Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Рассказывается о способах и принципах построения систем чисел, обобщающих действительные числа. Приводятся примеры: комплексные, двойные и дуальные числа, кватернионы, октавы, числа Паули. Рассматривается матричная форма представления некоторых чисел.

В. В. СИЛЬВЕСТРОВ

Чувашский государственный университет

им. И.Н. Ульянова, Чебоксары

ВВЕДЕНИЕ

Проблемы математики, связанные с решением алгебраических уравнений, в частности простейшего квадратного уравнения x2 + 1 = 0, привели к появлению в XVI веке представлений о мнимых числах, а в XVIII веке - комплексных чисел, которые, обобщая действительные числа, обладают основными свойствами последних. Например, операции сложения и умножения в множестве комплексных чисел обладают всеми важнейшими свойствами сложения и умножения действительных чисел: они коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны и обратимы, то есть возможны вычитание и деление. В то же время в множестве комплексных чисел нет естественного упорядочения: для них не определены понятия "больше" и "меньше". В последующем комплексные числа нашли широкое применение не только в самой математике, но и в физике, механике и других областях естествознания. Именно это обстоятельство послужило причиной поиска новых систем чисел, которые, являясь обобщением действительных и комплексных чисел, обладают если не всеми, то хотя бы частью основных свойств последних. Так возникли системы двойных и дуальных чисел, кватернионов, октав, чисел Клиффорда, Грассмана и др. В основе построения указанных и других систем чисел лежат разные методы, среди которых особое место занимают процедуры удвоения. В данной статье рассматриваются две такие процедуры и примеры наиболее часто встречаемых в приложениях систем чисел, получаемых с помощью этих процедур. Однако не все системы чисел можно получить с помощью той или иной процедуры удвоения. Так, система гиперкомплексных чисел ранга n может быть получена таким путем, только если n - степень двойки.

ПРОЦЕДУРА УДВОЕНИЯ

ГРАССМАНА-КЛИФФОРДА

1-й шаг. Комплексные, двойные и дуальные числа

Пусть a, b - произвольные действительные числа. Рассмотрим множество чисел вида

z = a + bi,

где i - некоторый символ (объект), коммутирующий с действительными числами при умножении, то есть bi = ib для любого b k R, и удовлетворяющий условию i 2 = -1, или i 2 = 1, или i 2 = 0, то есть

i 2 = e,

где e равно -1, или 1, или 0. Числа a, b называются компонентами сложного числа z, символ i - мнимой единицей. Таким образом, после первого шага процедуры Грассмана-Клиффорда происходит удвоение множества действительных чисел: одно множество R составляют компоненты a чисел (1), а другое - компоненты b.

Числа (1) в случае i2 = -1 называются комплексными, в случае i2 = 1 - двойными, а в случае i2 = 0 - дуальными. Множество комплексных чисел обозначается C. Сумма, разность и произведение этих чисел находятся по законам элементарной алгебры с учетом условия (2). Согласно этому условию, произведения комплексных, двойных и дуальных чисел находятся по формулам

(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i,

(a + bi)(c + di) = ac + bd + (ad + bc)i,

(a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i

соответственно. Во всех случаях произведение является как коммутативным, так и ассоциативным, то есть для любых чисел z1 , z2 , z3 выполняются равенства z1z2 = z2z1 и (z1z2)z3 = z1(z2z3).

Число называется сопряженным к числу z, а действительное неотрицательное число - нормой числа z. Всегда и произведение = a2 - eb2 является действительным числом. Для комплексных, и в частности действительных, чисел понятие нормы || z || совпадает с понятием модуля | z |. Для этих чисел (или ) и || z1z2 || = || z1 || " || z2 ||. Для двойных и дуальных чисел эти равенства, вообще говоря, не выполняются. Например, они не выполняются для двойных чисел z = z1 = 1 + i и z2 = 1 - i. Предлагаем читателю проверить это самому.

