Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Рассказано об уединенных волнах пространственного заряда в электронном потоке и их связи с солитонами, описываемыми уравнением Кортевега-де Фриса.

И ЮБИЛЕЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Д. И. ТРУБЕЦКОВ

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

ВВЕДЕНИЕ

Электроника сверхвысоких частот (СВЧ) всегда использовала язык теории колебаний и волн. Более того, по-видимому, она одной из первых стала нелинейной наукой, активно применяющей методы вычислительной физики. Однако, начав с нелинейных волн, электроника СВЧ-надолго забыла о них, используя для описания обгона одних электронов другими метод Лагранжа, когда следят за каждой частицей. В последние годы успехи нелинейной динамики были столь значительны, что специалисты в области СВЧ электроники стали активно искать уединенные волны, режимы возникновения динамического хаоса и образования структур в электронных потоках и системах поток - электромагнитное поле.

В статье обсуждаются следующие вопросы. В разделе 1 дано краткое описание линейных волн пространственного заряда - медленной волны пространственного заряда (МВПЗ), с которой связывают перенос отрицательной энергии, и быстрой волны пространственного заряда (БВПЗ), переносящей положительную энергию. Рассмотрены два взаимодействующих электронных потока как иллюстрация систем с волновыми неустойчивостями - конвективной и абсолютной.

Раздел 2 посвящен юбиляру - уравнению Кортевега-де Фриса. Для электронного потока это уравнение получено в ряде работ из исходных уравнений при весьма серьезных упрощениях, которые не всегда оправданны.

Наконец, в разделе 3 приведены результаты аналитических исследований и вычислительного эксперимента, доказывающие существование медленной и быстрой уединенных волн пространственного заряда. Результаты вычислительных экспериментов сравниваются с аналитическими решениями уравнения Кортевега-де Фриса.

1. ДВУХЛУЧЕВОЙ УСИЛИТЕЛЬ

И ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

Начнем с поучительного примера неудавшегося прибора, предложенного известными в области СВЧ-электроники американскими физиками Джоном Пирсом и Андреем Гаевым. Прибор не удался, но его исследование дало чрезвычайно много для линейной теории волн и развития общей концепции колебаний и волн в электронных потоках. На рис. 1 двухлучевая лампа изображена схематически, причем пучки для наглядности разнесены. В экспериментальных макетах использовали две электронные пушки, которые обеспечивали различие в скоростях электронных потоков (это достигалось тем, что на катоды подавали разные отрицательные потенциалы, а аноды находились под нулевым потенциалом). Конструкция катодов выбиралась такой, чтобы обеспечить хорошее взаимопроникновение потоков (например, в одной из конструкций катод был выполнен в виде двух плоских спиралек, размещенных одна перед другой, так что электроны, эмитируемые первым катодом, проходят между витками второго катода, чем и обеспечивается хорошее смешивание потоков).

Для введения усиливаемого электромагнитного сигнала в один или оба потока обычно используют отрезок электродинамической системы (например, проволочной спирали), по которой распространяется электромагнитная волна, ВЧ продольное электрическое поле которой изменяет скорость и плотность электронов (модулирует электроны по скорости и плотности). Роль электродинамической системы состоит в том, чтобы создать продольную составляющую электрического поля и уменьшить продольную составляющую фазовой скорости uф волны до скорости электронов. Так, в спирали где c - скорость света в свободном пространстве, h - шаг спирали, r - радиус спирали, то есть коэффициент замедления волн приближенно равен отношению длины витка спирали 2pr к ее шагу. Скорость одного из потоков подбирается близко к продольной составляющей фазовой скорости волны в спирали для того, чтобы воздействие поля на поток было эффективным.

Входное устройство модулирует медленный электронный поток по скорости и по плотности, что приводит к образованию электронной периодической структуры - чередующихся уплотнений и разрежений электронов. Такая ситуация при слабом усиливаемом сигнале соответствует распространению в пучке двух линейных волн пространственного заряда: быстрой (БВПЗ) и медленной (МВПЗ), фазовые скорости которых где - плазменная частота, e и m - заряд и нерелятивистская масса электрона, r0 - постоянная составляющая плотности бесконечно широкого электронного потока, e0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, R - фактор влияния окружающих стенок, вообще говоря зависящий от частоты сигнала w. Можно считать, что роль модулированного электронного потока в двухлучевой системе аналогична роли замедляющей системы (скажем, той же проволочной спирали) в лампе бегущей волны (ЛБВ), где электронный поток длительно взаимодействует с продольной составляющей поля замедленной волны в электродинамической системе.

