Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Опираясь на сравнение простейших бесконечно малых последовательностей, мы сравнили скорости возрастания при x стремящемся к бесконечности важнейших функций ln x, x^a (при a > 0), a^x (при a > 1), Г(x) и x^x, а также установили формулу Стирлинга с асимптотическим разложением a(x) по степеням 1/x.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

И СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ ФУНКЦИЙ

В. А. ИЛЬИН

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

ВВЕДЕНИЕ

В математике и ее приложениях постоянно приходится иметь дело с простейшими элементарными функциями ln x, xa (при a > 0), ax (при a > 1), а также с функциями G(x) и xx, где G(x) - так называемая гамма-функция Эйлера, совпадающая при x = n + 1, где n - натуральное число, с числом n!.

Каждая из указанных пяти функций неограниченно возрастает на полупрямой 1 # x < + ?. При этом сразу же возникает необходимость сравнения между собой скоростей возрастания при x + ? указанных функций. Более тонкие исследования приводят к необходимости изучения поведения при x + ? отношения указанных функций. Примером такого исследования может служить установление так называемой формулы Стирлинга, утверждающей, что при больших x

где функция a(x) стремится к нулю при x + ?, то есть является бесконечно малой при x + ? функцией.

Еще более глубокий анализ позволяет написать сколько угодно членов разложения указанной бесконечно малой при x + ? функции a(x) по степеням (такое разложение в математике принято называть асимптотическим).

В статье мы проведем изучение всех перечисленных вопросов, опираясь только на аппарат сравнения между собой бесконечно малых последовательностей чисел и на использование формулы бинома Ньютона.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 1. Последовательность чисел a1 , a2 , _, an , _, кратко обозначаемая символом {an }, называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа e найдется номер N такой, что все элементы an этой последовательности с номерами n, превосходящими N, удовлетворяют неравенству | an | < e.

Из этого определения следует, что последовательность {an } является бесконечно малой, если существует равный нулю предел

Определение 2. Функция f (x), определенная на полупрямой 1 # x < + ?, называется бесконечно малой (соответственно бесконечно большой) при x + ?, если для любого как угодно малого положительного числа e (соответственно для любого как угодно большого положительного числа A ) найдется число x0 > 0 такое, что для любого значения аргумента x, удовлетворяющего условию x $ x0 , справедливо неравенство | f (x) | < e (соответственно | f (x) | > A ).

Элементарно проверяется, что если функция f (x) является бесконечно большой при x + ?, то функция является бесконечно малой при x + ?.

Действительно, фиксировав произвольное e > 0 и взяв A = 1 / e, получим, что в силу того, что функция f (x) является бесконечно большой при x + ?, найдется число x0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию x $ x0 , справедливо неравенство | f (x) | > A = 1/ e, которое эквивалентно неравенству | 1/ f (x) | < e.

Далее заметим, что если функция f (x), определенная на полупрямой 1 # x < + ?, является бесконечно малой при x + ?, то числовая последовательность { f (n)} является бесконечно малой.

Из курса средней школы известно, что каждая из трех функций

ln x, xa (при a > 0), ax (при a > 1)

монотонно возрастает на полупрямой 1 # x < + ? и стремится к бесконечности при x + ?. Отсюда и из определения 2 вытекает, что каждая из трех функций (1) является бесконечно большой при x + ?. Поэтому каждая из трех функций

(при a > 0), (при a > 1)

является бесконечно малой при x + ?. Отсюда, в свою очередь, следует, что каждая из трех числовых последовательностей

(при a > 0), (при a > 1)

является бесконечно малой.

Естественно возникает вопрос о сравнении скоростей стремления к бесконечности каждой из трех функций (1) при x + ? или, что то же самое, о сравнении скоростей стремления к нулю каждой из трех функций (2) при x + ?. В терминах последовательностей этот вопрос приводит к сравнению скоростей стремления к нулю трех последовательностей (3).

Определение 3. Если две определенные на полупрямой 1 # x < + ? функции f (x) и g(x) являются бесконечно большими (соответственно бесконечно малыми) при x + ?, то будем говорить, что функция g(x) является при x + ? бесконечно большой более высокого порядка (соответственно бесконечно малой более высокого порядка), чем f (x), если отношение (соответственно отношение ) является бесконечно малой при x + ? функцией.

