Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Рассмотрены резонансные явления в однородных изотропных упругих телах, возникающие при движении источника возмущений по поверхности (нагрузок, штампов) или внутри тела (трещин) со скоростями, близкими кскоростям поверхностных волн. Описана качественная модель указанных резонансных явлений и обсуждается их прикладное значение.

И РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В УПРУГИХ ТЕЛАХ

Р. В. ГОЛЬДШТЕЙН

Российский государственный авиационный технологический университет им. К.Э. Циолковского, Москва

ВВЕДЕНИЕ

В повседневной жизни мы постоянно встречаемся с различными проявлениями волновых явлений, подчас не осознавая этого. Пролетает самолет, и вдруг вы слышите резкий хлопок. Вы бросаете камушек в весенний ручеек и видите, как тут же образуются отходящие от него линии (поверхности), которые препятствуют плавному течению воды. При всем внешнем различии этих примеров в их основе лежит один и тот же механический эффект. Хлопок сопровождает преодоление самолетом звукового барьера: скорость самолета становится больше скорости распространения звука в воздухе, равной ~ 330 м/с. В ручейке (на мелкой воде) скорость звука существенно меньше ~ 1 м/с. Линии, возникшие возле камушка, отражают тот факт, что течение вблизи него происходит со сверхзвуковой скоростью. Поэтому сами эти линии называют звуковыми линиями. Аналогичные звуковые поверхности (ударные волны) возникают и в воздухе вблизи носовой оконечности самолета, только для их визуализации нужна специальная аппаратура.

Звуковые волны, о которых шла речь, представляют собой объемные волны, распространяющиеся в однородной изотропной среде по всем направлениям с одинаковой скоростью. Интенсивность их затухания по мере удаления от источника также не зависит от направления.

Наряду с объемными волнами в сплошных средах при наличии протяженных границ могут существовать волны, локализованные вблизи границ как волноводов. Таковы, в частности, поверхностные волны в жидкости и упругой среде, открытые известным английским физиком Рэлеем (Rayleigh) в 90-х годах прошлого века. В идеальном случае волны Рэлея представляют собой волны, распространяющиеся вдоль границы полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком приповерхностном слое. Именно это свойство поверхностных волн приводит к резонансным явлениям, сопровождающим движение вдоль поверхности источников возмущений со скоростями, близкими к скорости поверхностных волн. Мы рассмотрим эти резонансные явления применительно к упругим телам.

Упругая среда интересна еще и тем, что резонансные эффекты в ней проявляются и тогда, когда изначально там не было свободных поверхностей, а затем они появились, например в результате возникновения и развития трещин.

ВОЛНЫ РЭЛЕЯ. РЕЗОНАНСЫ В ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

Поверхностные волны Рэлея

Рассмотрим однородную изотропную упругую среду. Прежде всего напомним, что в такой среде существуют два типа объемных волн: продольные волны, в которых смещение частиц происходит в направлении распространения волны, и поперечные, в которых частицы претерпевают смещение в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные и поперечные волны представляют собой решения дифференциальных уравнений движения (деформирования) неограниченной упругой среды при отсутствии каких бы то ни было источников возмущений упругой среды. Можно сказать, что продольные и поперечные волны - это объемные собственные колебания. Обозначим символами с1 , с2 скорости распространения продольных и поперечных волн соответственно. Можно показать, что скорости с1 , с2 следующим образом выражаются через упругие постоянные материала Е - модуль Юнга, n - коэффициент Пуассона и его плотность r:

Из формулы (1), в частности, видно, что

Отсюда следует неравенство

поскольку коэффициент Пуассона n для различных упругих материалов заключен в пределах от 0 до 1/2.

Теперь рассмотрим упругую среду, имеющую одну границу - плоскость y = 0 и занимающую полупространство y # 0. Предположим, что поверхность полупространства свободна от нагрузок и отсутствуют источники возмущений внутри его и на бесконечности. Пользуясь принятыми в теории упругости обозначениями, граничные условия на поверхности полупространства можно записать в виде

syy = 0, sxy = 0, szy = 0, y = 0,

где syy , sxy , szy - компоненты нормальных и касательных напряжений на граничной площадке с нормалью, направленной вдоль оси y .

