречный подход "геттинген�кой школы" не нашел приличи�твующего ему понимани� и одобрени�.

И�ториче�ки �ложило�ь так, что �оздание �овременной квантовой теории шло как бы двум� незави�имыми и очень отличными друг от друга пут�ми. То, что оба �ти пути в конце концов привели к �озданию единой теории микромира, подтвержденной в на�то�щее врем� не одной �отней различных �к�периментов, должно �видетель�твовать в пользу �уще�твовани� объективных законов, определ�ющих внутреннюю логику развити� е�те�твенных наук.

Первый путь �в�зывает между �обой физиков "боров�кого толка", большин�тво из которых на момент �оздани� квантовой теории работало в Геттинген�ком универ�итете в Германии, и может быть про�лежен от пионер�кой работы 1913 года знаменитого дат�кого физика �иль�а Бора, в которой он �формулировал �вои знаменитые квантовые по�тулаты. В �тих по�тулатах был фактиче�ки обозначен тот путь, по которому по�ледователи и ученики �.Бора, прежде в�его, �амый гениальный из них Вернер Гейзенберг, пришли к �озданию во второй половине 1925 года формализма матричной механики. Этот путь �в�зан � идеей ра��мотрени� микроча�тиц, по �ути, только как карпу�кул и опи�ани� проце��ов взаимодей�тви� между ними и�ключительно � и�пользованием тех пон�тий, которые могут быть измерены непо�ред�твенно в �к�перименте. При �том переход микро�и�темы из начального �о�то�ни� в конечное прои�ходит по �ред�твам некоего загадочного квантового �качка, а вопро�ы типа "Каково �о�то�ние �лектрона в то врем�, когда он по�ле акта излучени� переходит в атоме � одной боров�кой орбиты на другую?" объ�вл�ли�ь не имеющими физиче�кого �мы�ла, по�кольку �о�то�ние �лектрона, без его �уще�твенного изменени�, в момент перехода не может быть измерено ни одним физиче�ким прибором.

ПерваÑ� работа Гейзенберга [1] поÑ�тупила в редакцию одного из ведущих в то времÑ� научных журналов "Zeitschrift für Physik" 29 июлÑ� 1925 года. Этот день принÑ�то Ñ�читать днем рождениÑ� Ñ�овременной квантовой механики. Ð’ Ñ�воей работе Гейзенберг, во-первых, доказал, что еÑ�ли верен комбинационный принцип Ритца длÑ� Ñ�пектра чаÑ�тот излучениÑ� атома, то Ñ�то противоречит клаÑ�Ñ�ичеÑ�кому понÑ�тию движениÑ� Ñ�лектрона по определенной траектории внутри атома, во-вторых, показал, что те математичеÑ�кие величины ("предÑ�тавители" по Гейзенбергу), которые в новой теории должны Ñ�оответÑ�твовать наблюдаемым на опыте физичеÑ�ким величинам, в общем Ñ�лучае не коммутируют друг Ñ� другом, в-третьих, опираÑ�Ñ�ÑŒ на теорию диÑ�перÑ�ии КрамерÑ�а, разработанную за год до Ñ�того, получил комутационное Ñ�оотношение, которому должны удовлетворÑ�Ñ‚ÑŒ предÑ�тавители координаты и импульÑ�а микроÑ�иÑ�темы (в Ñ�овременной операторной запиÑ�и Ñ�то хорошо извеÑ�тное Ñ�оотношение ${\rm [\hat x,\hat p]=i\hbar}$) и, в-четвертых, пользуÑ�Ñ�ÑŒ разработанным методом, Гейзенберг нашел квантовые уровни Ñ�нергии линейного гармоничеÑ�кого оÑ�цилÑ�тора и оÑ�цилÑ�тора Ñ� ангармоничеÑ�кой добавкой вида $\Delta W= m\,\lambda\, x^3/3$.