Для объяснения особенностей группирования электронов в бегущей волне и их взаимодействия с ней привлечем механическую модель, в которой электроны можно представить в виде шариков, а эффект действия поля заменить действием гравитационных сил некоторой поверхности, форма которой соответствует мгновенному распределению потенциала ВЧ-поля вдоль длины пространства взаимодействия (рис. 1, б ). Предложим, что невозмущенная скорость электронов u0 больше фазовой скорости uф замедленной волны, распространяющейся в волноведущей линии без пучка, а амплитуда волны растет с расстоянием. В системе координат, связанной с волной, вершины и впадины потенциальной поверхности неподвижны относительно продольной координаты. Электроны-шарики на своем пути встречают области подъема и спада потенциальной поверхности, поэтому они группируются на тормозящих ("правых") склонах и разгруппировываются на ускоряющих ("левых"). Следовательно, сгустки электронов-шариков формируются на правых склонах, причем эффект торможения превосходит эффект ускорения, поскольку мы допустили существование волны с нарастающей амплитудой. Энергия взаимодействия будет наибольшей, когда электроны-шарики за время пролета пройдут весь тормозящий склон.

Таким образом, усиление волны происходит в результате непрерывного последовательного отбора от электронного потока незначительных порций энергии по всей длине пространства взаимодействия пучка с волной. Распространение волны со скоростью, близкой к скорости потока, обеспечивает возможность пребывания электронов в поле данной фазы в течение всего времени пролета пространства взаимодействия. Хороший зрительный образ идеи синхронизма электронов и волны - спортсмен, занимающийся серфингом: в случае удачи он удерживается на волне и движется вместе с ней.

В двухлучевой лампе немодулированный быстрый поток (u01 > u02) взаимодействует с продольной составляющей медленной электронной волны в промодулированном потоке. Тогда, как и в ЛБВ, при соответствующем выборе скорости u01 потока (должны выполняться условия пространственного резонанса - скорость электронного потока должна быть близка к скорости волны в электронной периодической структуре) последний будет отдавать энергию ВЧ-полю; в результате возможно усиление выходного сигнала.

Особенно перспективной двухлучевая лампа казалась в диапазоне миллиметровых длин волн, поскольку сочетала длительное взаимодействие с отсутствием мелкоструктурных замедляющих систем (напомним, что на СВЧ характерные размеры прибора соизмеримы с усиливаемой длиной волны). Правда, входное и выходное устройства все же оставались бы в этом диапазоне мелкоструктурными. Однако, как оказалось, переход к высоким частотам требует уменьшения разности скоростей потоков и увеличения плотности в них. Сближение скоростей потоков ограничено разбросом электронов по скоростям, который характеризуется функцией распределения электронов по скоростям. Понятно, что, когда разность | u01 | - | u02 | сравнима с разбросом по скоростям, два луча практически неразличимы.

Двухлучевой усилитель не состоялся как прибор, но он стал каноническим примером для описания волновых неустойчивостей в теории колебаний и волн: два взаимодействующих встречных потока - пример системы с абсолютной неустойчивостью, два одинаково направленных - конвективной.

При абсолютной неустойчивости среди нарастающих возмущений находятся такие, которые не покидают заданной области, то есть в каждой точке этой области возмущение растет.

Если же возмущение, нарастая во времени, покидает рассматриваемую область, убегает из нее, то имеет место конвективная (сносовая) неустойчивость. Необычайно важную роль в теории волн в электронных потоках сыграло введение понятий о волнах с положительной и отрицательной энергией (впоследствии эти понятия стали основными в теории неравновесных сред независимо от их природы). Понятие о волнах с отрицательной энергией впервые появилось в СВЧ-электронике. Было показано, что с МВПЗ в электронном пучке связан поток отрицательной кинетической мощности.

