IV Соросовская олимпиада школьников Первый тур. МАТЕМАТИКА -

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате

IV Соросовская олимпиада школьников Первый тур. МАТЕМАТИКА ( , 1997), ISSEP

МАТЕМАТИКА

6 КЛАСС

ЗАДАЧА 1

(Старинная задача) За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль. Сколько стоит один бублик?

Ответ легко отгадать: пусть за 25 бубликов заплатили 5 руб., тогда 5 бубликов можно купить на рубль. Значит, бублик стоит 20 копеек.

Задачу можно решить, составив уравнение. Пусть на рубль можно купить x бубликов, тогда на x рублей можно купить x2 бубликов. Получаем уравнение

x2 = 25.

Оно имеет два корня x1, 2 = ? 5. Корень x = - 5 отбрасываем как не имеющий смысла в задаче. Остается корень x = 5: на рубль можно купить 5 бубликов, поэтому каждый стоит 20 копеек.

Ответ: 20 копеек.

ЗАДАЧА 2

Разрежьте квадрат на рис. 1 на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадратику.

Идея решения проста: делаем так, чтобы части переходили друг в друга при повороте квадрата на 90?. Тогда они будут иметь одинаковую форму и размер. Каждая часть должна содержать три граничных квадратика (из 12) и один из четырех внутренних. Теперь легко подобрать нужные части (они могут быть Т- или Г-образной формы; на рис. 2 показан вариант с Т-образными частями).

ЗАДАЧА 3

Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель - на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?

Достаточно привести один пример, скажем,

Легко понять, почему так получается: важно не абсолютное увеличение числителя и знаменателя, а относительное. Если числитель был равен 1, то прибавление единицы увеличивает его вдвое, в то время как прибавление к числу 100 целых десяти единиц увеличивает его всего на 10%.

Ответ: может.

ЗАДАЧА 4

Брат вышел из дома на 5 минут позже сестры вслед за ней, но шел в полтора раза быстрее, чем она. Через сколько минут после выхода брат догонит сестру?

К моменту встречи брат и сестра прошли одно и то же расстояние. При этом брат шел в полтора раза быстрее, значит, сестра шла в полтора раза дольше. С другой стороны, она шла на 5 мин дольше. Понятно, что она шла 15 мин вместо 10 мин, которые потребовались брату, чтобы ее догнать.

Ответ: через 10 мин.

ЗАДАЧА 5

Три яблока дороже пяти груш. Могут ли пять яблок быть дешевле семи груш? Могут ли семь яблок быть дешевле тринадцати груш? (Все яблоки стоят одинаково, все груши - тоже.)

По условию три яблока дороже пяти груш. Запишем это так: 3я > 5г. Это неравенство можно переписать в виде

(яблоко дороже груши более, чем в раза). Два утверждения из вопросов задачи можно записать так:

Теперь сравним три дроби: используя калькулятор или приводя их к общему знаменателю, находим

Поэтому число, большее , не может быть меньше но может быть меньше Это означает, что ответ на первый вопрос задачи - нет, не могут, а на второй - да, могут.

Ответ на первый вопрос можно получить еще и так: раз три яблока дороже пяти груш, то одно яблоко дороже одной груши. Значит, после добавления двух яблок и двух груш по-прежнему яблоки (теперь их пять) будут дороже груш (которых теперь семь).

Ответ на второй вопрос задачи можно получить, если привести один пример. Пусть каждое яблоко стоит 5 руб. и одну копейку, а каждая груша - 3 руб. Тогда три яблока немного дороже пяти груш, но семь яблок (35 рублей с копейками) дешевле тринадцати груш (39 руб.).

ЗАДАЧА 6

Приведите пример натурального числа, делящегося на 6 и имеющего ровно 15 различных натуральных делителей (считая 1 и само число).

Искомое натуральное число делится на 6, а значит, делится и на 2, и на 3. Поэтому в разложение этого числа на простые множители входит какое-то количество двоек (пусть их будет m) и какое-то количество троек (пусть их будет n).

Заметим, что только из двоек и троек можно составить (m + 1)(n + 1) различных делителей искомого числа. По условию число имеет ровно 15 различных делителей. Так как 15 = 3 " 5, то в разложение числа не входят другие простые множители, кроме 2 и 3 (если есть еще хотя бы один простой множитель, то делителей не 15). Значит, для чисел m и n есть только две возможности: 2 и 4. Таким образом, получаем два числа:

22 " 34 = 324 и 24 " 32 = 144.

Ответ: 144 или 324.

ЗАДАЧА 7

В хороводе по кругу стоят 30 детей. Правый сосед каждой девочки - мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у всех остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько мальчиков и девочек в хороводе?

Представим себе, что каждая девочка возьмет за левую руку стоящего справа от нее мальчика. Тогда все девочки образуют пары с мальчиками. Но мальчики, слева от которых стоит другой мальчик, останутся без пары. Таким образом, весь хоровод разбился на части двух типов: (1) пара "девочка-мальчик" и (2) одинокий мальчик. В каждой части (будь то пара или один человек) справа стоит мальчик. По условию в половине случаев справа от него стоит пара "девочка-мальчик", а в другой половине случаев - мальчик. Значит, частей того и другого типа поровну, и тем самым пара есть только у половины мальчиков.

Ответ: 20 мальчиков и 10 девочек.

ЗАДАЧА 8

Лист бумаги согнули вдвое по прямой и прокололи иголкой в двух местах, а потом развернули и получили 4 отверстия. Положения трех из них отмечены на рис. 1. Где может находиться четвертое отверстие?

Ответ зависит от того, какие два из трех изображенных отверстий получены одним проколом. Есть три возможности, для каждой из них линия сгиба и положение четвертого отверстия определяются однозначно. Три варианта ответа отмечены светлыми кружками на трех фрагментах рис. 2.

ЗАДАЧА 9

Подряд написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, _, 2000. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

Будем считать вычеркивание первого, третьего, пятого и т. д. чисел по порядку (то есть всех чисел с нечетными порядковыми номерами) одним "вычеркиванием". После первого "вычеркивания" останутся только четные числа: 2, 4, 6, 8, _; теперь каждое число вдвое больше своего порядкового номера. После второго "вычеркивания" останутся только числа, кратные 4 = 22, и каждое из них теперь в четыре раза больше своего порядкового номера. Так будет продолжаться и далее: после очередного "вычеркивания" остаются только числа, кратные степеням двойки (8 = 23, 16 = 24, 32 = 25, _). После десятого "вычеркивания" останется единственное число 1024 = 210, поскольку следующее число, кратное 210, равно 2048, а это уже больше 2000.

Ответ: 1024.

ЗАДАЧА 10

На числовой оси живет кузнечик, который умеет прыгать на 1 и на 4 вправо и влево. Может ли он за 1996 прыжков попасть из точки 1 в точку 2 числовой оси, если он не должен попадать в точки с координатами, кратными 4 (точки 0, ? 4, ? 8 и т.д.)?

Запрещенные для кузнечика точки 0, ? 4, ? 8, _ разбивают все числа на группы по три (1, 2 и 3 - одна группа, 5, 6 и 7 - следующая и т.д.). Когда кузнечик прыгает незапрещенным образом на 1, он остается внутри группы. Когда кузнечик прыгает на 4, он перемещается из одной группы в соседнюю, при этом его положение внутри группы не меняется. Для того, чтобы попасть из точки 1 в точку 2, кузнечик должен поступить следующим образом: сделать четное число прыжков на 4 (поровну влево и вправо, чтобы остаться внутри своей группы) и нечетное число прыжков на 1 (чтобы сместиться на 1 внутри группы). Поэтому общее число прыжков будет нечетным и не может быть равно 1996.