В множестве чисел вида (1) решим уравнение

z1z = z2 ,

где z - искомое, а z1 ? 0, z2 - заданные числа одного и того же типа. Умножив обе части уравнения на , получим

где - действительное число. Если z1 ? 0 - комплексное число, то Следовательно, в множестве C комплексных чисел уравнение (3) для любых чисел z1 ? 0, z2 разрешимо и имеет единственное решение

называемое частным от деления z1 на z2 . Множества (системы) чисел, обладающие приведенным свойством, называются системами с делением. Таким образом, C - система с делением. Если z1 - двойное или дуальное число, то из условия z1 ? 0, вообще говоря, не следует, что Например, для всех двойных чисел вида z1 = a ? ai, a k R, и дуальных чисел вида z1 = ai, a k R, произведение Для этих чисел уравнение (4) имеет вид поэтому оно, а значит, и уравнение (3) не для всех z1 , z2 разрешимы. Следовательно, множества двойных и дуальных чисел являются системами без деления, и в этих множествах деление на числа a ? ai и ai, a k R, и только на них невозможно.

Выясним, для каких чисел z1 ? 0, z2 ? 0 произведение z1z2 = 0. Такие числа называются делителями нуля. В множестве комплексных чисел делителей нуля нет, так как z1z2 = 0 _ z1 = 0 или z2 = 0. В множестве дуальных чисел z1z2 = 0 _ z1 = a + ai, z2 = = a - ai, a k R. Все эти числа при a ? 0 являются делителями нуля. В множестве дуальных чисел делителями нуля являются числа ai, a k R \ {0}, так как ai " bi = abi2 = 0 для любых действительных a, b.

Из приведенных свойств чисел вида (1) следует, что комплексные числа обладают всеми основными свойствами действительных чисел, связанными с операциями сложения и умножения, в то время как для двойных и дуальных чисел многие из этих свойств не выполняются. По этой причине комплексные числа нашли широкое применение в различных разделах математики и других областях науки. Для них определены и изучены практически все положения действительного анализа: последовательности, ряды, функции, дифференцирование, интегрирование и т.д. [1]. Для двойных и дуальных чисел также можно определить многие понятия действительного анализа и построить соответствующую теорию [2].

2-й шаг процедуры Грассмана-Клиффорда

Пусть z1 , z2 - произвольные числа вида (1) с мнимой единицей i, удовлетворяющей условию (2), а j - некоторый новый символ (объект), удовлетворяющий условию

j 2 = d,

где d равно -1, или 1, или 0, коммутирующий с действительными числами при умножении, а при умножении на символ i справа антикоммутирующий с ним (ji = - ij), или коммутирующий (ji = ij), или вырожденный (ji = 0), то есть

ji = aij,

где a равно -1, или 1, или 0. Рассмотрим множество чисел вида

u = z1 + z2 j.

Так как z1 = a + bi, z2 = c + di, то u = a + bi + ci + + dij. Произведение ij представляет собой математический объект с новыми свойствами. Обозначим ij = k. Тогда

u = a + bi + cj + dk.

Для числа u символы i, j, k называются мнимыми единицами, причем i, j называются главными. В данном случае всевозможные произведения символов i, j, k друг на друга не задаются, а находятся на основании равенств (2), (5), (6). Эти произведения приведены в табл. 1. В этой и последующих таблицах приводятся результаты умножения символов, расположенных в первом столбце, на символы, расположенные в первой строке. Из таблицы видно, что в

случае a = 1 произведение любых двух из символов i, j, k является коммутативным, а в случае a ? 1 произведения ij, ik, jk некоммутативны. Следовательно, в случае a = 1 произведение чисел вида (6) всегда коммутативно, а в случаях a = -1 и a = 0 оно некоммутативно, то есть найдутся такие числа u1 , u2 , что u1u2 ? u2u1 . Используя табл. 1 также можно показать, что в случаях a = 1 и a = -1 произведение любых трех символов i, j, k ассоциативно, то есть (ii)j = i(ij), (ij)k = i(jk) и т.д., а в случае a = 0 оно, вообще говоря, неассоциативно. Например, (ji)k = ak " k = a2ed, j(ik) = j " ej = ej 2 = ed, то есть (ji)k ? j(ik) при a = 0 и e ? 0, d ? 0. Следовательно, в случаях a = 1 и a = -1 произведение любых трех чисел вида (8) обладает свойством ассоциативности, что не всегда имеет место в случае a = 0.

