Портал | Содержание | О на� | �вторам | �ово�ти | Перва� де��тка | Ди�ку��ионный клуб | Чат �аучный форум --> Перва� де��тка "Ру��кого переплета" Темы дн�:

Президенту Путину о �оздании Ин�титута И�тории Ру��кого �арода. |�а� по�етило 40 млн. человек | Чем занимали�ь ру��кие 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или �колько в Ро��ии молодых ученых?

Кварки и антикварки

Изотопиче�ка� �имметри� �ильных взаимодей�твий �в�зана � тем, что ма��ы $u$ и $d$ - кварков ( $m_u = 4 MeV, m_d = 7 MeV$) выгл�д�т приблизительно равными ( $m_u \approx m_d$) � точки зрени� характерного адронного ма�штаба ($1 GeV$)

$$\Delta m_{ud} << 1 GeV$$

и про�вл�ет�� в том, что �ильные взаимодей�тви� при $m_u = m_d$ инвариантны отно�ительно изотопиче�ких $SU(2)$ преобразований

$$\left( \begin{array}{l}u\\ d\end{array}\right) \rightarrow U(2) \left( \begin{array}{r}u\\ d\end{array}\right).$$

Про�тейшим (фундаментальным) пред�тавлением группы $SU(2)$ �вл�ет�� �пинор $\Psi^\alpha; \alpha = 1,2$, например дублет кварков. Группа $SU(2)$

$$U^+U = I~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~det U = 1$$

имеет три генератора $\frac{ \tau_i}{2}$

$$U = exp(i {\mbox{\boldmath $\omega$}}\frac{{\mbox{\boldmath $\tau$}}}{2}),$$

один из которых ( $\frac{\tau_3}{2}$) можно �делать диагональным. Матрицы $\tau_i$- �рмитовы (унитарно�ть матрицы $U$), бе��ледовы (равен�тво единице определител� матрицы $U$) и имеют вид

$$\tau_1 = \left(\begin{array}{l} 0~~~~1\\ 1~~~~0\end{array}\ri... ...\tau_3 = \left(\begin{array}{r} 1~~~~0\\ 0-1\end{array}\right).$$

Дл� них выполн�ют�� �ледующие коммутационные, антикоммутационные и нормировочные �оотношени�

$$\left[\frac{\tau_i}{2},\frac{\tau_j}{2}\right] = i\epsilon_{ijk}\frac{\tau_k}{2},$$

$$\left\{\tau_i ,\tau_j\right\} = 2\delta_{ij}I,$$

$$Tr(\tau_i\tau_j) = 2\delta_{ij}.$$

Дл� других пред�тавлений группы $SU(2)$ преобразовани� имеют вид

$$exp(i{\mbox{\boldmath $\omega$}}{\mbox{\boldmath $T$}}),$$

$$\left[T_i , T_j\right] = i\epsilon_{ijk}T_k .$$

Кварковый дублет преобразует�� по�ред�твом матрицы $U$ как контравариантный �пинор

$$q^{\prime\alpha} = {U^\alpha}_\beta q^\beta$$

�нтикварки преобразуют�� по�ред�твом комплек�но �опр�женной матрицы $U^*$

$$q^{\prime\alpha *} = {U^{\alpha *}}_\beta q^{\beta *}$$

или как ковариантный �пинор

$${\bar q}^{\prime}_\alpha = {\bar q}_\beta {U^{-1\beta}}_\alph... ...beta {U^{+\beta}}_\alpha = {\bar q}_\beta {U^{*\alpha}}_\beta.$$

В группе $SU(2)$ имеют�� два инвариантных тензора

$${\delta^\alpha}_\beta \rightarrow {U^\alpha}_{\alpha^\prime} ... ...a^\prime} {U^{-1{\beta^\prime}}}_\beta = {\delta^\alpha}_\beta,$$

$$\epsilon^{\alpha\beta} \rightarrow {U^\alpha}_{\alpha^\prime}... ...me} = \epsilon^{\alpha\beta} (det U) = \epsilon^{\alpha\beta}.$$

С помощью второго из них - анти�имметричного тензора $\epsilon^{\alpha\beta}$- ковариантный тензор можно преобразовать в контравариантный тензор, т.о. кварки и антикварки преобразуют�� по унитарно �квивалентным пред�тавлени�м

$${\bar q}_\alpha = ({\bar u},{\bar d})\begin{array}{c}\epsilon... ...ght) = {\bar q}^\beta = \epsilon^{\beta\alpha} {\bar q}_\alpha.$$