Ð�аучный руководитель Гейзенберга извеÑ�тный немецкий физик-теоретик МакÑ� Борн очень быÑ�тро понÑ�л, что введенных Гейзенбергом предÑ�тавителей можно отождеÑ�твить Ñ� Ñ�рмитовÑ�кими матрицами, а квантовые уровни Ñ�нергии Ñ�влÑ�ÑŽÑ‚Ñ�Ñ� ни чем иным, как Ñ�обÑ�твенными значениÑ�ми Ñ�рмитовÑ�кой матрицы гамильтониана Ñ�иÑ�темы. Ð’ Геттингене Борн нашел молодого талантливого математика ПаÑ�куалÑ� Иордана, который хорошо знал матричное иÑ�чиÑ�ление, и, в Ñ�оавторÑ�тве Ñ� ним, а за тем и Ñ� Гейзенбергом, быÑ�тро напиÑ�ал две Ñ�татьи [2], в которых, по Ñ�ущеÑ�тву, изложен полный курÑ� линейной алгебры, адаптированный к решению задач новой механики, котораÑ� Ñ� тех пор получила название матричной. ДлÑ� пониманиÑ� Ñ�ути проблеммы, необходимо обратить внимание на то, что в первой четверти XX века теориÑ� матриц отнюдь не входила в Ñ�тандартные универÑ�итетÑ�кие курÑ�Ñ‹ даже длÑ� математиков и, тем более, была не извеÑ�тна подавлÑ�ющему большенÑ�тву физиков-теоретиков. Ð�апример, в теоретичеÑ�кой механике вмеÑ�то матричного иÑ�чиÑ�лениÑ� вплоть до второй половины XX века гоÑ�подÑ�твовал громоздкий координатный метод. Даже Гейзенберг, получивший оÑ�новное универÑ�итетÑ�кое образование в Мюнхене у Ñ�амого Ð�рнольда Зоммерфельда (Помните, нет Бога кроме Бора и Зоммерфельд пророк его?), не знал, что такое матрица, и Ñ�амоÑ�тоÑ�тельно выдумал матричное иÑ�чиÑ�ление, иÑ�ходÑ� только из физичеÑ�ких требований, которые предъÑ�влÑ�ÑŽÑ‚Ñ�Ñ� к микроÑ�иÑ�теме. ГоворÑ�Ñ‚, что когда об Ñ�том узнал другой "молодой тигр" от физики Вольфганг Паули, то воÑ�кликнул: "ГоÑ�поди, какой ГЕÐ�ИÐ�ЛЬÐ�ЫЙ невежа, Ñ�тот Гейзенберг!" ПоÑ�леднÑ�Ñ� точка в проверке правильноÑ�ти оÑ�новных принципов матричной механики была поÑ�тавлена 17 Ñ�нварÑ� 1926 года, когда в редакцию журнала "Zeitschrift für Physik" поÑ�тупила Ñ�татьÑ� вÑ�е того же Паули "О Ñ�пектре водорода Ñ� точки зрениÑ� новой квантовой механики" [3]. Ð’ Ñ�той работе Ñ�коль уÑ�пешно Ñ�толь и изÑ�щно решена задача о диагонализации гамильтоновой матрицы водородоподобного атома и иÑ�Ñ�ледовано поведение атома во внешних полÑ�Ñ…. С математичеÑ�кой точки зрениÑ� задача оказалаÑ�ÑŒ невероÑ�тно трудной. Стоит заметить, что другой знаменитый теоретик Поль Ð�дриен МориÑ� Дирак поторпел неудачу, пытаÑ�Ñ�ÑŒ ее решить. Ð�а Ñ�том, по Ñ�ущеÑ�тву, поÑ�троение квантовомеханичеÑ�кой теории можно было Ñ�читать завершенным.

Однако, вопреки впечатл�ющим результатам как при объ��нении �влений микромира, так и при разработке математиче�кого аппарата, матрична� механика в�тречала�ь в штыки многими физиками того времени. �а то �уще�твовало не�колько причин. Первой в их р�ду �тоит назвать трудно�ть � пониманием непривычного математиче�кого аппарата теории, от�ут�твие универ�ального алгоритма нахождени� значений наблюдаемых величин дл� любых квантовых задач. Из-за �того матричную механику называли "типичным образцом геттинген�кой учено�ти", что � обтекаемого немецкого на пон�тный ру��кий можно переве�ти как "�трашна� заумь, выдумана� на нашу голову геттинген�кими занудами". Второй причиной, не�омненно, �вл�ло�ь то, что физиче�кий �мы�л теории был аб�олютно не про��нен. Людей �о знанием кла��иче�кой физики о�обенно нервировали в�е �ти непон�тные квантовые �качки и "загадочна�" ди�кретно�ть, которые не имеют аналогов в кла��ике, но �о времен Планка прочно угнездили�ь в физике. � теперь к ним добавила�ь нова� беда: невозможно�ть припи�ать микроча�тице определенную траекторию движени�. Понадобило�ь еще около де��ти лет, чтобы до�таточно про��нить �тату� квантовых �качков и траекторий микроча�тиц в �озданной Бором и Гейзенбергом копенгаген�кой интерпретации квантовой механики. Хот� полной ��но�ти в �том вопро�е нет до �их пор. Квантова� теори� - един�твенна� физиче�ка� теори�, котора� имеет не одну, а не менее четырех (!) различных физиче�ких интерпретаций и�пользуемого в ней математиче�кого аппарата. �еобходимо отметить, что хот� в матричной механике много внимани� удел�ло�ь �об�твенным значени�м �рмитов�ких матриц и их физиче�кому �мы�лу, но никто в то врем� не задумывал�� о физиче�ком �мы�ле набора �об�твенных векторов, отвечающих данным �об�твенным значени�м, в бази�е которых �рмитов�ка� матрица имеет диагональный вид! �е по�леднюю роль в холодном приеме новой механики, видимо, �ыграло и непри�зненное отношение одного из величайших немецких физиков-�к�периментаторов Вильгельма Вина лично к Вернеру Гейзенбергу. Дело в том, что за не�колько лет до опи�ываемых �обытий Гейзенберг позорно провалил�� на �кзамене у Вина, показав �вое полное незнание о�новных �к�периментальных методов физики того времени. Только лична� про�ьба Зоммерфельда �па�ла Гейзенберга от реальной возможно�ти о�тать�� без универ�итет�кого диплома. С тех пор и до конца �воей жизни Вин �читал Гейзенберга молодым вы�кочкой-неучем.

Таким образом, многие физики по разным причинам не прин�ли матричную теорию Гейзенберга-Борна-Иордана и �тра�тно желали, чтобы �о временем (лучше, как можно �корее!) она была заменена другой теорией микромира, в которой не о�тало�ь бы ме�та �тим ужа�ным квантовым �качкам, матрицам и тому подобной жути, чтобы �та друга� теори� хот� бы отдаленно напоминала прежние уютные теории � их непрерывно�тью, определенными траектори�ми и привычными дифференциальными уравнени�ми, опи�ывающими �ти траектории.