Определение 4. Если {an } и {bn } - две бесконечно малые последовательности, то будем говорить, что последовательность {bn } является бесконечно малой более высокого порядка, чем {an }, если последовательность является бесконечно малой, то есть если существует равный нулю предел

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Начнем со сравнения между собой бесконечно малых последовательностей (3), добавив к ним еще две бесконечно малые последовательности и . Иными словами, будем сравнивать между собой следующие пять бесконечно малых последовательностей:

Теорема 1. Каждая из пяти последовательностей (4), начиная со второй, является бесконечно малой более высокого порядка, чем последовательность, стоящая слева от нее.

Единственное, что нам понадобится для доказательства теоремы 1, - это формула бинома Ньютона, утверждающая, что для любого номера n и любого числа h

Некоторое время назад эта важная формула была исключена из обязательной программы средней школы, и мы предлагаем читателю самому доказать ее методом математической индукции, то есть проверить ее справедливость при n = 1 и, предположив, что эта формула справедлива для номера n $ 1, убедиться, что в таком случае эта формула справедлива и для следующего номера n + 1.

Для доказательства теоремы 1 в силу определения 4 достаточно доказать существование четырех пределов:

(при a > 0),

(при a > 0, a > 1),

А. Начнем с доказательства существования предела (6). Сначала рассмотрим частный случай a = 1, то есть докажем существование предела

Так как то в силу непрерывности логарифмической функции y = ln x в точке x = 1 (то есть в силу того, что существует предел этой функции при x 1, равный ее значению в точке x = 1: ) достаточно доказать существование предела

Так как при n > 1 справедливо неравенство , то для любого n > 1 существует число dn > 0 такое, что

Возводя обе части равенства (12) в степень n и используя формулу бинома Ньютона (5), получим

+

+ еще положительные члены.

Так как все члены правой части последнего равенства положительны, то, отбрасывая в правой части этого равенства все члены, кроме подчеркнутого, получим справедливое для любого n > 1 неравенство

из которого следует, что то есть что последовательность {dn} является бесконечно малой. Отсюда в силу (12) вытекает существование предела (11), а потому и предела (10), то есть существование предела (6) при a = 1.

Для любого x > 1 обозначим символом [x] наибольшее целое число, содержащееся в x . Тогда если положить номер n равным [x], то будут справедливы неравенства n # x < n + 1. Из этих неравенств, из того, что n + 1 # # 2n для всех номеров n, и из возрастания логарифмической функции получим для всех x > 1 неравенство

Так как при x + ? и номер n = [x] также стремится к бесконечности, то из неравенства (13), из уже доказанного существования предела (10) и бесконечной малости последовательности вытекает существование предела функции

Убедимся теперь в том, что из существования предела функции (14) вытекает, что при любом фиксированном a > 0 существует и предел функции

Действительно, сделав замену y = xa, x = y1/ a, получим, что

Из существования предела (14), неравенства (16) и из того, что y = xa при любом фиксированном a > 0 стремится к + ? при x + ?, вытекает существование предела функции (15), а из него, в свою очередь, вытекает существование предела последовательности (6) при любом a > 0.

Б. Перейдем к доказательству существования предела (7). Так как a > 1, то существует число d > 0 такое, что a = 1 + d. Обозначим через k наибольшее целое число, содержащееся в a > 0, то есть положим k = [a]. Используя формулу бинома Ньютона (5) для любого номера n, удовлетворяющего условию n > k + 2, получим

+ еще положительные члены.

Оставляя в правой части (17) только один подчеркнутый член, получим неравенство

Далее заметим, что так как k = [a], то справедливо неравенство a < k + 1 и потому для любого номера n имеет место неравенство

na # nk + 1.

Из (18) и (19) вытекает, что для любого номера n, удовлетворяющего условию n > k + 2, справедливо неравенство

Так как номер k = [a] фиксирован, то при n + ? дробь, стоящая в (20) в фигурных скобках, стремится к единице, а потому из неравенства (20) вытекает существование равного нулю предела (7).