Ответ: не может.

ЗАДАЧА 1

Нефтепровод проходит мимо трех деревень A, B, C. В первой деревне сливают 30% от первоначального количества нефти, во второй - 40% того количества, которое дойдет до деревни B, а в третьей - 50% того количества, которое дойдет до деревни C. Сколько процентов нефти от первоначального количества доходит до конца нефтепровода?

После первой деревни останется x " 0,7 нефти, где x - количество нефти в начале нефтепровода. После второй деревни останется x " 0,7 " 0,6, а после третьей - x " 0,7 " 0,6 " 0,5 = x " 0,21. Таким образом, до конца нефтепровода дойдет 21% исходного количества нефти.

Ответ: 21%.

ЗАДАЧА 2

Есть несколько обыкновенных несократимых дробей (не обязательно правильных) с натуральными числителями и знаменателями (причем знаменатели больше 1). Произведение всех дробей равно 10. Все числители и знаменатели увеличили на 1. Может ли произведение получившихся дробей оказаться больше 10?

Да, может. Например,

но

ЗАДАЧА 3

Гирлянда состоит из 10 последовательно соединенных лампочек. Ровно одна из лампочек перегорела, но неизвестно, какая. Для замены перегоревшей имеется годная лампочка. Чтобы вывинтить лампочку, нужно 10 секунд, чтобы завинтить - тоже 10 секунд (временем на остальные действия можно пренебречь). Можно ли гарантированно найти перегоревшую лампочку: а) за 10 минут, б) за 5 минут?

а) Будем действовать самым простым способом - вывинтим первую лампочку, ввинтим на ее место заведомо исправную, а если гирлянда не загорелась, то вывинтим заведомо исправную лампочку и ввинтим первую лампочку на свое место. При этом на проверку одной лампочки уйдет 40 с и за 10 мин, конечно, можно успеть проверить все лампочки.

б) Время проверки можно существенно сократить, заметив, что поскольку перегорела ровно одна лампочка, то обратно вывинчивать заведомо исправную необязательно!

Ответ: а) можно; б) можно.

ЗАДАЧА 4

Когда быстрый и медленный спортсмены бегут по стадиону в одну сторону, то быстрый обгоняет медленного раз в 15 минут, а когда они бегут навстречу, то встречаются раз в 5 минут. Во сколько раз скорость быстрого бегуна больше скорости медленного?

Когда "быстрый" и "медленный" спортсмены бегут навстречу друг другу, их скорости складываются. Когда "быстрый" спортсмен догоняет "медленного", их скорости вычитаются. В первом случае они встречаются втрое чаще, поэтому сумма их скоростей втрое больше их разности. Легко догадаться, что скорость "быстрого" спортсмена вдвое больше скорости "медленного". (Если x + y = 3(x - y), то x + y = 3x - 3y, откуда 4y = 2x и 2y = x.)

Ответ: вдвое.

ЗАДАЧА 5

Петя опоздал в школу на 35 минут. Тогда он решил сбегать в киоск за мороженым. Но когда он вернулся, второй урок уже начался. Он тут же побежал за мороженым во второй раз и отсутствовал такое же время. Когда он вернулся, то оказалось, что он опять опоздал, и до начала четвертого урока надо ждать 50 минут. За какое время можно сбегать из школы до киоска с мороженым и обратно, если каждый урок вместе с переменой после него длится 55 минут?

От начала уроков до второго возвращения Пети в школу прошло 35 + 2x (мин), где x - время, необходимое для того, чтобы сбегать за мороженым. За это время состоялось 2 урока с переменами и прошло еще 5 мин от третьего урока. Имеем

35 + 2x = 2 " 55 + 5,

откуда 2x = 80 и x = 40 мин.

Ответ: 40 мин.

ЗАДАЧА 6

В выпуклом семиугольнике проведите как можно больше диагоналей так, чтобы никакие три из них не были сторонами одного треугольника, вершины которого находятся в вершинах исходного семиугольника.

Диагональ семиугольника назовем "короткой", если она отсекает от семиугольника треугольник; в противном случае назовем ее "длинной". Понятно, что из каждой вершины выходит 2 коротких и 2 длинных диагонали, значит, всего имеется 7 коротких и 7 длинных диагоналей. Легко видеть, что запрещенные в условии задачи треугольники можно составить только из двух коротких и одной длинной диагонали. Если в семиугольнике проведены все 14 диагоналей, то всего имеется 7 запрещенных треугольников.

Переформулируем задачу следующим образом: вычеркнуть как можно меньше диагоналей так, чтобы разрушить все запрещенные треугольники. Ясно, что вычеркивание одной длинной диагонали разрушает всего один запрещенный треугольник, а вычеркивание одной короткой разрушает два треугольника. Поэтому трех вычеркиваний недостаточно, чтобы разрушить все запрещенные треугольники. Четырех вычеркиваний хватит, если действовать следующим образом. Вычеркнем последовательно три коротких диагонали так, чтобы каждый раз разрушались два новых запрещенных треугольника. Для разрушения последнего оставшегося треугольника вычеркнем любую его сторону.

Ответ: 10.

ЗАДАЧА 7

В письменности антиподов числа тоже записываются знаками 0, _, 9, но при этом каждая из цифр имеет у них и у нас разные значения. Оказалось, что у антиподов тоже верны равенства

5 " 8 + 7 + 1 = 48,

2 " 2 " 6 = 24,

5 " 6 = 30.

Как продолжит равенство 23 = _ грамотный антипод? Что означает у антиподов цифра 9?

Цифры антиподов будем отмечать чертой, чтобы отличить их от наших цифр. У каждой из цифр антиподов есть истинное (в нашем понимании) значение - одна из наших цифр. Будем рассматривать различные варианты значений цифр антиподов и, используя три данные верные равенства, попытаемся определить истинные значения этих цифр.

Заметим, что в правых частях данных равенств стоят двузначные числа. Отсюда легко сделать вывод, что следующие цифры антиподов не равны нашему нулю: Кроме того, по условию. Поэтому нулем может быть только одна из четырех цифр:

Теперь удобно определить истинное значение Мы уже знаем, что и Предположим, что = 1. Тогда число - однозначное при любом значении а это противоречит второму равенству. Значит, .

Предположим, что = 9. Тогда из второго равенства получим (здесь ), что невозможно ни при каких и . Следовательно, . Аналогично получаем, что

Предположим, что = 4. Тогда из второго равенства получим , что возможно только при = 8, = 3. Теперь первое равенство принимает вид

В левой части этого равенства все четыре цифры различны и нет цифры 8. Поэтому легко понять, что при любых допустимых вариантах значений , , , левая часть не превосходит 74, то есть равенство невозможно. Значит, .

Таким образом, для значения остается единственная возможность: = 3. Тогда из второго равенства получим , что возможно только при = 6, = 4.

Теперь перейдем к определению истинного значения . Мы уже знаем, что . Предположим, что = 1 или = 2. Тогда число однозначное, а по третьему равенству оно равно двузначному. Предположим, что = 8 или = 9. Тогда из третьего равенства получим 8 " 4 = или 9 " 4 = , откуда = 3, что противоречит условию. Таким образом, для значения остается единственная возможность: = 7. Тогда из третьего равенства получим 7 " 4 = , откуда = 2, = 8. Тем самым мы определили истинные значения шести цифр антиподов:

Перейдем теперь к определению истинного значения , для которого осталось четыре возможности: 0, 1, 5, 9. Рассмотрим первое равенство с учетом уже известных значений и :

Если = 0, = 1 или = 5, то это равенство невозможно. Значит, = 9. Теперь первое равенство принимает вид

откуда = 6. Поскольку для значения осталось только две возможности (0 и 5), можно получить = 5, = 1. Для осталась единственная возможность: = 0. Тем самым мы определили истинные значения всех цифр антиподов и можем записать любое верное для антиподов числовое равенство.

