TopList Яндекс цитирования
Русский переплет
Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум
-->
Первая десятка "Русского переплета"
Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?
Rambler's Top100
next up previous
Next: Задача 6 Up: Лекция 6. Массовые формулы. Previous: Декуплет барионов

Мезоны. Смешивание

Переходя к мезонам, отметим две особенности. Первая состоит в том, что массовый лагранжиан бозонов квадратичен по массам частиц в отличие от массового лагранжиана фермионов линейного по массам частиц. Поэтому в массовых соотношениях для бозонов будут фигурировать квадраты масс. Например по аналогии с формулой Гелл-Манна - Окубо мы получаем следующие соотношения для масс частиц октетов псевдоскалярных и векторных мезонов.

\begin{displaymath}3m^2_{\eta_8} + m^2_{\pi} = 4m^2_K\end{displaymath}


\begin{displaymath}3m^2_{\omega_8} + m^2_{\rho} = 4m^2_{K^*}\end{displaymath}

Здесь $\eta_8$ и $\omega_8$ - изотопически синглетные компонеты унитарных октетов

\begin{displaymath}{P^3}_3 = -\frac{2\eta_8}{\sqrt{6}}~~~~~~~~
{V^3}_3 = -\frac{2\omega_8}{\sqrt{6}}.\end{displaymath}

Эти частицы ненаблюдаемы также, как ненаблюдаемы изотопически синглетные унитарные синглеты $\eta_0$ и $\omega_0$. Причина их ненаблюдаемости (вторая особенность мезонов по сравнению с барионами) состоит в том, что $SU(3)$- синглетные и октетные мезоны смешиваются из-за нарушения $SU(3)$- инвариантности. Смешивающая часть в массовом лагранжиане мезонов имеет симметрию (3,3) - компоненты тензора, т.е. допустима по симметрийным соображениям

\begin{displaymath}L^{mix}_m = m^2_{mix} {M^3}_3M_0,\end{displaymath}

где ${M^\alpha}_\beta$ представляет октет мезонов, а $M_0$ - синглетный мезон. Результатом смешивания мезонов $\eta_8$ и $\eta_0$ ($\omega_8$ и $\omega_0$) являются мезоны $\eta$ и $\eta^\prime$ ($\phi$ и $\omega$). Опишем процесс смешивания.

Нарисуем ось, на которой будем откладывать квадраты масс частиц. Начнем с псевдоскалярных мезонов. Нам известен квадрат массы мезона $\eta_8$: $m^2_{\eta_8} = (4m^2_K - m^2_{\pi})/3 = (566 MeV)^2$. Экспериментально известны квадраты масс мезонов $\eta$ и $\eta^\prime$: $m^2_\eta = (549 MeV)^2$ и $m^2_{\eta^\prime} =
(958 MeV)^2$


\begin{displaymath}------\vert------\vert-----------\vert------\vert------>\end{displaymath}


\begin{displaymath}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eta~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eta_8~~~~~~~~~~~~~~~...
...~~~~~~~~~~
\eta_0~~~~~~~~~~~~~~~~~\eta^\prime~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{displaymath}


\begin{displaymath}~~~~~~~~~~~~~~(549)^2~~~~~~~~~~~~(566)^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(949)^2~~~~~~~~~~~~(958)^2~~~~~~~~~~~~~~\end{displaymath}


\begin{displaymath}~~~~~~~~~~{\small\frac{1}{\sqrt{6}}(u{\bar u} + d{\bar d} -
2...
...frac{1}{\sqrt{3}}(u{\bar u} + d{\bar
d} + s{\bar s})}~~~~~~~~~~\end{displaymath}




Квадрат массы мезона $\eta_0$ находится по формулам смешивания:

\begin{displaymath}m^2_{\eta^\prime} - m^2_{\eta_0} =
m^2_{\eta_8} - m^2_\eta\end{displaymath}

- два уровня расталкиваются в противоположные стороны на равные расстояния. Мы видим, что недиагональный $\eta_8$- мезон легче недиагонального $\eta_0$- мезона, хотя тяжелых странных кварков в $\eta_8$- мезоне больше, чем в $\eta_0$- мезоне, и это вызывает удивление, обсуждать которое мы будем на следующей лекции. Смешивание мезонов описывается углом смешивания $\theta_P$

\begin{displaymath}\eta = cos\theta_P \eta_8 +
sin\theta_P \eta_0\end{displaymath}


\begin{displaymath}\eta^\prime = -sin\theta_P \eta_8 +
cos\theta_P \eta_0,\end{displaymath}