В. Докажем теперь существование предела (8). Прежде всего заметим, что существование этого предела нужно доказывать только при a $ 1, ибо при 0 < a < 1 обе последовательности {an} и являются бесконечно малыми, а потому и их произведение является бесконечно малой последовательностью.

Обозначим символом [a] наибольшее целое число, содержащееся в a $ 1. Тогда для любого номера n, большего [a] + 2, справедливо равенство

Учитывая, что в фигурных скобках в (21) стоит произведение положительных дробей, каждая из которых меньше единицы, мы получим для любого номера n, большего [a] + 2, неравенство

из которого сразу вытекает существование равного нулю предела (8).

Г. Докажем, наконец, существование предела (9). Так как для любого номера n > 2 справедливо

и так как в фигурных скобках в (22) стоит произведение положительных дробей, каждая из которых не превосходит единицы, то для любого номера n > 2

что и доказывает существование предела (9).

СРАВНЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ВОЗРАСТАНИЯ ПРИ x + ? ВАЖНЕЙШИХ ФУНКЦИЙ

Перейдем к сравнению скоростей возрастания при x + ? трех бесконечно больших при x + ? элементарных функций (1), добавив к ним еще две функции: гамма-функцию Эйлера G(x + 1) и функцию xx.

Прежде всего дадим определение и кратко опишем простейшие свойства функции G(x + 1). Эта функция для всех x > -1 может быть определена через так называемый несобственный интеграл

который можно понимать как сумму двух пределов

Можно показать, что первый из пределов (24) существует для любого x > -1, а второй из этих пределов - для любого x.

Таким образом, функция G(x + 1) определяется несобственным интегралом (23) для любого x > -1.

Далее легко видеть, что

Кроме того, интегрированием по частям взятого для любого x > 0 интеграла (23) устанавливается формула

G(x + 1) = xG(x).

Из этой формулы и из того, что G(1) = 1, получаем, что для любого натурального числа n

G(n + 1) = n!.

Более тонкий анализ показывает, что функция G(x + 1) возрастает на полупрямой 1 # x < + ?.

Отсюда следует, что для любого натурального n значения функции G(x + 1), отвечающие значениям x, лежащим на сегменте n # x # n + 1, удовлетворяют неравенствам

n! # G(x + 1) # (n + 1)!.

Займемся теперь сравнением скоростей возрастания при x + ? следующих пяти бесконечно больших при x + ? функций:

ln x, xa (при a > 0), ax (при a > 1), G(x + 1), xx.

Теорема 2. Каждая из пяти функций (26), начиная со второй, является при x + ? бесконечно большой более высокого порядка, чем функция, стоящая слева от нее.

Для доказательства теоремы 2 в силу определения 3 достаточно доказать существование четырех пределов

(при a > 0),

(при a > 0, a > 1),

Существование предела (27), совпадающего с пределом (15), уже установлено выше (при доказательстве теоремы 1).

Для доказательства существования предела (28) обозначим для любого x $ 1 символом n = [x] наибольшее целое число, содержащееся в x. Тогда в силу того, что n # x < n + 1 и n + 1 # 2n, получим

Из последнего неравенства, из того, что n = [x] + ? при x + ?, и из существования предела последовательности (7) вытекает существование предела (28).

Существование предела (29) нужно доказывать только при a $ 1, ибо при 0 < a < 1 обе функции ax и являются бесконечно малыми при x + ?.

Для доказательства существования предела (29) при a $ 1 снова обозначим символом n = [x] наибольшее целое число, содержащееся в x, и заметим, что n # x < < n + 1. Из последних неравенств и неравенств (25) получим, что

Из последнего неравенства, из того, что n = [x] + ? при x + ?, и из существования предела последовательности (8) вытекает существование предела (29).

Остается доказать существование предела (30). Снова обозначим символом n = [x] наибольшее целое число, содержащееся в x. Используя неравенства n # x < < n + 1, n + 1 # 2n, xx $ nx $ nn и неравенства (25), получим, что для любого x > 4

Так как все сомножители, стоящие в (31) в фигурных скобках, не превосходят единицы, а дробь не превосходит двух, то из (31) получим

Из неравенства (32), из того, что n = [x] + ? при x + ?, и из бесконечной малости последовательности вытекает существование предела (30). Теорема полностью доказана.