Рассмотрим равенство 23 = _ Перепишем его в наших обозначениях: заменим цифры и найденными значениями и продолжим равенство: 32 = 9. Но 9 = , поэтому грамотный антипод напишет:

Ответ: антипод напишет 23 = 8,

цифра 9 у антиподов означает наш 0.

ЗАДАЧА 8

Подряд написали числа 1, 2, 3, 4, _, 1996, 1997. Каких цифр при записи этих чисел было использовано больше - единиц или двоек? На сколько?

Посмотрим сначала на числа от 1 до 999. Добавим число 0, затем каждое из чисел дополним нулями слева до трехзначного: 000, 001, 002, _, 998, 999. (При этом новых единиц или двоек не появится.) Видим, что выписаны все комбинации из трех цифр, поэтому каждая цифра (в частности, единица и двойка) встречается одинаковое число раз.

Теперь рассмотрим четырехзначные числа от 1000 до 1999. Если у каждого из них зачеркнуть первую цифру 1, то получим рассмотренные выше числа: 000, 001, _, 999. Значит, имеется 1000 лишних единиц. В нашей задаче нет чисел 1998 и 1999, так что две единицы мы посчитали зря.

Ответ: единиц больше на 998 штук.

ЗАДАЧА 9

См. решение задачи 10 для 6-го класса.

ЗАДАЧА 10

Существует ли выпуклый четырехугольник, который можно разрезать по прямой на две части одинаковой величины и формы, но ни диагональ, ни прямая, проходящая через середины противоположных сторон, не делит его на две равные части?

Да, существует! Пример можно нарисовать на листе клетчатой бумаги так, как показано на рис. 1.

Как до этого догадаться? Надо взять квадрат, и провести через его центр две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 2):

Они разобьют квадрат на четыре равные части. Взяв две соседние, получим нужный пример.

ЗАДАЧА 1

Какое максимальное количество 12%-го раствора кислоты можно получить, имея по 1 литру 5%-го, 10%-го и 15%-го растворов?

Сначала заметим, что искомый максимум меньше 3 л, но больше 2 л. Если слить все растворы, то получится 3 литра 10%-го раствора - менее концентрированного, чем нужно. Если слить весь 10%-ный (1 л) и весь 15%-ный (1 л) растворы, то получится 2 литра 12,5%-го раствора - более концентрированного, чем нужно. Значит, эти 2 литра 12,5%-го раствора можно разбавить 5%-ным раствором до нужной концентрации и получить больше 2 литров 12%-го раствора.

Обозначим через x необходимое для этого количество 5%-го раствора. Заметим, что в полученной смеси (2 литра 12,5%-го раствора и x литров 5%-го раствора) содержится 0,05x + 0,25 л кислоты. А это должно составить 12% общего количества полученной смеси, равного 2 + x. Получаем следующее уравнение:

0,05x + 0,25 = 0,12(2 + x)

или

0,01 = 0,07x,

откуда x = .

Ответ: л.

(Попробуйте строго доказать, что большее количество 12%-го раствора получить невозможно.)

ЗАДАЧА 2

Какое число больше: 199 719 971 9972 или 199 719 971 996 " 19 9719 971 998?

Чтобы понять, какое число больше, удобно обозначить 199 719 971 997 через x. Тогда сравниваемые числа можно записать как x2 и (x - 1)(x + 1). Вспоминая, что (x - 1)(x + 1) = x2 - 1, видим, что первое число на единицу больше.

Ответ: первое.

ЗАДАЧА 3

Существует ли выпуклый 1998-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?

Пусть каждый угол некоторого выпуклого многоугольника выражен целым числом градусов. Тогда минимальное значение внешнего угла не меньше 1? (если внешний угол равен 0?, то это не угол многоугольника, а точка на стороне). Но есть теорема о том, что сумма внешних углов любого многоугольника равна 360?. Поэтому больше 360 углов у многоугольника быть не может.

Ответ: не существует.

ЗАДАЧА 4

Существует ли десятизначное число, делящееся на 11, в записи которого использованы все цифры от 0 до 9?

Да, существует! Чтобы построить пример, вспомним, что число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11. Запишем все десять цифр по убыванию, тогда у полученного числа 9 876 543 210 эта разность будет равна 5. Теперь поменяем местами 5 и 8. Первая сумма увеличится на 3, а вторая уменьшится на 3. Значит, их разность станет равна 11 и поэтому число 9 576 843 210 делится на 11.

К сожалению, очень распространена следующая ошибочная формулировка признака делимости на 11: "число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах". Если использовать этот признак, то пример построить нельзя! (Попробуйте это доказать.)

Ответ: существует.

ЗАДАЧА 5

По кругу написано 20 чисел, каждое из которых равно сумме двух своих соседей. Доказать, что сумма всех чисел равна 0.

Запишем для каждого числа равенство, в левой части которого стоит само это число, а справа - сумма двух его соседей. Сложим все эти равенства. В левой части получим сумму всех чисел (обозначим ее через S). В правой части каждое число будет встречаться дважды (как левый сосед и как правый сосед), и поэтому получится 2S. Получаем S = 2S, значит, S = 0.

ЗАДАЧА 6

Существует ли выпуклый многоугольник, который не имеет ни оси симметрии, ни центра симметрии, но который переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки на некоторый угол, меньший 180 градусов?

Существует. Достаточно взять правильный треугольник и пристроить к его сторонам одинаковые треугольники (не слишком выступающие, чтобы получился выпуклый шестиугольник, и не равнобедренные, чтобы не было оси симметрии):

ЗАДАЧА 7

См. решение задачи 6 для 7-го класса.

ЗАДАЧА 8

Приведите пример натурального числа, которое делится на 30 и имеет ровно 105 различных натуральных делителей, включая 1 и само число.

Таких чисел существует шесть:

26 " 34 " 52 = 129 600,

24 " 36 " 52 = 291 600,

22 " 36 " 54 = 1 822 500,

26 " 32 " 54 = 360 000,

24 " 32 " 56 = 2 250 000,

22 " 34 " 56 = 5 062 500.

Для решения задачи достаточно указать любое из них. Но как их найти?

Рассмотрим произвольное число N, разложенное на простые множители: N = p a " q b " r c_ (одинаковые множители сгруппированы). Тогда любой делитель числа N содержит те же простые множители, но, возможно, в меньших степенях. Число p может быть в степени от 0 до a, число q - в степени от 0 до b и т.д. Таким образом, a + 1 вариант для степени числа p комбинируется с b + 1 вариантом для степени числа q и т.д. Всего получается (a + 1)(b + 1)(c + + 1)_ делителей.

По условию у искомого числа должно быть ровно 105 = 3 " 5 " 7 делителей и это число должно делиться на 30 = 2 " 3 " 5, так что в его разложении есть простые множители 2, 3, 5. Получаем, что в разложении искомого числа нет других простых множителей, кроме 2, 3, 5, а для степеней множителей 2, 3, 5 есть только такие возможности: 2, 4, 6.

Все шесть комбинаций такого рода перечислены выше.

ЗАДАЧА 9

5 " 8 + 7 + 1 = 48,

2 " 2 " 6 = 24,

5 " 6 = 30.

Как продолжит равенство 23 = _ грамотный антипод? Что означает у антиподов цифра 9?

См. решение задачи 7 для 7-го класса.

ЗАДАЧА 10

См. решение задачи 10 для 7-го класса.