Оказывается, что уравнения движения упругого тела при однородных граничных условиях (2) имеют решение, которое не зависит от одной из координат, z, и представляет собой волну, распространяющуюся в направлении оси х и экспоненциально затухающую в глубь полупространства (в направлении оси у). Вектор смещений точек полупространства u = (ux , uy) в этой волне имеет вид

u = u0e - ay + ib(x - ct), .

Скорость волны удовлетворяет уравнению

R(c) = 0,

где

и m1 = c / c1 , m2 = c / c2 . Функция R(c) называется функцией Рэлея, а сама волна (3) - поверхностной волной Рэлея.

Анализ трансцендентного уравнения (4) показывает, что оно имеет корень cR при любых комбинациях упругих постоянных. Этот корень можно записать в форме cR = ac2 , где a всегда меньше 1 (точнее, a заключено в пределах от 0,86 до 0,96). Волны Рэлея - это собственные колебания упругого полупространства, поскольку они представляют собой однородные решения уравнений движения (то есть ненулевые решения при нулевых граничных условиях).

Движение нагрузки по границе полупространства

В предыдущем разделе граница упругого полупространства считалась свободной от нагрузок (см. граничные условия (2)). Предположим теперь, что по поверхности полупространства перемещается нагрузка. Мы рассмотрим два варианта движения нагрузки.

1. В момент времени t = 0 к участку x # 0 границы у = 0 прикладывается нормальная сжимающая, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q, которая начинает перемещаться с постоянной скоростью V в положительном направлении оси х. Граничные условия имеют вид

syy = - qH(Vt - x), sxy = 0, szy = 0 при y = 0.

Здесь H(u) - функция Хевисайда, описывающая скачок какой-либо величины и равная единице при u $ 0 и нулю при u < 0. Таким образом, речь идет о нестационарной задаче о равномерном движении нагрузки по невозмущенному полупространству (то есть начальные условия нулевые).

2. В качестве второго варианта движения нагрузки рассмотрим предельный случай первого. Пусть с момента приложения нагрузки (6) и начала ее движения прошло много времени. Кажется очевидным, что по мере увеличения промежутка времени с момента приложения нагрузки влияние начальной стадии процесса ее движения постепенно будет исчезать. В пределе при t ? для наблюдателя, движущегося с передним фронтом нагрузки со скоростью V, картина будет оставаться неизменной. Этот предельный случай отвечает так называемой стационарной задаче о движении нагрузки. Если ввести подвижную систему координат

x = x' + Vt, y' = y, z' = z,

связанную с передним краем движущейся нагрузки, то граничные условия стационарной задачи примут вид

syy = - qH(- x'), sxy = 0, szy = 0 при y = 0.

Заметим, что в стационарной задаче в уравнениях движения производные по времени заменяются производными по координате

Мы не имеем возможности здесь строить решения сформулированных динамических задач теории упругости. Для наших целей достаточно привести решения и выполнить их анализ. Начнем со стационарной задачи, поскольку ее решение сразу демонстрирует особую роль рэлеевской скорости cR .

Оказывается, что компоненты напряжений в любой точке полупространства в стационарной задаче могут быть представлены в виде

где , индексы i, j могут быть равны x, y, z независимо, а R(V ) - введенная ранее функция Рэлея (5).

Если скорость стационарного движения нагрузки совпадает с рэлеевской V = cR , то функция R(V ) обращается в нуль: R(cR) = 0. Формулы (8) показывают, что в этом случае напряжения в любой точке полупространства становятся бесконечными. Можно показать, что то же самое имеет место и для смещений точек полупространства. Таким образом, при движении нагрузки с рэлеевской скоростью стационарное распределение напряжений и смещений в среде невозможно.

Далее, стационарное решение имеет еще одно необычное свойство вблизи рэлеевской скорости. Дело в том, что функция R(V ) меняет знак при переходе через рэлеевскую скорость, то есть sign R(cR - 0) = = - sign R(cR + 0). Следовательно, при переходе через рэлеевскую скорость в стационарном решении меняются во всех точках полупространства знаки напряжений и смещений. В частности, это означает, что если при дорэлеевской скорости V < cR поверхность полупространства прогибалась при x' < 0 под действием приложенной нагрузки, то на сверхрэлеевских скоростях cR < V < c2 (заметим, что, рассматривая движение со сверхрэлеевской скоростью, мы будем считать, что скорость V меньше скорости поперечных волн c2) картина обратная и поверхность выпучивается под нагрузкой.