Именно в �итуации под�пудного ожидани� большин�твом физиков по�влени� "новой-�тарой" теории микромира 27 �нвар� 1926 года в редакцию немецкого физиче�кого журнала "Annalen der Physik" по�тупила перва� из целой �ерии работ ав�трий�кого физика Эрвина Шредингера, в которой, как ошибочно могло показать�� �начало, �одержит�� �толь желанное решение в�ех проблем. Стать� называла�ь "Квантование как задача о �об�твенных значени�х" ("Quantisierung als Eigenwertproblem"). В �той работе и п�ти по�ледующих Шредингером были заложены о�новы волновой механики. Спу�т� 35 лет Мак� Борн пи�ал: "Что �уще�твует более выдающего�� в теоретиче�кой физике, чем его (Шредингера - �.�.) первые ше�ть работ по волновой механике?" ([4] �тр.384). В "первые ше�ть работ" Шредингера, буквально во�петые Борном, вход�т четыре �татьи под общим названием "Квантование как задача о �об�твенных значени�х", первую из которых мы подробно разберем ниже, работа "Об отношении квантовой механики Гейзенберга-Борна-Иордана к моей", в которой показана математиче�ка� �квивалентно�ть матричной и волновои механик, и работа "�епрерывный переход от микро- к макромеханике"- �ама� �лаба� в цикле, но �ильно повли�вша� на взгл�ды �амого Шредингера, который почти до конца �воей жизни пытал�� �троить компактные волновые пакеты, которые бы �оответ�твовали движению микроча�тиц, так как �то впервые было им проделано в "�епрерывном переходе..." дл� ча�тного �луча� потенциала гармониче�кого о�цил�тора. О�новные работы Э.Шредингера переведены на ру��кий �зык и опубликованы в двух �борниках [4,5]. Помимо �того, их подробный пере�каз дан в книге �.И.�н�ельма [6].

Работы Шредингера �вл�ют�� венцом второго подхода к по�троению квантовой теории, который у�ловно можно ве�ти от Мак�а Планка и �льберта Эйнштейна через фигуру Луи де Бройл� к Эрвину Шредингеру. Е�ли физики "боров�кого толка" в�лед за �воим учителем, по�кольку �того требовали результаты �к�периментов, �мело уходили от берегов кла��иче�кой физики в таин�твенное матричномеханиче�кое море, то пред�тавители второго подхода �ловно грече�кие мореплаватели пробирали�ь в незнакомые земли внутриатомных �влений ни на �екунду не упу�ка� из вида �па�ительный берег кла��иче�кой физики. Е�ли "боровцы" делали упор на карпу�кулы и квантовые �качки, то "�йнштенианцы" (будем называть их так, по�кольку зримое или незримое при�ут�твие Эйнштейна �в�зывало их между �обой) на плавные переходы и волновую природу микромира. Е�ли Бор, Борн, Гейзенберг, Паули и Иордан хорошо знали друг друга и �оздавали матричную механику в атмо�фере непрерывного общени� и обмена иде�ми, то Планк, Эйнштейн, де Бройль и Шредингер о�тавали�ь талантливыми одиночками, а их личное знаком�тво �о�то�ло�ь уже по�ле того, как волнова� механика была �оздана. И е�ли матричную механику логиче�ки безукоризненную и математиче�ки безупречную более чем на�тороженно в�третили в широких кругах физиков, то волновой механике оказали �амый во�торженный прием, начина� уже � �амой первой логиче�ки ве�ьма противоречивой и �транной �татьи Шредингера. С вы�оты �овременного понимани� квантовых проце��ов можно утверждать, что оба подхода "боров�кий" и "�йнштейнов�кий" вне�ли примерно равный вклад в �тановление квантовой механики. �о, как �то не �транно, формальный матричный подход в конечном итоге �одей�твовал именно большему прогре��у в понимании физиче�кого �одержани� квантовой теории, а интуитиви�т�кие по�троени� волновой механики �вл�ют�� о�новой практиче�ки в�ех вычи�лительный до�тижений квантовой теории. Суммиру� в�е вышеизложенное, можно �казать, что оба пути �оздани� квантовой механики �вл�ют�� как бы взаимно дополнительными друг к другу в том �мы�ле, который вкладывал в �то пон�тие �.Бор.

Говор�т, что когда великому немецкому математику Давиду Гильберту ра��казали о матричной механике, он заметил, что матрицы обычно возникают при решении краевых задач теории дифференциальных уравнений. И �то замечание было отнюдь не �лучайным. В то врем� различные линейные и нелинейные дифференциальные уравнени� �о�тавл�ли о�нову математиче�кого аппарата теоретиче�кой физики. Кла��иче�ка� механика, теори� теплоты, теори� колебаний, �лектродинамика и даже теори� отно�ительно�ти - в�е они базировали�ь на получении и решении (точном или приближенном) различных типов дифференциальных уравнений. Львина� дол� математиков начина� где-то � �ередины XIX века занимала�ь �озданием методов решени� дифференциальных уравнений и изучением �вой�тв получивших�� решений. Даже Обща� теори� отно�ительно�ти � ее тензорным аппаратом в про�тран�тве Римана удобно укладывала�ь в привычную �хему, привод� только к у�ложнению вычи�лений, но не к переоценке фундаментальной роли дифференциальных уравнений в изучении природы. И тут гр�нула матрична� механика: коммутационные �оотношени�, диагонализаци� матриц, унитарные преобразовани�. �ичего общего � привычной �хемой. Удар, шок, пу�ть даже не вполне о�ознаный и �формулированный, да еще помноженный на необходимо�ть о�ваивать в�е примудро�ти матричного и�чи�лени�! По�тому, когда вдруг по�вл�ет�� �тать�, в которой уважаемый и изве�тный профе��ор Цюрих�кого универ�итета Эрвин Шредингер, зарекомендовавший �еб� р�дом ве�ьма заметных работ в обла�ти кинетиче�кой теории газов, �тати�тиче�кой механики, физики непрерывных �ред, физиче�кой оптики и общей теории отно�ительно�ти (по�ледние за�лужили ве�ьма вы�окую оценку �.Эйнштейна), пишет работу, в которой � первых �трочек утверждает, что вней он "... �обирает�� показать на про�тейшем примере нерел�тиви�т�кого �вободного атома водорода, что обычные правила квантовани� могут быть заменены другими положени�ми, в которых уже не вводит�� каких-либо "целых чи�ел", что целочи�ленно�ть "получает�� при �том един�твенным образом �ама по �ебе подобно тому, как �ама по �ебе получает�� целочи�ленно�ть чи�ла узлов при ра��мотрении колеблющей�� �труны (вот, вот она - така� долгожданна� аналоги� � кла��иче�кой физикой!)", что �то "новое пред�тавление может быть обобщено" и "что оно те�но �в�зано � ИСТИ��ОЙ ПРИРОДОЙ КВ��ТОВ��ИЯ", то любому "кла��иче�кому" физику � радо�тью хочет�� верить в подобные заверени� ма�титого профе��ора.