ЗАДАЧА 1

Решите уравнение

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком последнего радикала. Проделав очевидные преобразования, получаем

Из условия следует, что x $ 0; поэтому модуль раскроется со знаком плюс и исходное уравнение перепишется в виде

Далее, преобразуя левую часть этого выражения, получаем последовательно:

2(x + 1) = x, x = - 2.

Однако это решение не удовлетворяет условию x $ 0.

Ответ: нет решений.

ЗАДАЧА 2

Через вершины A и B единичного квадрата ABCD проходит окружность, пересекающая прямые AD и AC в точках K и M, отличных от A. Найдите длину проекции KM на AC.

Будем считать, что точка M лежит на прямой AC, а точка K на AD. Кроме того, обозначим через T точку пересечения окружности с прямой BC (рис. 1). Угол TMA прямой, поскольку опирается на диаметр окружности. Следовательно, проекции отрезков KM и KT на прямую AC совпадают. Но последняя проекция равна , так как отрезок KT равен 1 и составляет угол 45? с прямой AC.

Ответ: .

Рис. 1

ЗАДАЧА 3

В цехе работало несколько станков. После реконструкции количество станков сократилось, причем число процентов, на которое уменьшилось число станков, оказалось равным числу оставшихся станков. Какое наименьшее число станков могло быть в цехе до реконструкции?

Обозначим первоначальное число станков через x, а число оставшихся станков через n. Условие задачи приводит к уравнению

которое преобразуется к виду

Для того чтобы получить наименьшее значение x, число 100 - n надо выбрать наибольшим. Перебрав все делители числа 10 000, меньшие 100, получим 100 - n = 80, откуда x = 25.

Ответ: 25 станков.

ЗАДАЧА 4

Найдите наименьшее значение выражения

Из условия следует, что числа x и y не равны нулю и имеют одинаковые знаки. Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим a + b $ к сумме

получим

Сделаем замену переменных: = t. Минимум выражения 8t 2 - t равен и достигается в точке (вершина параболы). Следовательно,

Это наименьшее значение достигается при

Ответ:

ЗАДАЧА 5

Имеется квадратная таблица со стороной n. Можно ли в клетки этой таблицы вписать числа 0, 1 или 2 так, чтобы все суммы чисел по строкам и столбцам были бы различны и принимали значения от 1 до 2n, если: а) n = 7, б) n = 8?

См. решение задачи 6 (10-й класс).

Ответ: а) нет; б) да.

ЗАДАЧА 6

Около квадрата со стороной 1997 описан ромб. Найдите его диагонали, если известно, что они равны различным целым числам.

Сначала необходимо доказать следующее: если вокруг квадрата описан ромб (не являющийся квадратом), то диагонали последнего будут параллельны сторонам квадрата.

Для доказательства достаточно повернуть ромб вокруг центра квадрата на 90? (рис. 1) и заметить, что полученная фигура симметрична относительно диагоналей ромба. Значит, и множество вершин квадрата, образованное в пересечении сторон ромбов, будет симметрично относительно тех же диагоналей.

Теперь обозначим ромб через ABCD, а квадрат - через LMNK (рис. 2). Из подобия треугольников выводим:

следовательно,

Рис. 1

Имеем где m и n - диагонали ромба. Преобразуем уравнение к виду

(m - 1997)(n - 1997) = 19972.

Число 1997 простое, поэтому один из множителей равен 1, другой 19972 (варианты 1997 и 1997, а также -1 и -19972 исключаются, так как числа m и n различны и положительны).

Ответ: 1998, 1997 " 1998.

ЗАДАЧА 7

Для любых двух точек A(x1 ; y1) и B (x2 ; y2) расстояние r(A, B ) между ними определено равенством

r(A, B ) = | x1 - x2 | + | y1 - y2 |.

Докажите, что для введенного таким образом расстояния выполняется неравенство треугольника

r(A, C ) + r(C, B ) $ r(A, B ).

Пусть A и B - две точки плоскости (можно взять A(1; 3), B(3; 7)). Найдите геометрическое место точек C, для которых

а) r(A, C ) + r(C, B ) = r(A, B );

б) r(A, C ) = r(C, B ).

Пусть точки A, B и C имеют координаты (x1 ; y1), (x2 ; y2), (x3 ; y3) соответственно. Тогда

r(A; C ) + r(C ; B ) =

= | x1 - x3 | + | y1 - y3 | + | x3 - x2 | + | y3 - y2 | =

= ( | x1 - x3 | + | x3 - x2 | ) + ( | y1 - y3 | + | y3 - y2 | ) $

$ | x1 - x2 | + | y1 - y2 | = r(A; B ).

Мы воспользовались неравенством

| a | + | b | $ | a + b | ,

которое верно для любой пары чисел a, b. Оно обращается в равенство, когда числа a и b имеют один знак, в том числе и когда одно из них равно нулю. Значит, равенство

r(A; C ) + r(C ; B ) = r(A; B )

выполняется при таком условии: числа в каждой паре (x1 - x3 , x3 - x2) и (y1 - y3 , y3 - y2) имеют один знак. Условие для первой пары выполняется для точек C, лежащих в вертикальной полосе между точками A и B, условие для второй пары - в горизонтальной полосе (рис. 1, а). Ответом в пункте а) служит пересечение этих полос - заштрихованный прямоугольник AMBN. б) Ответ для случая A (1; 3), B (3; 7) изображен на рис. 1, б. Нам нужно найти множество точек, удовлетворяющих уравнению

| 1 - x | + | 3 - y | = | x - 3 | + | y - 7 | .

Вертикальные и горизонтальные прямые, проведенные через точки A и B, делят плоскость на девять областей. В каждой области мы определяем знаки чисел 1 - x, 3 - y, x - 3, y - 7, раскрываем все модули в уравнении и строим соответствующее множество точек в данной области. В шести областях получим пустое множество, в остальных трех - части прямых, образующие фигуру, показанную на рисунке.

Рис. 1

ЗАДАЧА 8

В левом нижнем углу шахматной доски размерами 6 i 6 находится король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали - вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски?

На каждой клетке шахматной доски напишем число, равное количеству путей, которыми король может пройти в эту клетку из левого нижнего угла. Тогда в крайнем левом столбце, а также в нижней строке получившейся таблицы будут стоять единицы. На любом другом месте будет стоять число, равное сумме чисел в трех клетках: соседней слева, снизу и по диагонали (слева снизу). Будем заполнять таблицу постепенно. Сначала заполним единицами левый столбец и нижнюю строку. Далее заполняем второй столбец слева и вторую строку снизу и т.д. Итоговая таблица изображена на рис. 1.

Ответ: 1683.

Рис. 1

ЗАДАЧА 9

В треугольнике ABC угол A равен a, а высота, проведенная к стороне BC, равна h. Вписанная в треугольник окружность касается сторон треугольника в точках K, M и P, где P лежит на стороне BC. Найдите расстояние от P до KM.

Обозначим через O центр вписанной окружности, через R точку пересечения прямых OA и MK (рис. 1). В прямоугольном треугольнике OMA квадрат катета MO равен произведению отрезков OR и OA. Значит, OP 2 = OM 2 = OR " OA. Следовательно, треугольники OPR и OAP подобны с коэффициентом

Из подобия следует, что углы ORP и OPA равны, значит, - APB = - PRK. Расстояние от точки P до KM равно

Рис. 1

Ответ:

ЗАДАЧА 10

На плоскости имеется изображение окружности с отмеченным центром. Пусть на этой плоскости изображен произвольный угол. С помощью одной линейки постройте биссектрису этого угла.

Докажем сначала вспомогательное утверждение: Если на плоскости дан отрезок и его середина, то с помощью одной лишь линейки можно из любой точки провести прямую, параллельную отрезку.