ПОНЯТИЕ

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЯХ

В заключительной части статьи мы познакомим читателя с весьма актуальной для различных разделов математики и ее приложений идеей получения так называемого асимптотического разложения функции. Эту идею проиллюстрируем на модели получения асимптотического разложения при x + ? функции стоящей под знаком предела (30).

Мы уже знаем, что эта функция является бесконечно малой при x + ?. Более глубокий анализ приводит к необходимости выделения главной части этой бесконечно малой функции и разложению этой главной части по степеням

Как известно, функция G(x + 1) определяется интегралом (23):

Если сделать в этом интеграле замену переменной интегрирования, то есть от переменной интегрирования t перейти к новой переменной y, определяемой равенством t = x(1 + y), то, поскольку dt = x dy, e- t = e- xe- xy, tx = xx(1 + y)x = xxe x ln (1 + y), получим, что

Введем в рассмотрение функцию g(y), определяемую равенством

Тогда g2(y) = y - ln (1 + y) для всех y > -1 и интеграл (33) можно переписать в виде

Из того, что производная функции g2(y)

вытекает, что эта производная отрицательна при -1 < < y < 0 и положительна при 0 < y < + ?. Отсюда следует, что функция g2(y) убывает при -1 < y < 0 и возрастает при 0 < y < + ?, а это означает, что сама функция g(y), определяемая равенством (34), возрастает на всей полупрямой -1 < y < + ?.

Кроме того, можно убедиться, что у функции g(y) в любой точке y полупрямой -1 < y < + ? существуют производные любого порядка и для этой функции

Но при этих условиях для функции t = g(y), определенной на полупрямой -1 < y < + ?, существует обратная функция, которую обозначим символом y = j(t), определенная и возрастающая на бесконечной прямой - ? < t < + ? и также имеющая в каждой точке t производные любого порядка.

Далее так как из (34) вытекает, что g(0) = 0, то и j(0) = 0, и поэтому функция y = j(t) отрицательна при t < 0 и положительна при t > 0.

Фиксируем достаточно малое положительное число a (выбор его будет уточнен ниже) и положим b = = j(- a), c = j(a), так что a = g(c) = - g(b). Тогда b и c удовлетворяют условиям -1 < b < 0, c > 0.

Разобьем интеграл, стоящий в правой части (35), на сумму трех интегралов:

Из того, что функция g2(y) убывает при -1 < y < 0 и возрастает при y > 0, и из равенства g2(b) = g2(c) = a2 вытекает, что первый и третий интегралы в правой части (37) имеют при больших x порядок Символически это записывают как

понимая под символом , что для этой величины существует постоянная C (быть может, зависящая от a), такая, что

Итак, равенство (37) можно переписать в виде

Сделаем теперь в интеграле, стоящем в правой части (38), замену переменной интегрирования y на новую переменную t с помощью равенства y = j(t), где y = j(t) - функция, обратная к функции t = g(y). Так как при этом dy = j'(t)dt, g(b) = - a, g(c) = a, то мы получим, что

Из равенств (35), (38) и (39) получим, что

Напомним, что функция j(t) имеет на всей бесконечной прямой (и, в частности, в окрестности точки t = 0) производные любого порядка.

Отсюда следует, что, какой бы номер n мы ни фиксировали, для функции j'(t) для всех достаточно малых по модулю t справедливо представление

где O(t2n) обозначает величину порядка t2n.

Формулу (41) называют в анализе формулой Маклорена. Мы установим эту формулу, для простоты завысив требования, достаточные для ее справедливости.

Так как у функции j(t) в точке t = 0 существует производная j(2n + 1)(0), то, по определению, существует предел

Это означает, что функция аргумента t

является бесконечно малой при t 0, то есть справедливо равенство

j(2n)(t) = j(2n)(0) + j(2n + 1)(0)t + ta(t).

В этом равенстве два последних слагаемых представляют собой величину O(t) порядка t, так что (42) можно переписать в виде

j(2n)(t) = j(2n)(0) + O(t).