который можно найти, если обратить формулы смешивания

\begin{displaymath}\eta_8 = cos\theta_P \eta - sin\theta_P \eta^\prime\end{displaymath}


\begin{displaymath}\eta_0 = sin\theta_P \eta + cos\theta_P \eta^\prime\end{displaymath}

и вычислить матричный элемент оператора квадрата массы, например, по состоянию $\eta_8$- мезона

\begin{displaymath}m^2_{\eta_8} = cos^2\theta_P m^2_\eta + sin^2\theta_P
m^2_{\eta^\prime}. \end{displaymath}

Тогда

\begin{displaymath}sin^2\theta_P = \frac{m^2_{\eta_8} - m^2_\eta}{m^2_{\eta^\prime} -
m^2_\eta}~~~~~~~\rightarrow \vert\theta_P\vert \approx 10^o\end{displaymath}

Предсказание для угла смешивания $\theta_P$, полученное на основе массовых формул, мы будем использовать на следующей лекции при рассмотрении аннигиляции псевдоскалярных мезонов в два фотона.

Перейдем к векторным мезонам. Нам известен квадрат массы мезона $\omega_8$: $m^2_{\omega_8} = (4m^2_{K^*} - m^2_{\rho})/3 = (929
MeV)^2$. Экспериментально известны квадраты масс мезонов $\omega$ и $\phi$: $m^2_\omega = (780 MeV)^2$ и $m^2_{\phi} =
(1020 MeV)^2$


\begin{displaymath}------\vert------\vert-----------\vert------\vert------>\end{displaymath}


\begin{displaymath}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\omega~~~~~~~~~~~~~~~~~~\omega_0~~~~~~~~~~~...
...~~~~~~~~~~~~~~~
\omega_8~~~~~~~~~~~~~~~~~\phi~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{displaymath}


\begin{displaymath}~~~~~~~~~~~~~~(780)^2~~~~~~~~~~~~(900)^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(929)^2~~~~~~~~~~~~(1020)^2~~~~~~~~~~~~~~\end{displaymath}


\begin{displaymath}~~~~~~~~~~{\small\frac{1}{\sqrt{3}}(u{\bar u} + d{\bar d} +
...
...rac{1}{\sqrt{6}}(u{\bar u} + d{\bar
d} - 2s{\bar s})}~~~~~~~~~~\end{displaymath}




Масса мезона $\omega_0$, найденная по формулам смешивания, меньше массы мезона $\omega_8$ и это не вызывает удивления, поскольку в $\omega_0$ - мезоне меньше странных кварков, чем в $\omega_8$ - мезоне.

Смешивание векторных мезонов описывается углом смешивания $\theta_V$

\begin{displaymath}\omega = cos\theta_V \omega_0 + sin\theta_V \omega_8\end{displaymath}


\begin{displaymath}\phi = -sin\theta_V \omega_0 + cos\theta_V \omega_8.\end{displaymath}

Согласно массовым формулам этот угол равен

\begin{displaymath}sin^2\theta_V = \frac{m^2_{\omega_0} -
m^2_\omega}{m^2_{\phi}...
...mega}~~~~~~~\rightarrow
~~~~~~~\vert\theta_V\vert \approx 40^o.\end{displaymath}

Угол $\theta_V$ близок к идеальному углу смешивания

\begin{displaymath}cos {\theta_V}_{ideal} = \sqrt{\frac23}~~~~~~~~
sin {\theta_V}_{ideal} = \sqrt{\frac13}~~~~~~~~{\theta_V}_{ideal}\approx
35^o,\end{displaymath}

при котором $\omega$ - мезон не содержит странных кварков, а $\phi$ - мезон не содержит нестранных кварков.

Более подробно вопросы смешивания мезонов мы будем обсуждать на следующей лекции.


next up previous
Next: Задача 6 Up: Лекция 6. Массовые формулы. Previous: Декуплет барионов
Sergei B. Popov 2001-05-29

Rambler's Top100