На рис. 1, а точка B - середина отрезка AC. Проведем через данную точку K прямую AK и возьмем на ней точку M. Проведем прямую через A и точку пересечения прямых KC и MB. Она пересечет прямую MC в некоторой точке T. Тогда KT параллельна AC (мы пользуемся известным утверждением: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой).

Таким же построением решается и обратная задача. Если даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них, то с помощью линейки можно найти середину этого отрезка.

Пусть теперь дана окружность и ее центр. Тогда с помощью линейки можно к любой хорде провести перпендикулярный диаметр (в частности, можно найти середину любой хорды и любой дуги). Действительно, проведем из концов данной хорды AB диаметры AA ' и BB '. Так как A 'B ' || AB, то мы можем построить середины отрезков AB и A 'B '. Соединив их, получим искомый диаметр.

Теперь мы можем выполнить необходимое построение. Пусть дан угол и окружность с центром O. Проводим через вершину угла N прямую, высекающую на окружности хорду AB, отличную от диаметра. Находим середину этой хорды и проводим через точки O и A ' (AA ' - диаметр) прямые, параллельные NA. Эти прямые пересекут одну сторону угла (или ее продолжение) в точках M1 и M2 , другую - в точках K1 и K2 (рис. 1, б ). Итак, на каждой стороне угла мы построили отрезки (NM2 и NK2) и их середины M1 , K1 . Следовательно, мы можем из точки O провести диаметры, параллельные сторонам угла. Затем построим биссектрису угла между диаметрами, найдя середину соответствующей дуги. И наконец проводим через N прямую, параллельную этой биссектрисе. Построение закончено.

ЗАДАЧА 1

Известны две стороны вписанного четырехугольника ABCD : AB = a, BC = b. На стороне CD взята точка K так, что CK = m. Окружность, проходящая через B, K и D, пересекает прямую DA в точке М, отличной от D. Найдите AМ.

Треугольники AMB и CKB подобны (рис. 1). Это следует из равенства углов - DCB = - MAB во вписанном четырехугольнике ABCD и равенства углов - BMD = - BKC во вписанном четырехугольнике DMBK (каждый раз мы берем внутренний угол четырехугольника и внешний к противоположному углу). Из подобия получаем пропорцию AM : AB = = CK : CB, откуда AM = .

Ответ:

Рис. 1

ЗАДАЧА 2

Решите уравнение

Перепишем уравнение в следующем виде:

Каждый раз преобразуя выражение во внутренних скобках, получим последовательно:

Ответ:

ЗАДАЧА 3

Для любых двух точек A (x1 ; y1) и B (x2 ; y2) расстояние r(A, B ) между ними определено равенством

r(A, B ) = max ( | x1 - x2 |, | y1 - y2 | ).

Докажите, что для введенного таким образом расстояния выполняется неравенство треугольника

r(A, C ) + r(C, B ) $ r(A, B ).

Пусть A и B - две точки плоскости. Найдите геометрическое место точек C, для которых

а) r(A, C ) + r(C, B ) = r(A, B );

б) r(A, C ) = r(C, B ).

а) Будем пользоваться неравенством

| a | + | b | $ | a + b |,

которое выполняется для любой пары чисел (a; b) и обращается в равенство тогда и только тогда, когда ab $ 0. Рассмотрим три точки на плоскости: A (x1 ; y1), B (x2 ; y2), C (x3 ; y3). Имеем цепочку неравенств:

r(A; C ) + r(C ; B ) =

= max ( | x1 - x3 | ; | y1 - y3 | ) + max ( | x3 - x2 | ; | y3 - y2 | ) $

$ max ( | x1 - x3 | + | x3 - x2 | ; | y1 - y3 | + | y3 - y2 | ) $

$ max ( | x1 - x2 | ; | y1 - y2 | ) = r(A; B ).

Неравенство треугольника доказано. Выясним теперь, для каких точек C оно обращается в равенство. Для этого нужно, чтобы оба неравенства в приведенной цепочке обратились в равенства. Предположим сначала, что max ( | x1 - x3 | ; | y1 - y3 | ) = = | x1 - x3 | , то есть | x1 - x3 | $ | y1 - y3 | . Тогда и в паре ( | x3 - x2 | ; | y3 - y2 | ) должно "победить" число | x3 - x2 | , иначе первое неравенство цепочки будет строгим. Итак,

| x1 - x3 | $ | y1 - y3 | , | x3 - x2 | $ | y3 - y2 | .

Кроме того, "победители" (x1 - x3) и (x3 - x2) должны иметь один знак (иначе второе неравенство цепочки не обратится в равенство). Значит, числа (x1 - x3), (x3 - x2) имеют один знак и являются максимальными по модулю в своих парах. Тогда числа

(x1 - x3) ? (y1 - y3), (x3 - x2) ? (y3 - y2)

имеют тот же знак. Мы получаем условие: неравенство треугольника обращается в равенство тогда и только тогда, когда числа

(x1 - x3) + (y1 - y3), (x3 - x2) + (y3 - y2)

имеют один знак, и числа

(x1 - x3) - (y1 - y3), (x3 - x2) - (y3 - y2)

имеют один знак. Эти условия задают прямоугольник, противоположные вершины которого находятся в точках A и B, а стороны составляют 45? с осями координат (рис. 1, а).

Рис. 1

б) Геометрическое место точек, задаваемое уравнением

max ( | x1 - x3 | ; | y1 - y3 | ) = max ( | x3 - x2 | ; | y3 - y2 | ),

является объединением четырех множеств:

Одна из этих систем не имеет решений, для трех остальных в качестве множества решений получим отрезок и два параллельных луча.

Частный случай, когда обе точки A и B лежат на одной вертикали или горизонтали, должен быть рассмотрен отдельно.

Ответ: а) см. рис. 1, а.; б) см. рис. 1, б.

ЗАДАЧА 4

Решите систему уравнений

Рассмотрим в декартовой плоскости четыре вектора . Их длины равны соответственно 1, 2, 3, 4. Сумма этих векторов имеет координаты (6; 8), ее длина равна = 10. Так как длина суммы векторов получилась равной сумме длин, то все четыре вектора коллинеарны и одинаково направлены. Следовательно, первые координаты векторов (числа x, y, z, t) пропорциональны их длинам - числам 1, 2, 3, 4 соответственно. Теперь без труда выражаем все переменные через x, подставляем их в первое уравнение системы и получаем ответ.

Ответ: x = 0,6, y = 1,2, z = 1,8, t = 2,4.

ЗАДАЧА 5

В левом нижнем углу квадратной доски 7 i 7 стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх или на одну клетку по диагонали - вправо и вверх. Сколькими различными путями может попасть король в правый верхний угол доски, если ему запрещается посещение центральной клетки?

Составим таблицу 7 i 7, в каждой клетке которой напишем число, равное количеству допустимых путей, которыми король может дойти до этой клетки из левого нижнего угла. Заполнять таблицу будем постепенно. Сначала левый столбец и нижнюю строку заполняем единицами. Кроме того, в центральной клетке ставим ноль (по условию задачи). Далее заполняем второй слева столбец и вторую снизу строку и т.д. по следующему правилу: в очередной клетке ставим сумму чисел, стоящих в трех соседних клетках - снизу, слева и по диагонали (снизу слева). В результате получим таблицу, изображенную на рис. 1. Ответом служит число, стоящее в верхнем правом углу.

Ответ: 5020.

Рис. 1

ЗАДАЧА 6

Можно ли в клетках квадратной таблицы n i n расставить числа 0, 1 или 2 таким образом, что суммы чисел по строкам и по столбцам принимали бы все различные значения от 1 до 2n. Рассмотрите два случая: а) n - нечетное число; б) n - четное число.