Задача 1. Пользуясь табл. 1, изучите системы чисел вида (8), когда: 1) a = e = -1, d = 1; 2) a = -1, e = = d = 1; 3) a = -1, e = d = 0. Покажите, что в этих системах равенство || u1u2 || = || u1 || " || u2 || для нормы вообще говоря, не выполняется. Приведите примеры, когда уравнения u1u = = u2 , uu1 = u2 , где u1 ? 0, в этих системах не имеют решений.

Задача 2. Постройте и изучите систему чисел вида (7), где z1 , z2 принадлежат разным системам чисел, например z1 - комплексное, а z2 - дуальное число. Покажите. что эта система имеет три мнимые единицы и условия (2), (5), (6) недостаточны для нахождения всевозможных произведений мнимых единиц друг на друга.

Кватернионы

Рассмотрим более подробно числа (8), когда в условиях (2), (5), (6) e = d = a = -1, то есть i 2 = j 2 = = -1 и ji = - ij. В этом случае мнимые единицы i, j, k перемножаются согласно табл. 2, а сами числа, впервые изученные Гамильтоном, называются кватернионами. Множество кватернионов обозначается H.

Для любого кватерниона u = a + bi + cj + dk верны равенства

где - кватернион, сопряженный к u, а - норма кватерниона u. Действительно, так как u = z1 + z2 j, где z1 = a + bi, z2 = c + di - комплексные числа, и для комплексных чисел то

Остальные равенства доказываются аналогично.

Используя равенства (9) решим уравнения

u1u = u2 , uu1 = u2 ,

где u, u - искомые, а u1 ? 0, u2 - заданные кватернионы. Умножив обе части этих уравнений на слева и справа соответственно, получим уравнения Так как || u1 ||2 - действительное ненулевое число, то уравнения (10) имеют единственные решения и называемые соответственно левым и правым частными от деления u2 на u1 . В общем случае, так как произведение кватернионов некоммутативно (например, ij ? ji), то u ? u. Следовательно, H - система с делением.

Таким образом, умножение в множестве кватернионов обладает всеми основными свойствами умножения действительных и комплексных чисел, кроме свойства коммутативности и связанных с ним свойств. По аналогии с действительными и комплексными числами для кватернионов можно определить понятие аргумента и ввести тригонометрическую форму, рассматривать последовательности, ряды и функции, операции дифференцирования, интегрирования и т.д. [3, 4]. Так же, как арифметические действия над комплексными числами соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (параллельному сдвигу, вращению, преобразованию подобия, центральной и осевой симметрии), действия над кватернионами соответствуют подобным преобразованиям трех- и четырехмерных пространств, а произведение кватернионов друг на друга непосредственно связано со скалярным и векторным произведениями трехмерных векторов.

n-й шаг процедуры Грассмана-Клиффорда

Продолжая описанный процесс по математической индукции, на n-м шаге получим числа вида

w = u1 + u2l,

где u1 , u2 - построенные на (n - 1)-м шаге числа видов (1), (7) и т.д., а l - новый символ, обладающий свойствами, аналогичными свойствам символов i, j. Очевидно, число w имеет вид

w = a0 + a1i1 + a2i2 + _ + amim ,

где m = 2n - 1; a0 , a1 , _, am - действительные числа; i1 , i2 , _, im - мнимые единицы, коммутирующие с действительными числами при умножении. Мнимые единицы i1 = i, i2 = j, _, in = l называются главными, а остальные выражаются через них по формуле is = ipiq _ ir , где 1 # p < q < _ < r # n. Всевозможные произведения мнимых единиц друг на друга полностью находятся на основании заданных правил умножения главных мнимых единиц друг на друга:

где ep , apq равны -1, или 1, или 0. Например, для мнимой единицы in + 1 = i1in имеем = i1ini1in = = a1ni1i1inin = a1ne1en .