Поясним важность этого факта на примере. Было установлено, что в системе координат, движущейся с невозмущенной скоростью потока, дрейфующий (предварительно модулированный) электронный пучок эквивалентен в смысле протекающих волновых процессов длинной линии без потерь. В силу такой аналогии может показаться, что, поскольку в подвижной системе координат волны пространственного заряда распространяются в разные стороны, МВПЗ прямая, БВПЗ встречная. Но это неверно, так как если wq = const, то, по определению, групповая скорость обеих волн

то есть равна переносной скорости электронного потока. Правильность объяснения состоит в том, что БВПЗ - волна с положительной энергией, а МВПЗ - с отрицательной. По физическому смыслу волны с отрицательной энергией - это такие волны, с ростом амплитуды которых суммарная энергия системы среда-волна уменьшается. Очевидно, что волнам с положительной энергией соответствуют те, с ростом амплитуды которых полная энергия системы среда-волна увеличивается. Было показано, что в МВПЗ возмущение скорости uM находятся в противофазе с возмущениями плотности rМ объемного заряда, а в БВПЗ (uБ и rБ) - в фазе. Из сказанного следует, что для БВПЗ в области, где возмущение приводит к увеличению rБ , скорость движения частиц больше u0 , а там, где плотность уменьшилась, скорость электронов меньше u0 . Поэтому при возбуждении БВПЗ в потоке преобладают ускоренные по сравнению с u0 электроны, и результирующая кинетическая энергия, переносимая пучком, больше энергии невозмущенного пучка. Если же возбуждена МВПЗ, то в тех случаях, где образуется сгущение (увеличение rМ), скорость электронов, наоборот, меньше u0 и больше там, где возникает разрежение (уменьшение rМ). В результате при возбуждении в электронном потоке МВПЗ в нем преобладают замедленные по сравнению с u0 электроны, и энергия, переносимая таким пучком, меньше, чем энергия пучка без волны.

Понятно, что для того, например, чтобы в среде возникла волна с отрицательной энергией, волна должна иметь возможность отдавать часть своей энергии среде или другим волнам. Взаимодействие волн с отрицательной энергией с волнами с положительной энергией должно сопровождаться неустойчивостью - обе волны будут расти по амплитуде. Так появились изящная волновая картина физических процессов в СВЧ-лампах с длительным взаимодействием электронов и волны и ее не менее изящное математическое оформление - теория связанных волн. Особенно наглядно и просто можно проследить за процессами, когда во взаимодействии участвуют всего две волны. С этих позиций конвективная неустойчивость в двухлучевой лампе объясняется взаимодействием МВПЗ одного потока с БВПЗ другого. Естественно, что в разное время возникал вопрос: а существуют ли нелинейные аналоги описанных выше волн?

2. ЮБИЛЕЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Во время солитонного бума появились работы, в которых уравнения, описывающие электронный поток или тот или иной СВЧ-прибор, сводились к одному из эталонных уравнений теории нелинейных волн, чаще всего к уравнению Кортевега-де Фриса (КдФ). Остановимся кратко на этом уравнении и его решении в виде уединенной волны - солитона.

Уравнению КдФ более ста лет, если считать, что впервые оно явно выписано в статье Кортевега и де Фриса (Korteweg D.J., de Vries G. On the Change of Form of Long Waves Advancing in Rectangular Channel, and on a New Type of Long Stationary Waves // Philos. Mag. 1895. Vol. 39. P. 422-443). Это официальная дата, хотя раньше уравнение появилось в докторской диссертации Густава де Фриса, которая и послужила основой знаменитой статьи 1895 года. Существует мнение, что это уравнение косвенно возникает в исследованиях 1871-1877 годов французского физика Жозефа Валантена Буссинеска. Но истории было угодно, чтобы открытие уравнения стало навсегда связано с именами известного голландского физика и механика Дидерика Иоганна Кортевега и преподавателя математики в голландских гимназиях Густава де Фриса.

Д.И. Кортевег (1848-1941) был учеником Я.Д. Ван-дер-Ваальса. Его первая докторская диссертация (1878) была посвящена движению вязкой жидкости в упругой трубе применительно к артериальному течению крови. С 1881 по 1918 год Кортевег возглавлял в Амстердамском университете кафедру математики и механики. Весьма занятно, что в биографических статьях о Кортевеге нет упоминания о его работе о волнах на воде и, более того, нет ссылки на совместную работу с де Фрисом.