Прежде, чем идти дальше, разберем, что Шредингер понимал под "обычными правилами квантованиÑ�". КазалоÑ�ÑŒ бы, что из вÑ�его вышеÑ�казанного о матричной механике Ñ� необходимоÑ�тью Ñ�ледует, что под "обычными правилами" Шредингер как раз и понимает правила длÑ� нахождениÑ� Ñ�обÑ�твенных значений матрицы Гамильтона в теории Гейзенберга-Борна-Иордана. Ð�о еÑ�ли даже длÑ� Ñ�амих авторов матричной механики данные правила Ñ�ложны и непривычны, то Ñ� какой Ñ�тати они вдруг Ñ�тановÑ�Ñ‚Ñ�Ñ� "обычными" длÑ� ученого, веÑ�ьма далекого от проповедников новой "геттингенÑ�кой ученоÑ�ти"? Таким образом, первое "очевидное" предположение не верно. Более того, к моменту напиÑ�аниÑ� Ñ�воей Ñ�татьи Шредингер мог, разве что, знать о Ñ�амой первой работе Гейзенберга, котораÑ�, хотÑ� и поÑ�тупила в редакцию "Zeitschrift für Physik" еще 29 июлÑ�, но была опубликована только в конце года (вÑ�е, кто имел дело Ñ� публикациÑ�ми Ñ�воих научных Ñ�татей могут подтвердить, что такаÑ� задержка вполне обычна: пока отрецезируют, пока наберут, пока гранки пришлют, пока отпечатают, именно поÑ�тому в вопроÑ�ах преоритета важную роль играет то, когда Ñ�татьÑ� поÑ�тупила в редакцию, а не когда была напечатана), а две Ñ�татьи, в которых матричнаÑ� механика формулируетÑ�Ñ� Ñ�трого [2], даже теоретичеÑ�ки Шредингеру извеÑ�тны быть не могли, поÑ�кольку вышли из печати в первой половине 1926 года, то еÑ�Ñ‚ÑŒ тогда, когда оÑ�нова волновой механики уже Ñ�ущеÑ�твовала. Ð’Ñ�вÑ�зи Ñ� Ñ�тим нам кажетÑ�Ñ� неправильным Ñ�ледующее замечание авторов недавно вышедшей книги [7] на Ñ�Ñ‚Ñ€.59: "Можно думать, Шредингер иÑ�кренне Ñ�читал, что он Ñ�оздал новую теорию атомных Ñ�влений. Во вÑ�Ñ�ком Ñ�лучае Ñ�то вполне объÑ�Ñ�нÑ�ет упорное нежелание замечать предшеÑ�твенников. Ð’ его Ñ�татье нет Ñ�Ñ�ылок на Гейзенберга, Борна и Иордана, и даже Паули, который уже решил задачу Кеплера". Да их и не могло быть! Более того, поÑ�ле Ñ�опоÑ�тавлениÑ� дат не вызывает никакого Ñ�омнениÑ�, что Ñ�татьÑ� Паули поÑ�вилаÑ�ÑŒ в редакции "Zeitschrift..." уже ПОСЛЕ того, как Ñ�татьÑ� Шредингера была поÑ�лана в "Annalen ...". Ð� опубликованы обе вообще во второй половине 1926 года. КÑ�тати, Ñ�Ñ�ылки на работы по матричной механике поÑ�влÑ�ÑŽÑ‚Ñ�Ñ� уже во второй Ñ�татье Шредингера, а четвертаÑ� по Ñ�чету его работа целиком поÑ�вÑ�щена поиÑ�ку Ñ�оответÑ�твиÑ� между матричной и волновой механиками. Можно предположить, что Зоммерфельд, которого во второй Ñ�татье Шредингер благодарит за "дружеÑ�кое пиÑ�ьмо" Ñ� полезной информацией, как раз и Ñ�ообщил Шредингеру о доÑ�тижениÑ�Ñ… геттингенцев. Чтобы закрыть тему, отмечу, что вцелом в очень хорошей и Ñ�овременной книге [7] авторы Ñ�вно Ñ�импатизируют Гейзенбергу и фон Ð�ейману, их выдающимÑ�Ñ� доÑ�тижениÑ�м и, можно Ñ�казать, враждебно отноÑ�Ñ�Ñ‚Ñ�Ñ� к неменее гениальным результатам Шредингера, вÑ�Ñ�чеÑ�ки пытаÑ�Ñ�ÑŒ принизить их оригинальноÑ�Ñ‚ÑŒ и значимоÑ�Ñ‚ÑŒ. ПодобнаÑ� предвзÑ�тоÑ�Ñ‚ÑŒ во многом портит общее впечатление от книги.