При n = 1 и e1 = -1 числа (11), (12) совпадают с комплексными числами, при n = 1, e1 = 1 - с двойными, при n = 1, e1 = 0 - с дуальными, при n = 2 и e1 = e2 = -1, a12 = -1 - с кватернионами. К настоящему времени хорошо изучены числа, когда в (13) все apq = -1 (числа Клиффорда); все ep = 0, apq = -1 (числа Грассмана); n = 3 и все ep = 1, apq = -1 (числа Паули); n = 4 и e1 = 1, e2 = e3 = e4 = -1, apq = -1 (числа Дирака); n = 5 и e1 = e2 = 1, e3 = e4 = -1, apq = -1 (числа Калуцы) и др. Для этих чисел построена теория, аналогичная теории функций комплексного переменного, благодаря чему они нашли широкое применение в современной математике и различных областях науки: неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, квантовой теории поля, теории упругости и т.д. [5-7].

ЧИСЛА ПАУЛИ

Эти числа имеют вид

w = a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 + a4i12 + a5i13 + a6i23 + a7i123 ,

где i1 , i2 , i3 - главные и i12 = i1i2 , i13 = i1i3 , i23 = i2i3 , i123 = i1i2i3 - остальные мнимые единицы, всевозможные произведения которых друг на друга находятся на основе равенств

Например, = i1i2i1i2 = - i1i1i2i2 = -1, i12i23 = i1i2i2i3 = = i1i3 = i13 и т.д. Результаты всевозможных произведений мнимых единиц друг на друга приведены в табл. 3. Используя ее или равенства (14) можно показать, что произведение чисел Паули ассоциативно. Однако оно, вообще говоря, некоммутативно. Этими свойствами обладают и все числа Клиффорда, кроме комплексных чисел.

Задача 3. Докажите, что норма || w || = числа Паули w находится из равенства где wp = = ipwip , а "сопряжение" = a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 - - a4i12 - a5i13 - a6i23 - a7i123 . Покажите, что равенство || w1w2 || = || w1 || " || w2 || для чисел Паули, вообще говоря, неверно и уравнения w1w = w2 , ww1 = w2 разрешимы не для всех w1 ? 0, w2 . Приведите примеры.

ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Все рассмотренные выше числа являются примерами гиперкомплексных чисел. Так называются математические объекты вида

u = a0 + a1i1 + a2i2 + _ + anin ,

где a0 , a1 , _, an - действительные числа, а i0 , i1 , _, in - мнимые единицы, коммутирующие с действительными числами при умножении. Для этих чисел равенство и сумма определяются так же, как для векторов, а произведение их друг на друга находится на основании заданных правил умножения мнимых единиц друг на друга:

ipiq = apq0 + apq1i1 + apq2i2 + _ + apqnin ,

где apqr k R; p, q = 1, 2, _, n.

Множество чисел (15) с определенными выше операциями сложения, умножения и понятием равенства называется гиперкомплексной системой размерности (ранга) n + 1. Эта система называется коммутативной, если произведение коммутативно, то есть u1u2 = u2u1 для любых чисел u1 , u2 системы; ассоциативной, если произведение ассоциативно, то есть (u1u2)u3 = u1(u2u3); системой с делением, если уравнения u1u = u2 , uu1 = u2 для любых u1 ? 0 и u2 разрешимы единственным образом. Примерами коммутативной ассоциативной системы с делением являются множества действительных и комплексных чисел. Множество кватернионов является некоммутативной ассоциативной системой с делением, а множество чисел Паули является некоммутативной ассоциативной системой без деления. Примером некоммутативной неассоциативной системы без деления является система чисел вида (8) с табл. 1 умножения мнимых единиц, когда a = 0, e ? 0, d ? 0. В соответствии с современной математической терминологией гиперкомплексная система, в том числе и все приведенные примеры систем чисел, является алгеброй. Так называется множество, на котором определены три операции ("сложение", "умножение элементов множества друг на друга" и "умножение на число"), удовлетворяющие определенным условиям.

ПРОЦЕДУРА УДВОЕНИЯ КЭЛИ-ДИКСОНА

Пусть U - гиперкомплексная система чисел вида (15) с некоторым законом умножения (16). Рассмотрим систему U(2) чисел вида

u = u1 + u2e,

где u1 , u2 k U, а e - новый символ, коммутирующий с действительными числами при умножении. Определим равенство, сумму и произведение чисел системы U(2) следующим образом:

u1 + u2e = u1 + u2e _ u1 = u1 , u2 = u2 ;

(u1 + u2e) + (u1 + u2e) = u1 + u1 + (u2 + u2)e,

где = a0 - a1i1 - a2i2 - _ - anin . Согласно (17), произведение u на действительное число а равно (a + + 0 " e)(u1 + u2e) = au1 + au2e.