Судя по всему, ни Кортевег, ни де Фрис не знали об исследованиях Буссинеска. Де Фрис после защиты диссертации преподавал в гимназиях и опубликовал в "Трудах Голландской королевской академии наук" две статьи о циклонах. Больше о нем ничего не известно.

В диссертации де Фриса уравнение КдФ было получено для описания длинных гравитационных волн в невязкой несжимаемой жидкости конечной глубины, причем в качестве переменной использовалось смещение свободной поверхности жидкости до равновесного уровня. Несомненная ценность уравнения КдФ в том, что оно является модельным (иногда говорят, эталонным) для любой физической системы с приближенным законом дисперсии

и слабой квадратичной нелинейностью. Здесь b ! l, l - характерный масштаб длины вдоль направления распространения волны, c0 - фазовая скорость линейных бездисперсных волн, k - волновое число.

В общем случае, когда нелинейные и дисперсионные добавки в исходных уравнениях, описывающих распространение волн, одного порядка величины и малы по сравнению с линейными членами, уравнение одноволнового приближения имеет вид

Оно может быть приближенно получено из (1) следующим образом. Если при малых возмущениях u изменяется как e j(wt - kx), то имеет место соответствие Тогда, используя (1), можно написать уравнение

Добавив, как любят говорить теоретики, "руками" в это уравнение нелинейное слагаемое приходим к уравнению (2). В уравнении (2) все переменные безразмерные: x - продольная координата, t - время, u(x, t) - функция, характеризующая процесс, b = c0b = = const. Предположим, что u(u) = u, то есть имеет место простейшая квадратичная нелинейность. Тогда в системе координат, движущейся со скоростью c0 , находим более распространенную форму уравнения КдФ

При помощи уравнения (3) из (2) для перехода в движущуюся систему координат введены xн = x - c0t и tн = t, а индекс "н" далее опущен.

Современный интерес к уравнению (3) и непрекращающийся поток публикаций, связанных с изучением (3) и родственных ему уравнений, был инициирован Н.Дж. Забуски и М.Д. Крускалом, которые в 1965 году переоткрыли солитон.

Солитону, как известно, соответствует полная компенсация изменений, происходящих в волне за счет дисперсионных свойств среды, изменениями, связанными с ее нелинейностью. Аналитически решение уравнения (3), соответствующее одиночному возвышению или уединенной волне - солитону, записывается в виде

где umax = 3V, V - постоянная скорость солитона, D - характерная ширина солитона. Решение (4) удовлетворяет уравнению КдФ при выполнении равенств

из которых следует, что, чем большую амплитуду имеет солитон, тем он уже и тем больше его скорость.

У солитонов есть еще одно свойство, выделяющее их из семейства уединенных волн. Это свойство положено в одно из рабочих определений солитона, которое звучит так: солитон - это уединенная волна, сохраняющая форму и скорость после столкновения с другой такой уединенной волной. Термин "солитон" во многом связан именно с таким частицеподобным поведением волны.

Уже упоминалось, что уравнение (3) получалось и из исходных уравнений, описывающих электронный поток, стандартными методами, включающими различные приближения. Очевидно, что при таком подходе всегда остается вопрос о применении полученного результата. Более того, как показал анализ, солитонные решения имеют место в таком диапазоне параметров, где реальные СВЧ-приборы не используют. Снять сомнение могут либо нахождение точного решения исходных уравнений, либо вычислительный эксперимент.

3. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ

В ЭЛЕКТРОННОМ ПОТОКЕ

Рассмотрим цилиндрический электронный поток радиуса r1 , сфокусированный бесконечно сильным продольным магнитным полем, который движется вдоль оси трубы радиуса r2 с идеально проводящими стенками (ось трубы совпадает с осью x). Предположим, что постоянная составляющая плотности электронного потока скомпенсирована ионным фоном. Возмущения скорости таковы, что обгона одних электронов другими не происходит и справедливы гидродинамические уравнения движения и непрерывности

Переменные в уравнениях (5) и (6) безразмерные и нормированы следующим образом: скорость u и плотность r объемного заряда отнесены к невозмущенным значениям u0 и r0 , потенциал поля пространственного заряда j - к время - к а координата - к u0 / wp (заметим, что wq = wp при R = 1).