Для того чтобы разобраться в том, что означают несуществование решения стационарной задачи при V = cR и смена знака напряжений и смещений в стационарном решении при переходе через рэлеевскую скорость, рассмотрим процесс установления стационарного решения в нестационарной задаче, отвечающей распределению нагрузки (6), приложенной в момент времени t = 0.

Как формируется стационарное решение, можно понять, если в решении нестационарной задачи проследить за изменением распределения напряжений в произвольной фиксированной области, перемещающейся вместе с передним краем нагрузки. Для этого нужно перейти в подвижную систему координат, использованную выше, x', y', z' (x = x' + Vt, y' = y, z' = z) и затем рассмотреть поведение напряжений в произвольной точке, неподвижной относительно переднего края нагрузки (то есть при фиксированных x', y', z') при больших временах t.

Анализ показывает, что когда скорость движения нагрузки не равна рэлеевской V ? cR , то напряжения в нестационарном решении в окрестности переднего края нагрузки стремятся с течением времени к конечному пределу, совпадающему со стационарным решением (см. (8)).

Если же нагрузка движется с рэлеевской скоростью V = cR , то асимптотика напряжений при больших временах имеет вид

si j ~ qji j(x', y', cR , c1 , c2)t + O(1),

где, как обычно, O(1) означает конечную часть предельной функции. Из формулы (9) видно, что напряжения в любой фиксированной окрестности переднего края нагрузки, движущейся с рэлеевской скоростью, нарастают асимптотически пропорционально времени. Следовательно, движение в окрестности края нагрузки никогда не станет установившимся, что и отражает факт несуществования стационарного решения при рэлеевской скорости перемещения нагрузки.

Нарастание напряжений при движении нагрузки с рэлеевской скоростью объясняется тем, что в этом случае поверхностные волны, возникающие у переднего края нагрузки в различные моменты времени и распространяющиеся в направлении ее движения, имеют общий фронт, который перемещается вместе с передним краем нагрузки. Таким образом, в окрестности переднего края нагрузки происходит наложение поверхностных волн в одинаковой фазе. Энергия, переносимая поверхностными волнами, запасается в окрестности края нагрузки, что и приводит к росту напряжений.

Ситуация здесь аналогична резонансу в обычной колебательной системе с одной степенью свободы. Нарастание амплитуды напряжений пропорционально времени связано с совпадением скорости движения источника возмущений со скоростью распространения собственных волн упругого полупространства, каковыми, как отмечалось выше, и являются поверхностные волны Рэлея.

Заметим, что изменение знака смещений при переходе через резонансную рэлеевскую скорость в стационарном решении также аналогично поведению колебательной системы с одной степенью свободы, где наблюдается сдвиг фазы колебаний на 180? по отношению к фазе возмущающей силы при переходе через резонансную частоту. Асимптотический анализ смещений в решении нестационарной задачи при больших временах позволяет объяснить парадоксальное на первый взгляд выпучивание границы полупространства под сжимающей нагрузкой, движущейся со сверхрэлеевской скоростью. Качественно дело здесь в следующем. При сверхрэлеевской скорости движения нагрузки ее передний край догоняет вызванное им же в предыдущий момент поднятие поверхности впереди нагрузки.

Заметим, что резонансные явления описанного типа имеют место и при иных видах источников, движущихся со скоростями, близкими к рэлеевской. В частности, сходная картина отвечает движению по границе полупространства жесткого (недеформируемого) штампа. Отличие задачи о штампе от задачи о движущейся нагрузке в том, что в случае штампа на поверхности полупространства задаются смещения под штампом, а вне штампа поверхность считается свободной от нагрузок. Отыскиваются же в результате решения задачи поля напряжений и смещений внутри полупространства, а также распределение контактных давлений под штампом и смещения поверхности вне его. Структура решения стационарной задачи о штампе такая же, как и задачи о нагрузке. Наличие в формулах для компонент напряжений и смещений множителя 1/ R(V ) приводит к тому, что при V = cR стационарное решение задачи о штампе перестает существовать.