а) Предположим, что нам удалось заполнить нужным образом таблицу n i n, где n - нечетное число. Сложим суммы чисел во всех столбцах таблицы и суммы чисел во всех строках таблицы. Получаем число S. С одной стороны,

S = 1 + 2 + _ + 2n = n(2n + 1)

- число нечетное. С другой стороны, S равно удвоенной сумме всех чисел, стоящих в таблице (поскольку при сложении всех строк и столбцов каждое число считается дважды), значит, S обязано быть числом четным, то есть получили противоречие.

б) Покажем, как заполнить таблицу при произвольном четном n. Сначала идем по главной диагонали из левого нижнего угла в правый верхний. В первых клетках диагонали ставим единицы, в следующих клетках - двойки. Теперь все клетки над диагональю заполняем нулями, под диагональю - двойками (рис. 1). Получилась нужная таблица.

Суммы чисел в столбцах равны соответственно (слева направо)

1, 3, 5, _, n - 1, n + 2, n + 4, _, 2n.

Суммы чисел в строках (сверху вниз):

2, 4, _, n - 2, n, n + 1, n + 3, _, 2n - 1.

Каждое значение от 1 до 2n принимается ровно один раз.

Ответ: а) нельзя; б) можно.

ЗАДАЧА 7

Докажите, что число можно представить в виде

где A, B, C, D - целые числа. Найдите с точностью 10-10 отношение D / A.

Раскрыв скобки в выражении

получим сумму 31997 слагаемых, каждое из которых имеет вид

Если все числа m, n, k нечетные, то ; если нечетно только число m, то ; если нечетно только n, то ; если нечетно только k, то (a, b, c, d - натуральные числа). Следовательно, вся сумма имеет вид

Докажем теперь, что

В самом деле, в разложении все слагаемые Гm, n, k с нечетным m составляют сумму и входят со знаком минус, все слагаемые Гm, n, k с четным m составляют сумму и входят со знаком плюс. Так же доказывается, что

Перейдем к технической части задачи. Из равенств

получаем . Далее, пользуясь неравенством имеем

Следовательно, и, кроме того,

Тогда поэтому Наконец,

Итак, что и требовалось установить. Из доказательства легко усмотреть, что точность приближения на самом деле не 10-10, а по крайней мере 10- 600.

Ответ:

ЗАДАЧА 8

В треугольнике ABC угол B отличен от прямого, AB : BC = k. Пусть М - середина AC. Прямые, симметричные BM относительно AB и BC, пересекают прямую AC в точках D и E. Найдите BD : BE.

Решим задачу сначала для треугольника ABC с острым углом B (рис. 1). Так как BC - биссектриса в треугольнике MBE, то (пользуемся свойством биссектрисы треугольника). Аналогично Следовательно, Проведем теперь прямую BM ', симметричную BM относительно биссектрисы угла ABC (отрезок BM ' называется симедианой треугольника ABC ). Легко видеть, что эта прямая разделит угол DBE пополам. Снова применим свойство биссектрисы: Вычитая из последнего равенства равенство получим

Рис. 1

Осталось найти отношение , в котором симедиана делит противоположную сторону треугольника. Для этого заметим, что треугольники MBC и MBA имеют равные площади, то есть

следовательно, Тогда

Случай тупого угла B рассматривается точно так же, только отрезки BC и BA будут уже биссектрисами внешних, а не внутренних углов треугольников MBE и MBD соответственно. Все выписанные пропорции и уравнения останутся в силе.

Ответ:

ЗАДАЧА 9

На окружности отмечено 16 точек. Найдите наибольшее возможное число остроугольных треугольников с вершинами в отмеченных точках.

Рассмотрим множество всех углов M1M2M3 , где M1 , M2 , M3 - произвольная тройка отмеченных точек. В нем всего различных углов, в том числе n неострых углов.

Докажем, что n $ 392. Зададим произвольное число m k {1, 2, _, 7}. Возьмем хорду с концами в отмеченных точках такую, что по одну из сторон от нее лежит ровно m отмеченных точек (не считая ее концов). Такую хорду будем называть m-хордой. Каждая m-хорда стягивает не менее m неострых углов с вершинами в отмеченных точках. Для каждого m # 6 существует ровно 16 m-хорд, а для m = 7 их ровно 8. Таким образом,

n $ 16(1 + 2 + _ + 6) + 8 " 7 = 392.

Всего треугольников с вершинами в отмеченных точках Каждый неострый угол "испортит" ровно один треугольник, следовательно, всего остроугольных треугольников будет 560 - n # 168. Осталось привести пример множества из 16 точек, для которых число 168 достигается.

Возьмем 8 следующих подряд вершин правильного 16-угольника A1 , _, A8 . Через центр 16-угольника проведем прямую, не параллельную A1A8 , относительно которой все 8 вершин лежат по одну сторону (и при этом не лежат на самой прямой). Отразим 8 вершин относительно нее, получив еще восемь точек Множество {} искомое. В самом деле, в этом множестве нет диаметрально противоположных точек (иначе было бы либо ), следовательно, при m = 7 каждая m-хорда стягивает ровно 7 неострых углов. Кроме того, при m # 6 каждая m-хорда стягивает ровно m неострых углов. Значит, для данного множества n = 392, а число остроугольных треугольников равно

560 - n = 168.

Эти рассуждения нетрудно обобщить на произвольное число отмеченных точек.

Ответ: 168.

ЗАДАЧА 10

Окружность касается продолжений сторон CA и CB треугольника ABC, а также касается стороны AB этого треугольника в точке P. Докажите, что радиус окружности, касающейся отрезков AP, CP и описанной около этого треугольника окружности, равен радиусу вписанной в этот треугольник окружности.

Введем обозначения: K, M - точки касания окружности с отрезками AP и PC, L - точка ее касания с описанной окружностью ABC, T - середина дуги AB описанной окружности, I - центр вписанной окружности треугольника ABC (рис. 1, а).

Касательная к окружности ABC в точке T параллельна прямой AB. Следовательно, гомотетия с центром L, переводящая окружность ABC в окружность KML, переведет также эту касательную в прямую AB, а значит, и точку T в точку K. Поэтому точки L, K, T лежат на одной прямой. Докажем, что и точки K, M, I лежат на одной прямой (это центральное утверждение!). Пусть M ' - точка пересечения прямой KI и окружности KLM. Надо доказать, что M ' = M.

Рис. 1

Заметим сначала, что четырехугольник LCIM ' - вписанный. В самом деле, угол LCT равен полусумме величин дуг LA и AT, которая равна Последний угол образуют хорда LK и касательная AK к окружности LKM, значит, он равен углу LM 'K, который стягивает эта хорда. Итак, - LCT = - LM 'K и LCIM ' вписанный. Отсюда - LM 'C = - LIC (запомним!). Далее,

Поэтому треугольники TAK и TLA подобны, откуда TK " TL = TA 2. Кроме того, - AIT = - CAI + + - ACI = - CAI + - TAB = - BAI + - TAB = - TAI. Итак, треугольник TAI равнобедренный, следовательно, TI 2 = TK " TL. Последнее равенство означает подобие треугольников TKI и TIL, откуда заключаем, что

- LIC = - LKI.

Итак, - LM 'C = - LIC = - LKM '. Поэтому угол, который стягивает хорда L' , равен углу между этой хордой и прямой M 'C, следовательно, M 'C - касательная, а значит, M ' = M.