Множество U(2), представляющее собой гиперкомплексную систему размерности 2(n + 1), называется удвоением системы U, а сам процесс построения системы U(2) называется процедурой удвоения Кэли-Диксона. Эта процедура отличается от процедуры Грассмана-Клиффорда правилом умножения (17). Кроме того, исходная система U может иметь любую размерность и любой закон умножения (16) мнимых единиц.

Рассмотрим системы чисел, получаемые из системы действительных чисел, взятой в качестве первоначальной, при многократном применении процедуры Кэли-Диксона.

1. U = R. Тогда U(2) есть множество чисел вида a + bi, где a, b k R и i = e. Согласно (17), закон умножения имеет вид

(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i,

то есть совпадает с законом умножения системы C комплексных чисел. Следовательно, U(2) = C.

2. U = C. Тогда U(2) - множество чисел вида z1 + + z2 j, где z1 , z2 k C и j = e. Так как z1 = a + bi, z2 = c + + di, то u = a + bi + cj + dk, где k = ij. На основании формулы (17) можно показать, что символы i, j, k перемножаются согласно табл. 2 (предоставляем читателю проверить это самому). Следовательно, U(2) = H - система кватернионов.

ОКТАВЫ

Пусть U = H. Тогда U(2) есть множество чисел вида

w = u1 + u2e =

= a0 + a1i + a2 j + a3k + (a4 + a5i + a6 j + a7k)e =

= a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 + a4i4 + a5i5 + a6i6 + a7i7 ,

где u1 , u2 k H, ap k R, а i1 = i, i2 = j, i3 = k, i4 = e, i5 = ie, i6 = je, i7 = ke - мнимые единицы, всевозможные произведения которых друг на друга на основании формулы (17) и табл. 2 определяются табл. 4.

Числа (18) с приведенной таблицей умножения мнимых единиц называются октавами. Из этой таблицы видно, что не все произведения мнимых единиц друг на друга коммутативны и ассоциативны. Например, i1i2 ? i2i1 , (i3i4)i5 ? i3(i4i5). Следовательно, произведение октав, вообще говоря, некоммутативно и неассоциативно.

Для октав так же, как для комплексных чисел и кватернионов, справедливы равенства = = || w || 2, || w1w2 || = || w1 || " || w2 ||, где = a0 - a1i1 - a2i2 - _ _ - a7i7 - сопряжение к w, - нормa числа w, и уравнения w1w = w2 , ww1 = w2 при любых w1 ? 0, w2 разрешимы и имеют единственное решение. Эти утверждения следуют из равенства w = u1 + u2e, где u1 , u2 k H, и равенств (9). Следовательно, множество октав есть некоммутативная неассоциативная система с делением.

Хотя октавы обладают многими свойствами действительных и комплексных чисел, тем не менее они не нашли такого широкого применения, как эти числа. Продолжение процесса удвоения Кэли-Диксона на следующем шаге приведет к гиперкомплексным числам с 15 мнимыми единицами и т.д. Однако получаемые при этом системы чисел являются некоммутативными, неассоциативными и системами без деления, в силу чего они также не нашли особых приложений.

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ

Имеются разные формы представления рассмотренных выше чисел. Комплексные, двойные и дуальные числа z = a + bi можно представлять, например, в виде упорядоченных пар действительных чисел с покомпонентным сложением и соответствующими правилами умножения:

(a; b)(c; d) = (ac - bd; ad + bc),

(a; b)(c; d) = (ac + bd; ad + bc),

(a; b)(c; d) = (ac; ad + bc).

Именно так представляются комплексные числа при вычислениях на компьютерах.

Для многих целей рассматриваемые числа удобно представлять еще в виде матриц, с которыми читатель уже ознакомился в статье [8].

1. Пусть z = a + bi - комплексное число. Запишем его в виде z = ai0 + bi1 , где i0 = 1, i1 = i. Отойдя от числовой сути символа i0 , будем рассматривать его как некоторый математический объект, обладающий вместе с объектом i1 всеми свойствами числа 1, то есть

= i0 , i0i1 = i1i0 = i1 , = -i0 ,

ai0 = i0a, ai1 = i1a, a k R.