�о вернем�� к вопро�у, что же понимал Шредингер под "обычными правилами квантовани�"? Е�ли более детально ознакомить�� � и�торией квантовой теории, то на по�тавленный вопро� может по�вить�� только один ответ. Шредингер имел ввиду (квазикла��иче�кое) правило квантовани� Бора-Зоммерфельда

$$\oint\, p_i d\, q_i = h\, n_i,$$ (1)

где $q_i$ и $p_i$ - $i$-ые компоненты обобщенных координат и обобщенных импуль�ов �и�темы, $h$-по�то�нна� Планка, а $n_i$-некоторое целое чи�ло. Данное правило квантовани� было по�тулированно Зоммерфельдом в 1916 году как е�те�твенное обобщение теории атома Бора и к 1925 �тало "обычным", но требование целочи�ленно�ти в (1) продолжало о�тавать�� загадочным и необъ��нимым. Именно � �тим правилом �в�занны в�е у�пехи "наивной квантовой теории" до фундаментальных работ Гейзенберга и Шредингера, в которых �одержала�ь нова� квантова� теори�. Заметим, что нова� квантова� механика про��нила �мы�л правила квантовани� Бора-Зоммерфельда и указала на его приближенно�ть. Дл� получени� более подробной информации заинтере�ованному читателю можно рекомендовать книги [6] и [8].

Таким образом, изначально в �воей работе Шредингер пытал�� про��нить �ущно�ть правила квантовани� Бора-Зоммерфельда и избавить�� от загадочной по�тулативной целочи�ленно�ти именно в (1). �о так �ложило�ь, что за врем� между напи�анием и публикацией первой работы по волновой механике, у новой теории Шредингера по�вил�� иной более подготовленный и грозный оппонент - теори� Гейзенберга-Борна-Иордана. Именно в каче�тве "�па�ительной альтернативы от ужа�ов матричной механики" волнова� механика Шредингера и была во�прин�та �овременниками.

�аконец перейдем к разбору важнейших положени�м первой работы Шредингера по волновой механике. Шредингер, подобно Зоммерфельду, начинает формулировать �вой рецепт квантовани� � хорошо изве�тного в начале XX века любому физику � кла��иче�ким образованием уравнени� Гамильтона-Якоби дл� кон�ервативной �и�темы:

$$H\left (q,\,\frac{\partial\, S}{\partial\, q} \right )\, =\, E.$$ (2)

Под $q$ Шредингер понимает �овокупно�ть в�ех обобщенных координат ра��матриваемой �и�темы, $S$-дей�твие или укороченное дей�твие, что дл� �луча� кон�ервативной �и�темы не играет большой роли, ча�тна� производна� дей�тви� по координате пред�тавл�ет �обой обобщенный импуль�, а $E=const$ - �нерги� �тационарного уровн�. Я�но�ть и прозрачно�ть и�ходного принципа, который положен Шредингером в о�нову �воей теории, � �амого начала делает ее более предподчтительной дл� во�при�ти� широкими кругами физиков, нежели безу�ловна� оригинально�ть, но определенна� �ложно�ть и�ходного принципа матричной механики Гейзенберга.

Ищет�� решение $S(q)$ дифференциального уравнени� (2), "пред�тавл�ющее �обой �умму функций, кажда� из которых зави�ит только от одной из незави�имых переменных $q$". Подобный подход к решению уравнени� (2) тоже �вл�ет�� �тандартным дл� �воего времени. Следующим шагом Шредингер производит замену переменных в (2). Он вводит новую функцию $\psi$ �огла�но у�ловию:

$$S\, =\, K\,{\rm ln}\,\psi .$$ (3)

Из �вой�тв логарифмов �ледует, что функци� $\psi$ имеет "вид произведени� функций, зави��щих только от одной координаты". Таким образом впервые в физику была введена волнова� функци� микроча�тицы, хот� в ра��матриваемой работе Шредингера �тот термин еще от�ут�твует. По �мы�лу преобразовани� (3), функци� $\psi$ должна быть дей�твительной и безразмерной, однако �пециально �ти у�лови� в �татье не оговаривают��. �е�колько позже физики поймут, что в общем �лучае волнова� функци� может быть комплек�на, а потому замена переменных (3) некорректна.

Вообще говор�, � комплек�но�тью волновой функции Шредингер должен был �толкнуть�� уже в �воей первой работе, по�кольку решение уравнени� (8) дл� атома водорода в �фериче�ких координатах $r$, $\theta$, $\varphi$ имеет �ледующий вид ([9] �тр.206):

$$\psi_{nlm}(r,\theta ,\varphi)=\chi_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta ,\varphi),$$

где $\chi_{nl}(r)$-радиальна� волнова� функци�, $Y_{lm}(\theta ,\varphi)=\Theta_l(\theta)\, e^{im\varphi}$-шарова� функци�, в которой �о�редоточена в�� зави�имо�ть от углов, $n$-главное квантовое чи�ло, $l$-орбитальное квантовое чи�ло (напомним, что е�ли главное квантовое чи�ло задано, то орбитальное квантовое чи�ло может принимать значени� $l$=0, 1, 2, ... $n-1$), $m$-магнитное квантовое чи�ло (которое при заданном $l$ равно $m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\, ...\,\pm l$). По�тому, в �лучае, когда $m\ne 0$ и $\varphi\ne 0$, шарова� функци�, а вме�те � ней и волнова� функци� $\psi$ �тационарного �о�то�ни� атома водорода, комплек�ны.