Формула (41) получается из равенства (43) посредством (2n - 1)-кратного интегрирования равенства (43) по переменной t в пределах от нуля до достаточно малого t = t. Так, интегрируя (43) один раз по t в пределах от нуля до достаточно малого t, получим равенство

j(2n - 1)(t ) = j(2n - 1)(0) + j(2n)(0)t + O(t 2).

Заменяя в последнем равенстве t на t и снова проводя интегрирование по t в пределах от нуля до t, получим

Производя указанную процедуру 2n - 1 раз, мы и выведем формулу (41), справедливую для всех достаточно малых по модулю t.

Используя символ суммирования S, можно записать формулу (41) более компактно:

Будем теперь считать, что фиксированное нами выше положительное число a выбрано настолько малым, что всюду на интервале (- a, a) справедлива формула (41').

Вставляя (41') в правую часть (40), получим

Заметим, что интеграл в симметрических пределах от - a до a от нечетной функции равен нулю, а от четной функции - двум интегралам в пределах от нуля до a. Поэтому в правой части (44) отличны от нуля будут только слагаемые с четным k и, положив 2k = m, можно переписать (44) в виде

Убедимся теперь в том, что для каждого m = 1, 2, _ справедливо равенство

Действительно, представляя интеграл в виде разности интегралов и замечая, что первый из этих интегралов после замены переменной интегрирования t на новую переменную t, определяемую равенством t = xt2, будет

а второй из указанных интегралов при всех x $ 1 удовлетворяет условию

мы и получим соотношение (46).

Вставляя (46) в (45) и учитывая, что для любого номера n величина тем более является величиной (в силу существования при любых a > 0 и a > 1 равного нулю предела (28)), получим, что для любого номера n

Равенство (47) и дает искомое асимптотическое разложение для отношения При этом следует отметить, что все входящие в (47) значения G(m + 1/2) и j(2m + 1)(0) последовательно вычисляются. При m = 0 значение заменой приводится к известному интегралу Пуассона Все последующие значения G(m + 1/2), отвечающие m = 1, 2, _, вычисляются с помощью и формулы G(x + 1) = xG(x).

Для последовательного вычисления значений j'(0), j(2)(0), j(3)(0), _ может быть использовано равенство (36). Действительно, учитывая, что функция y = j(t) является обратной по отношению к функции t = g(y) и что придадим равенству (36) вид

эквивалентный равенству

j(t)j'(t) = 2t + 2tj(t).

Последовательно дифференцируя равенство (48) и полагая после каждого дифференцирования t = 0, по очереди вычислим все производные функции j(t) в точке t = 0. Так, дифференцируя (48) один раз, получим

[j'(t)]2 + j(t)j"(t) = 2 + 2j(t) + 2tj'(t).

Полагая в этом равенстве t = 0 и учитывая, что j(0) = 0, получим из него, что [j'(0)]2 = 2, то есть

Дифференцируя далее (49), найдем

2j'(t)j"(t) + j"(t)j'(t) + j(t)j(3)(t) =

= 2j'(t) + 2j'(t) + 2tj"(t).

Полагая в последнем равенстве t = 0 и учитывая, что j(0) = 0, получим, что откуда j"(0) = 4/3.

Продолжая эти рассуждения далее, последовательно получим, что ...

В заключение запишем равенство (47) для случая, когда x равно целому числу n, то есть G(n + 1) = n!, выписав в нем пять первых членов асимптотического разложения:

В качестве литературы по этой теме рекомендуем [1, гл. 3; 2, гл. 9, ╕ 5] и для более углубленного изучения монографии [3, 4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 5-е изд. М.: Физматлит, 1998. Т. 1. 616 с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 3-е изд. М.: Физматлит, 1998. Т. 2. 448 с.

3. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с.

4. Олвер Ф. Асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 376 с.

Рецензент статьи А.П. Маркеев

* * *

Владимир Александрович Ильин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН, действительный член РАН. Лауреат Государственной премии СССР. Автор более 230 научных публикаций по теории функций, теории дифференциальных уравнений и математической физике, университетских учебников по математическому анализу, аналитической геометрии и линейной алгебре и монографии по спектральной теории дифференциальных операторов.