Возьмем в качестве объектов i0 , i1 квадратные матрицы второго порядка

Легко проверить, что матрицы i0 , i1 удовлетворяют всем условиям (19). Например,

Через матрицы i0 , i1 "число" z = ai0 + bi1 запишется в виде

это матричное представление комплексного числа z. Тем самым между множеством комплексных чисел и множеством матриц вида (20) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором сумме и произведению комплексных чисел соответствуют сумма и произведение матриц вида (20). Такое соответствие между двумя множествами называется изоморфизмом. С этим понятием читатель уже встретился в статье [9]. В силу указанного изоморфизма комплексные числа и матрицы вида (20) обладают одинаковыми свойствами. Например, произведение матриц вида (20) снова является матрицей вида (20), а матричное уравнение

где первая матрица ненулевая, всегда разрешимо и имеет единственное решение.

2. Для кватерниона u = a + bi + cj + dk = ai0 + + bi1 + ci2 + di3 возьмем

где i k C. Матрицы i0 и i1 , i2 , i3 обладают всеми свойствами числа 1 и мнимых единиц i, j, k (проверьте это сами). Тогда матричное представление кватерниона u имеет вид

где z1 = a + bi, z2 = c + di - комплексные числа. Тем самым между множеством кватернионов и множеством комплексных матриц вида (21) устанавливается изоморфизм.

3. Для матричного представления чисел Паули традиционно используют следующие представления объекта i0 и главных мнимых единиц:

Матричные представления остальных мнимых единиц и самого числа получаются на основе равенств i12 = i1i2 , i13 = i1i3 , i23 = i2i3 , i123 = i1i2i3 .

Аналогичные матричные представления имеются и для других чисел. Рекомендуем читателю самому попробовать получить матричные представления двойных, дуальных и других чисел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Системы гиперкомплексных чисел, способы их построения и их формы представления разнообразны и практически неисчерпаемы. Особое место среди бесконечного многообразия систем чисел занимают те, которые обладают основными свойствами действительных чисел: коммутативностью и ассоциативностью умножения, возможностью деления, то есть однозначного решения уравнений ax = b, xa = b (a ? 0), и возможностью введения нормы (модуля) так, чтобы норма произведения чисел была равна произведению норм сомножителей. Согласно теоремам Фробениуса и Гурвица, всеми этими свойствами обладает только система C комплексных чисел. Если отказаться от свойства коммутативности умножения, то к множеству C добавится еще система H кватернионов, а если отказаться и от свойства ассоциативности умножения, то к множествам C, H добавится система октав. Других систем, обладающих указанными свойствами, нет. В частности, невозможно построить и систему чисел вида a + bi + + cj, в которой можно выполнять хотя бы деление. В то же время отсутствие у других чисел свойств действительных чисел не означает, что они не интересны и неважны. Например, числа Паули, Калуцы и Дирака имеют важные приложения, хотя для них не выполняется свойство коммутативности умножения и невозможно деление их друг на друга.

Автор выражает благодарность эксперту профессору Э.Б. Винбергу за ценные замечания и советы по улучшению содержания статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978. 416 с.

2. Ивлев Д.Д. О двойных числах и их функциях // Математическое просвещение. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1961. Вып. 6. С. 197-203.

3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144 с.

4. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. М.: Наука, 1986. 120 с.

5. Brackx F., Delanghe R., Sommen F. Clifford Analysis. Boston; L.; Melbourne: Pitnam, 1982. 302 p.

6. Бурлаков М.П. Клиффордовы структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. М.: ВИНИТИ, 1995. Т. 30: Геометрия 3. С. 205-257.

7. Райдер Л. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.

8. Шеврин Л.Н. Тождества в алгебре // Соросовский Образовательный Журнал. 1996. ╧7. С. 111-118.

9. Шеврин Л.Н. Что такое полугруппа // Там же. 1997. ╧ 4. С. 99-104.

10. Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.

* * *

Василий Васильевич Сильвестров, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова. Область научных интересов - приложения теории функций комплексного переменного в механике. Автор и соавтор более 60 научных статей и двух учебных пособий.