Однако, в об�уждаемой �татье Шредингер хот� и упоминает дважды о шаровых функци�х (в первый раз они ему нужны, чтобы показать целочи�ленно�ть орбитального квантового чи�ла $l$), но ни где �вно их не выпи�ывает, а о магнитном квантовом чи�ле не упоминает вов�е. Такой подход вызывает определенное удивление. Более того, по в�е видимо�ти, �ам Шредингер впервые �толкнул�� � комплек�но�тью волновой функции только тогда, когда в �ледующих �воих работах и��ледовал развитие квантовой �и�темы во времени. �о, даже, не �мотр� на �то, еще до�таточно долгое врем� утверждал: "�епри�тно - против �того даже �ледует возражать - применение комплек�ных чи�ел. $\psi$ в�е-таки реальна� функци�..." (�м. [4], �тр.204).

Про�ледим далее за ходом мы�лей и формой изложени� Э.Шредингера. "По�то�нную $K$ приходит�� вве�ти из �оображений размерно�ти, �огла�но которым она доолжна обладать размерно�тью дей�тви�. Таким образом получаем �оотношение

$$H\left (q,\,\frac{K}{\psi}\,\frac{\partial\,\psi}{\partial\, q} \right )\, =\, E.$$ (4)

... При пренебрежении изменени�ми ма��ы уравнение (4) можно в�егда �ве�ти, по крайней мере в �лучае одно�лектронной проблемы, к �лудующему виду: квадратична� форма от функции $\psi$ и ее первых производных равна нулю." �апример, дл� �лектрона в атоме водорода в пр�моугольных координатах данна� квадратична� форма имеет вид:

$$\frac{p^2_x}{2m}+\frac{p^2_y}{2m}+\frac{p^2_z}{2m}-\frac{e^2}{r}-E\, =\, 0,$$

где $\psi = \psi (x,y,z)$, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $m$-ма��а �лектрона, $e$-его зар�д. По�ле очевидных преобразований можно запи�ать (учитываем, что $p_i=\partial S/ \partial q_i = (K/\psi)(\partial\psi /\partial q_i)$):

$$\left (\frac{\partial\,\psi}{\partial\, x} \right )^2+ \left... ...t )^2- \frac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\psi^2=0.$$ (5)

Следующа� фраза �вл�ет�� ключевой дл� в�ей первой работы Шредингера по волновой механике. "Ищем такую дей�твительную (лишнее подтверждение того, что волнова� функци� не �читает�� комплек�ной - �.�.) во в�ем конфигурационном про�тран�тве однозначную ограниченную и в�юду дважды дифференцируемую функцию $\psi$, котора� дает �к�тремальное значение интегралу от упом�нутой квадратичной формы (то е�ть формы (5)-�.�.), ра�про�траненному по в�ему крнфигурационному про�тран�тву. Эта вариационна� проблема и замен�ет у на� квантовые у�лови�." Указанна� вариационна� проблема дл� атома водорода имеет вид:

$$\delta J =\delta\,\int\int\int\, dx\, dy\, dz\, \left [ \lef... ...rac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\psi^2 \right ]=0.$$ (6)

"Интеграл берет�� �де�ь по в�ему про�тран�тву. Обычным �по�обом от�юда получаем

$$\frac{1}{2}\,\delta J\, =\,\int\, df\,\delta\psi\,\frac{\par... ...ac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\,\psi \right ] =0.$$ (7)

Следовательно, должно быть, во-первых, �праведливо уравнение

$$\Delta\psi+\frac{2m}{K^2}\,\left (E+\frac{e^2}{r}\right )\,\psi =0,$$ (8)

и, во-вторых, должен равн�ть�� нулю ра�про�траненный по в�ей бе�конечно удаленной замкнутой поверхно�ти интеграл"

$$\int\, df\,\delta\psi\,\frac{\partial\psi}{\partial n}=0,$$ (9)

где $df$-�лемент бе�конечно удаленной поверхно�ти, а $n$-нормаль к поверхно�ти.

Вот и в�е. Получившее�� таким образом уравнение (8) теперь называют �тационарным уравнением Шредингера дл� атома водорода в координатном пред�тавлении. Оно допу�кает очевидное обощение на любое потенциальное поле и �вл�ет�� одной из двух вершин работы Эрвина Шредингера как физика-теоретика. Потом по�ледуют теори� возмущений и не�тационарное уравнение (втора� вершина), многочи�ленные приложени� к конкретным проблемам микромира, обобщени� дл� ча�тиц �о �пином и рел�тиви�т�ких ча�тиц, но именно при помощи уравнени� (8) был �овершен решающий прорыв в понимании законов микромира.

О�тало�ь еще много вопро�ов, на которые хотело�ь бы получить ответы. Во-первых, что делать � уравнением (5), ведь �овершенно очевидно, что решени� уравнений (5) и (8) различны? Во-вторых, зачем понадобило�ь практиче�ки на пу�том ме�те вводить вариационный принцип (6), который по загадочно�ти �воего прои�хождени� может по�порить � правилом квантовани� Бора-Зоммерфельда? Фактиче�ки выходит так, что не �уще�твует пр�мого логиче�кого перехода от уравнений Гамильтона-Якоби (4) к вариационному принципу (6). И, наконец, каков физиче�кий �мы�л введенной в результате замены переменных (3) загадочной функции $\psi$? �и на один из �тих вопро�ов, возможно, и�ключа� по�леднего, перва� �тать� Шредингера не дает четкого ответа. По�тому возникает подозрение, что на �амом деле Шредингер получил уравнение (8) каким-то иным �по�обом, а потом, уже зна� правильный ответ, попытал�� выве�ти его более наукообразно методами, наиболее ра�про�траненными в теоретиче�кой физике начала XX века. В пользу подобного предположени� �видетель�твует целый р�д фактов.