Распространение трещины в упругой среде

Скорость поверхностных волн Рэлея оказывается критической и в тех ситуациях, когда свободная поверхность возникает в упругом теле в процессе его динамического разрушения.

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о распространении трещины. Пусть в упругой плоскости (пластине) xOy под действием приложенных симметрично относительно оси х растягивающих нагрузок вдоль некоторого участка оси х возникает разрыв смещений в направлении оси у. В таком случае говорят о возникновении трещины нормального разрыва. Предположим далее, что трещина начинает динамически расти с постоянной скоростью V < c2 . Если начальную длину трещины обозначить 2l0 , то в момент времени t ее длина станет равной 2l(t ) = 2l0 + 2Vt. Как и в случае движения нагрузки, здесь также можно рассмотреть стационарную задачу, если перейти в систему координат, движущуюся вместе с одним из концов трещины, и следить за полем напряжений и смещений, которое установится в фиксированной относительно этого конца области плоскости с течением времени (в пределе при t ?). Заметим, что при таком предельном переходе мы получим плоскость с трещиной по полуоси х (полубесконечной трещиной), конец которой перемещается с постоянной скоростью.

Естественно считать, как это и делается в теории трещин хрупкого разрушения, что для образования единицы площади новой поверхности трещины необходима определенная энергия (называемая поверхностной). Эта энергия поступает в конец трещины, точнее, в малую его окрестность на продолжении трещины за счет изменения при продвижении трещины запасенной в упругой среде при деформации потенциальной энергии.

Если решить стационарную задачу о движении трещины и по этому решению подсчитать изменение G потенциальной энергии плоскости при изменении площади трещины на единицу, то окажется, что величина G зависит от скорости трещины и может быть представлена в форме

здесь через P обозначена интенсивность растягивающих нагрузок.

Анализ показывает, что при стремлении скорости роста трещины к рэлеевской V cR функция f конечна. Следовательно, поток энергии G в конец трещины неограниченно возрастает, так как R(V ) 0 при V cR . Далее при переходе через рэлеевскую скорость знак функции Рэлея R(V ) меняется при неизменном знаке функции f. В результате поток энергии в конец трещины также меняет знак и становится отрицательным. Иначе говоря, вместо притока энергии в конец трещины при дорэлеевских скоростях ее распространения на сверхрэлеевских скоростях энергия должна была бы излучаться из конца трещины. Если учесть, что поверхностная энергия материала положительна, то отсюда можно сделать вывод о невозможности распространения трещины со скоростями, большими рэлеевской скорости. Подчеркнем, что рэлеевская скорость оказывается теоретически предельной скоростью роста трещины в рамках принятой нами модели хрупкого разрушения упругого тела. К такому выводу из различных соображений пришли в 50-60-х годах Е. Yoffe, Г.И. Баренблатт, Г.П. Черепанов и J.W. Craggs. Реально в экспериментах предельная скорость свободного развития трещины меньше и составляет примерно 0,3-0,4 рэлеевской. При больших скоростях трещина начинает ветвиться. Мы не имеем возможности здесь обсуждать эти эффекты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы иллюстрировали в начале статьи волновые эффекты примерами перехода через скорость звука источника возмущений, движущегося относительно газа или жидкости. С математической точки зрения эти эффекты связаны с тем, что при переходе через скорость звука меняется тип дифференциальных уравнений, описывающих течение. Резонансные явления, сопровождающие переход через скорость рэлеевских волн, имеют иную природу. Они не связаны с изменением типа уравнений движения упругой среды, а обусловлены граничными условиями: наличием свободной поверхности и появлением в связи с этим нового типа собственных волн в среде - поверхностных волн.

Постановка задач о движении источников возмущений со сверхрэлеевской скоростью имеет свою специфику. Эффекты, которые проявляются, когда скорость источника возмущения заключена в диапазоне от скорости волн Рэлея до скорости поперечных волн, обсуждаются, например, в работах [1, 2]. Качественные особенности, связанные с изменением типа уравнений движения упругой среды, когда скорость источника возмущений становится больше скорости поперечных волн, исследованы, в частности, в работах [3, 4]. Эти эффекты могут служить предметом отдельной статьи.