Геометрическая часть решения закончена и началась аналитическая. Пора воспользоваться определением точки P. Проведем касательную ко вписанной окружности треугольника ABC, параллельную стороне AB, F - точка касания (рис. 1, б ). Окружность, касающаяся продолжений сторон CA и CB и стороны AB, гомотетична вписанной окружности относительно точки C. Следовательно, точки касания P и F гомотетичны с тем же центром, поэтому P, F и C лежат на одной прямой. Пусть V - середина отрезка PE (E - точка касания стороны AB со вписанной окружностью). Так как IV || FP, то DKIV Z Z DKMP, следовательно, VI = VK. Тогда

IE 2 = VI 2 - VE 2 = VK 2 - VE 2 =

= (VK + VE )(VK - VE ) = EK " PK.

Пусть теперь D - центр окружности KLM. Так как - KDP = - IKE, то треугольники KDP и EKI подобны. Отсюда

DK " IE = EK " PK.

Итак, IE 2 = EK " PK = DK " IE, значит, IE = DK. Требуемое утверждение доказано.

Любители геометрии, наверное, заметили тесную связь этой задачи со знаменитой теоремой Виктора Тебо (Victor Tebault):

Для произвольной точки P на стороне AB треугольника ABC прямая, соединяющая центры окружностей, вписанных в криволинейные треугольники ACP (отрезки AP, PC и дуга CA описанной окружности) и BCP (отрезки BP, PC и дуга BC) проходят через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Попробуйте доказать эту теорему, используя первую часть приведенного решения.

ЗАДАЧА 1

Решите в целых числах уравнение xy =1997(x + y).

Переписав уравнение в виде

(x - 1997)(y - 1997) = 19972

и воспользовавшись тем, что 1997 - простое число, получаем 6 возможных вариантов:

(1997 - x; 1997 - y) = (1; 19972); (-1; -19972);

(1997; 1997); (-1997; -1997);

(19972; 1); (-19972; -1).

Ответ: (x ; y) = (1996; - 3 986 012), (1998; 3 990 006),

(0; 0), (3994; 3994), (- 3 986 012; 1996),

(3 990 006; 1998).

ЗАДАЧА 2

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

(y 3 - arcsin x)(x3 + arcsin y) $ 0.

Эту задачу можно решить совсем без чертежа. Положим

f (x, y) = (y 3 - arcsin x)(x 3 + arcsin y).

Областью определения f (x, y) служит квадрат К = {(x, y)| x | # 1, | y | # 1}. Пусть фигура К(-) задается неравенством f (x, y) < 0, фигура К(+) - неравенством f (x, y) > 0, а фигура К(0) - уравнением f (x, y) = 0. Площадь К(0) равна нулю, а фигуры К(-) и К(+) переходят друг в друга при повороте на 90? относительно начала координат (при таком повороте точка (x, y) переходит в (- y, x), и функция f (x, y) меняет знак). Значит, площади К(-) и К(+) равны половине площади квадрата К.

Ответ: 2.

ЗАДАЧА 3

Решите неравенство

Левая часть неравенства определена при x = 2 и x k [0; 1]. В точке x = 2 неравенство верно. Докажем, что на отрезке [0; 1] решений нет. Для этого возведем обе части в квадрат и приведем неравенство к виду x2(1 - x) < -1. Последнее неравенство не выполняется при x k [0; 1].

Ответ: x = 2.

ЗАДАЧА 4

В левом нижнем углу шахматной доски 8 i 8 стоит король. Он может ходить на одну клетку либо вправо, либо вверх или по диагонали - вправо и вверх. Сколькими путями король может пройти в правый верхний угол доски, если его маршрут не должен содержать клетки, расположенные по разные стороны от диагонали, идущей из левого нижнего в правый верхний угол доски?

Диагональ, идущую от левого нижнего к правому верхнему углу доски, назовем главной. Найдем сначала количество маршрутов короля, не содержащих клеток выше главной диагонали. Для этого построим таблицу 8 i 8. В каждой ее клетке напишем число, равное количеству допустимых путей из левого нижнего угла до этой клетки. Выше главной диагонали будут стоять нули, в последней строке - единицы. В каждой из остальных клеток будет написано число, равное сумме чисел в трех соседних клетках - снизу, слева и по диагонали слева снизу. Постепенно заполним таблицу, начиная с левого нижнего угла (рис. 1).

Итак, у короля есть ровно 8558 маршрутов из левого нижнего угла в правый верхний, проходящих не выше главной диагонали. Из соображений симметрии следует, что столько же маршрутов проходит не ниже главной диагонали. Эти два множества путей имеют ровно один общий элемент - маршрут по главной диагонали. Значит, всего будет

8558 " 2 - 1 = 17 115 путей.

Рис. 1

Ответ: 17 115.

ЗАДАЧА 5

Стороны параллелограмма служат диагоналями четырех квадратов. Вершины квадратов, лежащие во внешней по отношению к параллелограмму части плоскости (выходящие из этих вершин стороны квадратов не имеют общих точек с параллелограммом), служат вершинами четырехугольника площади а, четыре противоположных им вершины образуют четырехугольник площади b. Найдите площадь параллелограмма.

Докажем, что оба четырехугольника, о которых идет речь в задаче, являются квадратами. В обозначениях рис. 15 треугольник M2BM1 переходит в M2CM3 при повороте вокруг вершины M2 на 90?.

Рис. 1

Следовательно, отрезки M2M1 и M2M3 равны и перпендикулярны. Рассуждая так же по отношению ко всем парам соседних сторон четырехугольника M1M2M3M4 , доказываем, что он является квадратом. С четырехугольником N1N2N3N4 поступаем аналогично. Пусть стороны параллелограмма ABCD равны x и y, а его угол (например, угол ABC ) равен a. Применяя теорему косинусов к треугольникам M1BM2 и N1BN2 , получим:

Вычтем второе равенство из первого:

Ответ: .

ЗАДАЧА 6

На плоскости отмечено 6 точек. Найдите наибольшее возможное число остроугольных треугольников с вершинами в отмеченных точках.

Для решения докажем три вспомогательных утверждения.

Утверждение 1. Если на плоскости отметить 4 точки, то существует не более трех остроугольных треугольников с вершинами в отмеченных точках.

Утверждение 2. Для 5 точек плоскости количество остроугольных треугольников с вершинами в отмеченных точках не более 7.

Утверждение 3. Для 6 точек плоскости количество остроугольных треугольников с вершинами в отмеченных точках не более 14.

Условимся считать, что три точки, лежащие на одной прямой, образуют неостроугольный треугольник. Такое соглашение удобно, поскольку позволяет жестко определить количество треугольников (включая вырожденные) для 4, 5 и 6 точек плоскости, не оговаривая отдельно случаи, когда есть тройки точек, лежащих на одной прямой. В рамках этого соглашения общее количество треугольников будем считать равным = 4 для 4 точек, = 10 для 5 точек и = 20 для 6 точек.

Доказательство утверждения 1. Возможны два случая расположения четырех точек на плоскости.

1. 4 точки - вершины выпуклого четырехугольника. Один из углов такого четырехугольника не меньше 90?, поэтому существует неостроугольный треугольник с вершинами в данных точках; количество остроугольных треугольников не превышает 4 - 1 = 3.

2. Одна из точек (назовем ее A ) лежит внутри треугольника с вершинами в трех остальных точках.

Сумма трех углов, под которыми стороны указанного треугольника видны из точки A, равна 360?, следовательно, найдется угол с вершиной A величиной не менее 90?, то есть найдется неостроугольный треугольник с вершинами в отмеченных точках, а количество остроугольных треугольников не превысит трех.

ЗАМЕЧАНИЕ. Случай расположения трех точек на одной прямой подходит под любой из рассмотренных вариантов.

Доказательство утверждения 2. Пусть имеются 5 точек: A, B, C, D и E. Рассмотрим 5 четверок:

ABCD, ABCE, ABDE, ACDE и BCDE.

