Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Обсуждаются проблемы финансовой и актуарной математики - математический анализ финансового риска. Приводятся примеры из страховой практики.

С. И. СПИВАК

Башкирский государственный университет, Уфа

Ничем не рискуя, ничего не заработаешь.

(Английская пословица)

В последние годы в нашей стране значительные изменения произошли в сфере приложений математики. Если раньше развитие прикладной математики в решающей степени стимулировало задачи естественных наук и связанных с ними отраслей промышленности (что в значительной степени явно или неявно определялось военно-промышленным комплексом), то сегодня трудности в этих областях заставили математиков активно искать новые сферы приложения своих знаний.

Социально-экономические причины перенесли интересы, во всяком случае специалистов по прикладной математике, на новые области, которые практически не были известны в нашей стране до начала 90-х годов. Активное развитие банковской, страховой, инвестиционной деятельности поставило необходимость привлечения в эти области специалистов совершенно нового для нашей страны типа. Одной из новых для нашей страны областей оказалась финансовая математика.

Первая компания по страхованию жизни, действующая на научных принципах, была организована в Лондоне в 1762 году (Справедливое Общество Страхования Жизни). Секретарю этой компании, который регистрировал собрания руководства, а также выписывал полисы страхователям, было дано название актуарий (англ. actuary, лат. actuarius - скорописец, счетовод). В 1775 году на этот пост был назначен математик. Он был ответствен за вычисление приемлемых ставок страховых взносов и обеспечивал надежность финансовых операций компании. С тех пор название актуарий стало все шире употребляться для тех, кто выполнял эту финансовую и математическую работу.

Область математики, которая занимается математическими проблемами финансов, называется актуарная математика. Процитируем Правительственного Актуария Великобритании К. Дэйкина [1]:

Актуарий - это человек, который обладает определенной квалификацией для оценки рисков и вероятностей и который применяет свои умения к проблемам бизнеса и финансов, особенно к таким областям деятельности, как страхование и демография, связанных со случайными событиями.

Из этого определения ясно, что актуарий должен сочетать в себе достаточно серьезную математическую квалификацию с квалификацией в области бизнеса - экономической и юридической. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами актуарная математика образует актуарную науку, которая, в свою очередь, является теоретической основой актуарной деятельности. Актуарий на Западе сегодня - это профессия, специалистов по которой готовят на факультетах прикладной математики университетов.

В современном понимании актуарий - это эксперт в математике страхования [2, 3]. При этом страхование (и соответствующая ему математика) не сводится только к страхованию жизни и имущества. Страхование понимается в более широком смысле, а именно, как страхование финансового риска в самом широком смысле, что включает, например, игру на рынке ценных бумаг .

Актуариев сегодня часто называют социальными математиками, так как они играют ключевую роль в определении стратегии и политики не только страховых компаний, но и пенсионных и других фондов; правительственные актуарии ответственны за вопросы национального страхования, государственных пенсионных и других схем.

Актуарии традиционно играли главную роль в страховании жизни [4]. Комбинирование моделируемой смертности и вероятностей выживания с пониманием математики финансов было сердцевиной раннего развития данной профессии.

Первые научные работы по страхованию связаны с именами Э. Галлея (тот самый, имя которого носит комета Галлея) и Де Муавра (достаточно известный ученый в области теории вероятностей): первый из них в 1693 году составил первые таблицы смертности и связал с ними величины пожизненных рент, второй рассмотрел проблему страховых взносов при страховании жизни.

Внедрение вероятностной идеологии в страхование основано на законе больших чисел, центральной предельной теореме, теории процессов типа пуассоновского, иначе говоря, на сведениях, которые есть во всех классических курсах теории вероятностей и математической статистики.

Рассмотрим некоторые схемы страхования и проведем их математический анализ [5].

Простейший вид страхования жизни заключается в следующем. Человек платит страховой компании p рублей (эта сумма называется страховой премией), а компания соглашается выплатить наследникам застрахованного b рублей в случае его смерти в течение года (и не платит ничего, если этот человек не умрет в течение года). Величина страховой выплаты, конечно, много больше, чем страховая премия: b @ p, и нахождение "правильного" соотношения между ними - одна из важнейших задач актуарной математики.