Для потенциала j используем уравнение

Будем искать стационарные волны, то есть решения, зависящие от q = x - ut, где u = const - скорость стационарной волны. Тогда а и уравнения (5) и (6) принимают вид

Интегрируя эти уравнения с граничными условиями

u = 1, r = 1, j = 0 при q ? ?

и используя полученные соотношения в уравнении (7), приходим к уравнению "нелинейного осциллятора"

Потенциальная энергия этого осциллятора описывается функцией

Заметим, что если (слабая нелинейность), то, разлагая правые части соотношений (9) и (10) в ряд Тейлора с точностью до членов второго порядка малости, можно получить уравнения, имеющие решения в виде КдФ-солитонов.

Анализ уравнения (9) с учетом (10) показывает, что уединенная волна может существовать и будет устойчивой при 1 < M < 2, где Исследование также показывает, что скорость быстрой уединенной волны всегда больше, а медленной меньше, чем соответствующие фазовые скорости линейных волн пространственного заряда.

Точное решение задачи удается найти лишь в неявной форме. При этом удается показать, что скорость u уединенной волны пропорциональна ее амплитуде umax , но связь между этими величинами иная, чем для КдФ-солитонов.

Непосредственное численное решение исходных уравнений проводилось в системе координат, которая движется со скоростью электронного потока. На рис. 2 представлен пример образования быстрой уединенной волны пространственного заряда и осциллирующего "хвоста" малой амплитуды. Вычислительный эксперимент показал, что в процессе эволюции довольно широкого класса начальных возмущений возникают одна или несколько устойчивых уединенных волн, распространяющихся практически без изменения их формы и скорости.

Что происходит при столкновении уединенных волн пространственного заряда? Столкновение попутных волн с высокой степенью точности оказывается упругим (рис. 3, 4), как для КдФ-солитонов. Когда амплитуды волн близки, столкновение происходит без образования одиночного пика (рис. 4). Быстрая и медленная волна (встречные волны) сталкиваются неупруго (рис. 5).

Отметим, что только столкновение попутных волн можно, по крайней мере качественно, описать с помощью КдФ-уравнения, включая различия во взаимодействии волн с близкими и сильно различающимися амплитудами.

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ И СПИСКА РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Изложенные результаты позволяют утверждать, что уединенные волны пространственного заряда существуют. Они отличаются от КдФ-солитонов, хотя по некоторым свойствам и близки к ним.

Если читатель заинтересовался волнами пространственного заряда и КдФ-уравнением, то может заглянуть в следующие книги и статьи:

1. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1962. 336 с.

Несмотря на давний год издания, книга, имеющая характер энциклопедического обзора, может служить прекрасным введением в линейную теорию волн пространственного заряда.

2. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1990. 288 с.

Прекрасный популярный рассказ о колебаниях и волнах, в частности о солитонах.

3. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

Пожалуй, одна из лучших учебных монографий о солитонах. В книге приведено много хороших задач.

4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.; 2-е изд. 1992. 456 с.

В учебном пособии для студентов излагаются необходимые сведения и о волнах пространственного заряда, и о солитонах.

5. Рыскин Н.М. Уединенные волны пространственного заряда // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 1994. Т. 2, ╧ 5. С. 84-91.

В этой статье читатель найдет подробности математического анализа, детали вычислений и т.п., соответствующие результатам, приведенным в данной статье. В частности, в статье изложены детали получения уравнения (9) и соотношения (10).

6. Трубецков Д.И. Колебания и волны для гуманитариев. Саратов: Изд-во гос. учеб.-науч. центра "Колледж", 1997. 391 с.

В учебном пособии для студентов вузов есть глава "Нелинейные волны", где дано описание солитонов. Кроме того, в главе "Линейные волны" изложена история открытия ЛБВ и приведено качественное описание физических процессов в ней.

7. Пирс Дж. Электроны, волны и сообщения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1964.

В научно-популярной книге одного из создателей ЛБВ даны ее описание, принцип работы и много любопытных фактов из истории создания лампы.

Рецензент статьи В.В. Осипов

* * *

Дмитрий Иванович Трубецков, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, зав. кафедрой электроники, колебаний и волн, ректор Саратовского государственного университета. Область научных интересов - радиофизика, сверхвысокочастотная электроника, теория колебаний и волн, применение методов нелинейной динамики в различных областях науки. Автор и соавтор 15 монографий и учебных пособий и более 200 статей.