Факт первый. Совершенно неожиданно, по крайней мере из логики �татьи �то не �ледует, при попытке обозначить физиче�кое �одержание функции $\psi$, Шредингер пишет: "Довольно е�те�твенно �в�зывать функцию $\psi$ � некоторым колебательным проце��ом в атоме, в котором реально�ть �лектронный траекторий в по�леднее врем� неоднократно подвергала�ь �омнению (что �то, намек на �татью [1] Гейзенберга?)." И далее: "Я �начала тоже хотел обо�новать новое понимание квантовых правил, и�пользу� указанный �равнительно нагл�дный путь, но потом предпочел ра��мотренный в �татье чи�то математиче�кий �по�об, так как он дает возможно�ть лучше вы��нить в�е �уще�твенные �тороны вопро�а. Суще�твенным мне кажет�� то, что квантовые правила не ввод�т�� больше как загадочное "требование целочи�ленно�ти" (�м. уравнение (1) - �.�.)а определ�ют�� необходимо�тью ограниченно�ти и однозначно�ти некоторой определенной про�тран�твенной функции (в�е, держа�ь привычного берега, грече�кие мореходы приплыли в новые земли! - �.�.)."

Факт второй. Практиче�ки впр�мую называет�� и путь, по которому Шредингер пришел к уравнению (8) первоначально - отталкива��ь от "безумной" и в то врем� еще твердо не подтвержденной �к�периментально гипотезы Л. де Бройл� о волнах материи (в�помните, результаты опытов Д�ви��она и Джермера �тали изве�тны только в 1927 году): "Прежде в�его, нельз� не упом�нуть, что о�новным и�ходным толчком, который привел к по�влению приведенных �де�ь ра��уждений, была ди��ертаци� де Бройл�, �одержаща� много глубоких идей, а также размышлений о про�тран�твенном ра�пределении "фазовых волн"... Главное отличие от теории де Бройл�, в которой говорит�� о пр�молинейно ра�про�трон�ющей�� волне, заключает�� зде�ь в том, что мы ра��матриваем, е�ли и�пользовать волновую трактовку, �то�чие �об�твенные колебани� (в то врем�, как у де Бройл� ра��матривают�� бегущие волны материи в вакууме - �.�.)." Замечательно, но тогда при чем тут уравнени� Гамильтона-Якоби и вариационный принцип? И�черпывающий ответ дает�� во второй �татье Шредингера из цикла "Квантование как задача о �об�твенных значени�х", которую мы надеем�� детально разобрать в �ледующей заметке. В ней уравнение (8) получает�� аб�олютно другим �по�обом при помощи применени� к нерел�тиви�т�ким волнам материи Л. де Бройл� оптико-механиче�кой аналогии Гамильтона. Спо�об легкий, кра�ивый, очень логичный, но математиче�ки не �трогий в противове� "не ��ного �амого по �ебе преобразовани� (3) и �толь же не ��ного перехода от приравнивани� нулю некоторого выражени� к требованию того, чтобы про�тран�твенный интеграл от �того же выражени� был �тационарным (�то �об�твенные �лова Шредингера из второй �татьи, в которой он комментирует первую! - �.�.)". Кроме того, �охранило�ь множе�тво и�ториче�ких �видетель�тв, в которых коллеги Шредингера на�таивают, что в�е начало�ь именно � оптико-механиче�кой аналогии Гамильтона, примененной дл� более ��ного понимани� �ущно�ти идеи волн материи Л. де Бройл� [8].

Однако, вернем�� к первой работе. Что еще в ней �делано? Почти на дев�ти �траницах Шредингер проводит анализ уравнени� (8) в пол�рных координатах как при $E > 0$, так и при $E\le 0$. Мы не будем его �де�ь подробно во�производить, по�кольку данный анализ можно найти в любом учебнике по квантовой механике, например, в [9]. Шредингер у�тановил, что в �лучае $E > 0$ �пектр но�ит непрерывный характер, а в cлучае $E\le 0$ вариационна� задача имеет решени� тогда и только тогда, когда значение $E$ удовлетвор�ет у�ловию

$$E_n=-\,\frac{m\, e^4}{2K^2n^2},$$ (10)

где $n$-произвольное целое чи�ло. Из �равнени� (10) и �пектра, полученного �.Бором дл� атома водорода, Шредингер заключает, что $n$ можно отожде�твить � главным квантовым чи�лом (введеным Бором еще в 1913 году), е�ли положить $K=h/2\pi$. В на�то�щее врем� по�то�нна� $K$ но�ит название перечеркнутой по�то�нной Планка или дираков�кой по�то�нной и обозначает�� $\hbar$. Далее в работе приводит�� обща� формула дл� радиальной ча�ти волновой функции $\chi_{nl}$, и и��ледует�� кратно�ть вырождени� $\psi$ по $n$ и $l$: "Под�чет чи�ла по�то�нных в шаровых функци�х показывает, что найденое решение �одержит при допу�тимых комбинаци�х ($n$,$l$) ровно $2l+1$ произвольных по�то�нных; при заданном значении $n$ чи�ло произвольных по�то�нных равно, таким образом, $n^2$". Е�ли же уче�ть �пин �лектрона, о �уще�твовании которого в конце 1925 - начеле 1926 года было не изве�тно, то кратно�ть вырождени� каждого �нергетиче�кого уровн� $E_n$ будет равна $2n^2$. В �том ме�те во второй и по�ледний раз в работе по�вл�ет�� упоминание о шаровых функци�х, но оп�ть по непон�тной причине не принимает�� во внимание, что при $l\ne 0$ �ти функции могут оказать�� комплек�ными.