При изложении материала мы в основном опирались на работы [5-8, 2]. Подробно исследование режимов перехода через рэлеевскую скорость неравномерно движущейся нагрузкой и сопутствующих резонансных эффектов описано в работе [8]. В зависимости от типа упругой системы закон нарастания напряжений со временем при переходе через соответствующие критические скорости меняется. Например, в полуплоскости скорость нарастания напряжений существенно выше, чем в балке, лежащей на упругом основании [8, 9]. Заметим, что изучение резонансных режимов имеет практическое значение при динамических расчетах на воздействие подвижных нагрузок таких объектов, как железнодорожные пути, туннели, мосты. Понимание природы резонансных эффектов важно и при разработке разнообразных гасителей колебаний. В этой связи отметим, что при движении нагрузок в сплошной среде наряду с резонансом может наступать и антирезонанс [6], когда генерируемые нагрузкой волны, взаимодействуя между собой, создают волну, компенсирующую действие нагрузки. В частности, в [6] такие режимы антирезонанса описаны для случая движения нагрузки по поверхности идеальной сжимаемой жидкости. Оказывается, что во многих случаях может происходить локализация колебаний в некоторой области около сосредоточенной массы, присоединенной к длинному волноводу (например, балке или пластине, лежащих на упругом основании). Поучительным примером такого рода служит локализация колебаний струны в сопротивляющейся среде при наличии на струне неоднородности в виде сосредоточенной массы [10].

Наконец отметим, что резонансные явления описанного вида имеют место и в кусочно-однородных упругих, например склеенных, телах. В частности, это относится к случаям роста трещин по границе соединения двух упругих материалов с различными упругими свойствами, когда есть несколько критических скоростей, совпадающих со скоростями поверхностных волн, которые могут распространяться вдоль границ соединения материалов при различных условиях их контакта [11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Barenblatt G.I., Goldstein R.V. Wedging of an Elastic Body by a Wedge with a Constant Super-Rayleigh Subsonic Velocity // Intern. J. Fract. Mech. 1972. V. 8. ╧ 4. P. 427-434.

2. Georgiadis H.G., Barber J.R. On the Super-Rayleigh/Subseismic Elastodynamic Indentation Problem // J. Elast. 1993. V. 31. ╧ 3. P. 141-161.

3. Симонов И.В. О поведении решений динамических задач в окрестности края разреза, движущегося с трансзвуковой скоростью в упругой среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983. ╧ 2. С. 109-116.

4. Симонов И.В. Трансзвуковое обтекание тонкого твердого тела упругой средой // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. В. 1. С. 114-122.

5. Гольдштейн Р.В. Волны Рэлея и резонансные явления в упругих телах // Там же. 1965. Т. 29. ╧ 3. С. 516-525.

6. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 376 с.

7. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. 296 с.

8. Каплунов Ю.Д. Нестационарная динамика упругой полуплоскости при действии подвижной нагрузки. М., 1986. 54 с. Препр. / Ин-т проблем механики АН СССР; ╧ 277.

9. Каплунов Ю.Д., Муравский Г.Б. Действие равнопеременно движущейся силы на балку Тимошенко, лежащую на упругом основании. Переходы через критические скорости // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51. В. 3. С. 475-482.

10. Kaplunov Yu.D., Sorokin S.V. A Simple Example of a Trapped Mode in an Unbounded Waveguide // J. Acoust. Soc. Amer. 1995. V. 97. ╧ 6.

11. Гольдштейн Р.В. О поверхностных волнах в соединенных упругих материалах и их связи с распространением трещин по линии соединения // Прикл. математика и механика. 1967. Т. 31. В. 3. С. 468-475.

* * *

Роберт Вениаминович Гольдштейн, доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики и теоретической механики Российского государственного авиационного технологического университета им. К.Э. Циолковского, зав. лабораторией механики прочности и разрушения материалов и конструкций Института проблем механики РАН. Область научных интересов: механика, прикладная математика. Почетный член Международного конгресса по разрушению, член Международного общества по взаимодействию математики и механики и Германского общества по прикладной математике и механике, член редколлегий двух международных журналов по механике разрушения. Автор более 180 статей и монографии, переведенной на английский язык и изданной в Англии.