В каждой четверке точек есть по крайней мере один неостроугольный треугольник (У.1). Любой набор из трех различных точек присутствует ровно в двух из пяти указанных четверок. Следовательно, необходимо существование по крайней мере трех неостроугольных треугольников, так, чтобы в каждой из пяти четверок неостроугольный треугольник нашелся.

Таким образом, количество остроугольных треугольников не больше, чем 10 - 3 = 7.

Доказательство утверждения 3. Пусть имеется 6 точек: A, B, C, D, E и F. Рассмотрим 6 пятерок:

ABCDE, ABCDF, ABCEF, ABDEF, ACDEF, BCDEF.

Для каждой пятерки найдется три тройки точек, составляющих неостроугольный треугольник. Для шести пятерок количество троек точек, составляющих неостроугольный треугольник, не меньше 6 " 3 = 18.

Любой набор из трех точек содержится ровно в трех из шести пятерок, то есть каждый из посчитанных неостроугольных треугольников встретится три раза, поэтому количество различных неостроугольных треугольников с вершинами в шести точках не меньше, чем 18 : 3 = 6. Количество остроугольных треугольников не превосходит 20 - 6 = 14.

Приведем пример, когда существует ровно 14 остроугольных треугольников с вершинами в точках из числа шести отмеченных (рис. 1).

Возьмем три узких полоски П1 , П2 и П3 одинаковой ширины, склеим их под углом 60? одна к другой. На границах ромбов, образованных попарным пересечением полосок, выберем точки A и B, C и D, E и F, как показано на рис. 1 (AB, CD и EF перпендикулярны

Рис. 1

границам соответствующих полосок). Остроугольными будут треугольники

ABC, ABD ; CDE, CDF ;

EFA, EFB ; ACE, ACF ;

BCE, BCF ; ADE, ADF ;

BDE, BDF.

Их 14.

ЗАДАЧА 7

На прямой l расположены точки A, B, C и D, следующие в указанном порядке: AB = a, BC = b, CD = c. Отрезки AD и BC служат хордами двух окружностей, при этом сумма угловых величин дуг этих окружностей, расположенных по одну сторону от l, равна 360?. Через A и B проходит третья окружность, пересекающая первые две в точках K и М. Прямая KМ пересекает l в точке E. Найдите AE.

Докажем, что точки K, M, C, D лежат на одной окружности. Пусть a - угловая мера дуги AD, лежащей в верхней полуплоскости (рис. 1), тогда 360? - a - угловая мера дуги BC в той же полуплоскости. Из треугольника BMC :

Рис. 1

Четырехугольник AKMB вписанный, поэтому - MBC = - AKM, тогда

Итак, углы MCB и MKD равны, следовательно, четырехугольник KMCD - вписанный.

Теперь воспользуемся теоремой о равенстве произведений отрезков секущих:

EB " EA = EM " EK = EC " ED.

Обозначив EC = x, получим

(a + b - x)(b - x) = x(c + x),

откуда

Ответ:

ЗАДАЧА 8

Вычислите число (после запятой следует 100 четверок) с точностью до:

а) 10-100,

б) 10- 200.

а) Обозначим через a подкоренное выражение, a = 5,4_4. Число 0,44_ (бесконечная дробь) равно . Это можно доказать, найдя сумму бесконечной геометрической прогрессии, или воспользовавшись равенством 0,11_ = Следовательно, 0,44_4 (100 четверок) равно Поэтому Ясно, что это число приближенно равно

Оценим разность Для этого умножим и разделим ее на сопряженное число Получим

Итак, число с точностью 10-100 равно

б) Мы доказали, что где

Подставив в знаменатель этой дроби имеем

Оценим последнее слагаемое. Так как a < 10-100 и, кроме того, то

Итак, с точностью 10- 200.

Ответ: а) ; б)

ЗАДАЧА 9

Разрежьте пирамиду ABCD на 8 равных между собой и подобных данной пирамид, если: а) AB = BC = CD, c - ABC = = - BCD = 90?, двугранный угол при ребре BC прямой; б) все плоские углы при вершине B прямые и AB = BC = BD.

Примечание. Существуют ли треугольные пирамиды другого вида, которые можно разрезать на какое-то число подобных исходной пирамид (их число не обязательно равно 8 и пирамиды не обязательно равны между собой), в настоящее время неизвестно.

а) Будем считать, что AB = 1. Обозначим середины ребер пирамиды через M, K, N, L, P, S (рис. 1, а). Докажем, что 8 пирамид:

AMKN, PLBM, SCLK, DSPN,

SPLK, SPNK, MKNP, MKLP,

составляющих пирамиду ABCD, равны между собой.

Во-первых, пирамида AMKN гомотетична исходной относительно вершины A с коэффициентом Аналогично, пирамиды PLBM, SCLK, PDSN подобны ABCD с тем же коэффициентом. Далее, четырехугольник LKNP - квадрат со стороной причем его плоскость перпендикулярна BC. Следовательно, MK = KN = NP = Значит, пирамида MKNP также подобна ABCD с коэффициентом Точно так же поступаем с оставшимися пирамидами SPLK, SPNK, MKLP.

б) Будем считать, что BA = BC = BD = 1. Обозначим середины ребер через M, K, N, L, P, S, а O - середину отрезка NS (рис. 1, б ). Тогда пирамиды

MAKN, PSND, LKCS, MKBN,

PSNB, LKBS, OBKS, OBKN

составляют нужное разрезание. В самом деле, пирамиды MAKN, PSND и LKCS подобны ABCD с коэффициентом Кроме того MKBN = MAKN, PSNB = = PSND, LKBS = LKCS. Далее, по теореме Пифагора находим SO = OB = OK = Следовательно, пирамиды OBKS и OBKN также подобны ABCD с коэффициентом подобия

Примечание. В условии этой задачи мы отмечали, что в настоящее время известны только две треугольные пирамиды, которые могут быть разрезаны на восемь равных между собой треугольных пирамид. Оказывается, что это не так. Существует еще и третья! А устроена она очень просто: два ее противоположных ребра равны 2, четыре других ребра равны Вы можете убедиться самостоятельно, что эта пирамида разбивается на восемь равных треугольных пирамид, причем делается это легче, чем в данной задаче. Как это часто бывает, упущенным оказался самый простой случай!

Рис. 1

ЗАДАЧА 10.

Пусть an = p /2n, где n - натуральное число. Докажите, что для любого k = 1, 2, _, n имеет место равенство

Положим

для k = 0, 1, _, n. Мы должны доказать, что f (k, n) = = kn. Определим функцию g(k ; n) = f (k + 1; n) - f (k ; n) для k = 0, _, n - 1. Имеем

Вычислим теперь разность g(k + 1; n) - g(k; n) для k = 0, _, n - 2:

Последняя сумма равна нулю. В самом деле, полагая получим

так как sin 2nx = sin p(k + 1) = 0.

Итак, g(k + 1; n) - g(k ; n) = 0 для всех k = 0, _, n - 2.

Значит, при фиксированном n функция g(k ; n) постоянна, то есть не зависит от k. Поэтому

g(k) = g(n - 1; n)

для любого k = 0, _, n - 1. Находим

Итак, g(k ; n) = n для всех k = 0, _, n - 1.

Поэтому

f (k ; n) = (f (k ; n) - f (k - 1; n)) + (f (k - 1; n) -

- f (k - 2; n)) + _ + (f (1; n) - f (0; n) + f (0; n)) =

= g(k - 1; n) + _ + g(0; n) + f (0; n) =

= kn + f (0; n) = kn,

так как f (0; n), очевидно, равно нулю.

Материалы подготовили

А. Шень, В. Ященко, И. Ященко (VI-VIII классы);

В. Протасов, И. Шарыгин (IX-XI классы).