По�ледний раз позволим �ебе немного пофантазировать. Возможно, что ключ к ответу на вопро�, почему шаровые функции были проигнорированы Шредингером, лежит в маленькой ��ылке, котора� предвор�ет анализ решений уравнени� (8): "Я Глубоко благодарен Герману Вейлю за его помщь при решении уравнени� (8)". Вполне возможно, �то означает, что Шредингер узнал у Вейл� некоторые минимальные о�новные �ведени� о шаровых функци�х (результат дей�тви� на них оператора Лапла�а в �фериче�ких координатах, кратно�ть вырождени�, нормировку), которые помогли ему решить уравнение (8), но � �вным пред�тавлением �тих функций глубоко не разобрал��. От�юда и от�ут�твие �вного вида шаровых функций в тек�те �татьи, и незнание того, что шаровые функции могут оказать�� комплек�ными. Впрочем, в�е �то и�ключительно домы�лы. Подтверждающих их �видетель�тв либо не �уще�твует вов�е, либо они не �охранили�ь.

Так что же, не �мотр� на в�е логиче�кие противооречи� и пр�мые ошибки, за�тавило �овременников �амым во�торженным образом отне�ти�ь к зарождающей�� волновой механике уже � �амой первй не очень удачной �татьи Э.Шредингера? В о�новном, как уже многократно отмечал�ь выше, ее кажуща��� интегрированно�ть в привычные пон�ти� теоретиче�кой физики того времени: дифференциальне уравнение Гамильтна-Якби, вариационный принцип, возникновение ди�кретных уровней в атоме водорода подобно тому, "как �ама по �ебе получает�� целочи�ленно�ть чи�ла узлов при ра��мотрении колеблющей�� �труны", кажущее�� от�ут�твие �тих ужа�ных квантовых �качков. Планк пи�ал Шредингеру в апреле 1926 года: "Читаю Вашу �татью � тем же напр�жением, � каким любопытный ребенок вы�лушивает разв�зку загадки, над которой он долго мучил��, и радую�ь кра�отам, ра�крывающим�� перед моими глазами". Планку вторит Лоренц: "... даже е�ли окажет��, что на �том пути не уда�т�� прийти к удовлетворительному решению, в�е же �ледует во�хищать�� проницательно�тью Ваших �оображений и наде�ть��, что Ваши у�или� �уще�твенно помогут глубже проникнуть в �ти загадочные (квантовые - �.�.) �влени�." И, наконец, реакци� Эйнштейна: "Го�подин Планк � оправданным во�торгом, показал мне Вашу теорию, которую � так же �тал изучать � огромным интере�ом". И некоторое врем� �пу�т�: "Я убежден, что Вашей формулировкой у�ловий квантовани� Вы добили�ь решающего у�пеха. Я так же убежден, что путь, избранный Гейзенбергом и Борном, уводит в �торону." � вот, что пишет в �воих во�поминани�х [10] В.Гейзенберг: "...методика Шредингера позвол�ла о�уще�твить целый р�д вычи�лений, которые в квантовой (то е�ть матричной - �.�.) механике были бы чрезвычайно �ложными." � многие, как, например, уже упоминавший�� В.Вин, напр�мую �в�зывали отно�ительную легко�ть вычи�лений в волновой механике по �равнению � матричной � тем, что волнова� механика �вл�ет�� более правильнй теорией дл� опи�ани� микромира.

Что в первой �татье Шредингера по волновой механике ценно дл� потомков? Прежде в�его - в �той �татье впервые по�вл�ет�� �тационарное уравнение Шредингера. Пу�ть оно "выведено" аб�олютно не логичным, можно �казать, даже неверным методом. Сегодн� мы знаем, что уравнение Шредингера корректно выве�ти не возможно вов�е. Это один из по�тулатов квантовой механики, подобно тому, как законы �ьютона �вл�ют�� по�тулатами механики кла��иче�кой. Это первое. Второе - впервые введено пон�тие волновой функции микроча�тицы $\psi$ и �делана попытка придать функции $\psi$ определенный физиче�кий �мы�л. Именно начина� � ра��мотреной нами �татьи Шредингера, в квантовой теории обратили внимани� не только на �об�твенные значени� некоторго дифференциального оператора (или матрицы, как у Гейзенберга, Борна и Иордана), но и на �об�твенные функции данного оператора. И по�леднее, в работе проведен �тавший теперь кла��иче�ким анализ решени� уравнени� Шредингера дл� ча�тицы в центрально�имметричном поле. Этот анализ вошел � небольшими изменени�ми во в�е учебники по квантовой механике.

Возмжно, что не менее поучительно, про�ледить шаг за шагом ход живой мы�ли великого ав�трий�кого физика и таким образом проникнуть�� духом физиче�кой науки - на�то�щим духом неподдельного творче�тва и возвышенного и�кани� и�тины, который начи�то и�чезает в логиче�кой выверенно�ти и методиче�кой прилизанно�ти �тандартных учебных по�обий.

�а �том мы завершаем первую ча�ть �татьи, по�в�щенной 75-летию �оздани� волновой механики. Следующие две ча�ти планирует�� по�в�тить иному "выводу" �тационарного уравнени� Шредингера при пмощи оптико-механиче�кй аналогии Гамильтна и логике напи�ани� Шредингером не�тацинарного уравнени� дл� �волюции волновой функции.

Copyright (c) "Ру��кий переплет"