Купив за p рублей страховой полис, застрахованный избавил себя от риска финансовых потерь, связанных с неопределенностью момента смерти. Этот риск приняла на себя страховая компания. Для страховой компании риск, связанный с этим человеком, заключается в случайности иска, который может быть ей предъявлен: если застрахованный не умирает в течение года, то иск равен 0; если он умирает, то иск равен b.

Важнейшим обстоятельством, которое играет решающую роль в дальнейшем исследовании, является тот факт, что иск x является случайной величиной. Распределение x имеет вид

где P - вероятность, x - возраст застрахованного, а вероятности px и qx = 1 - px означают вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще по меньшей мере один год или умрет в течение ближайшего года соответственно.

В этом месте остановимся, ибо сталкиваемся с величинами, которые принципиально отражают структуру исходной информации. Откуда берутся вероятности того, что человек в заданном возрасте умрет или останется жить в течение года? Естественно, из анализа информации о возрасте наступления смерти в достаточно представительной выборке и на достаточно большом временнЧм периоде. А вот что такое достаточно представительная выборка - это уже вопрос специальный. Статистические свойства продолжительности жизни совершенно различны у жителя высокоразвитой страны Запада и жителя бедного африканского государства. Среди жителей одной страны существуют группы людей с разными характеристиками продолжительности жизни. Они зависят от профессии, состояния здоровья в момент страхования и т.д.

Все эти данные суммируются в специальных таблицах смертности, или, в других терминах, - в таблицах продолжительности жизни. Ясно, что компания должна иметь спектр таблиц продолжительности жизни для различных групп населения. Составление таких таблиц, отслеживание динамики их изменения также было и остается одной из основных актуарных задач.

Отметим, что составление и анализ таблиц продолжительности жизни - отнюдь не простая задача. Первый правительственный актуарий Великобритании Джон Финлейсон сделался знаменитым благодаря этой деятельности. С 1812 по 1819 год он работал над утверждением фонда вдов и сирот для штатских служащих военно-морских сил Великобритании. Наиболее важным вкладом Финлейсона как актуария в общественную жизнь того времени является его работа по таблицам смертности (англичане употребляют только такую терминологию) для правительственных пожизненных рент. В 1819 году он указал на то, что существующие таблицы правительственных пожизненных рент были ошибочно описаны на завышенных данных о смертности, что способствовало получению дополнительной прибыли по страхованию жизни, но было вредно по отношению к продаже рент. Иными словами, Н.В. Гоголь в "Мертвых душах" описывал не только российскую действительность. Отличие состояло в том, что Финлейсон был актуарий и в этом качестве он провел актуарное исследование. Он провел детальные исследования по смертности людей, получающих ренту, и создал новые таблицы для ренты. Для этой цели он осуществил более глубокое исследование уровня смертности, основанное на записях с 1695 по 1789 год, и, кроме того, информацию относительно самих лиц, получающих ренту. Все это требовало огромного труда при отсутствии механических счетных приспособлений.

Введем новую случайную величину e = p - x, которая описывает "доход" компании от заключенного договора страхования. С вероятностью px компания имеет доход p рублей, а с вероятностью qx терпит убыток, равный b - p рублей.

Средний доход компании равен Ee = p - Ex = p - qx (где E означает математическое ожидание). Эта формула позволяет сделать простейшие выводы о величине страховой премии. Ясно, что средний доход компании должен быть неотрицателен, то есть p $ bqx . Минимально возможное значение p равно p0 = bqx . Оно соответствует нулевой средней прибыли компании и называется нетто-премией. На самом деле реальная плата за страховку должна быть больше нетто-премии, с тем чтобы гарантировать малую вероятность разорения компании.

Для страховой компании интерес представляет общая сумма выплат всем застрахованным. Если эта сумма S меньше или равна капиталу компании u, S # u, то компания успешно выполнит свои обязательства. Если же S > u, то компания не сможет оплатить все иски; в этом случае мы говорим о разорении компании. Таким образом, вероятность разорения компании - это P(S > u). Соответственно функция распределения суммарного риска P(S # u) - это вероятность неразорения. Расчет этих вероятностей представляет фундаментальный интерес для компании и служит основой для принятия важнейших решений.

Очевидно,

где N - общее число застрахованных, а x1 - индивидуальный иск от i-го человека. Мы предположили, что число N неслучайно (достаточно сильное сужение ситуации), а случайные величины x1, _, xN независимы. Поскольку суммарный риск представляет собой сумму независимых случайных величин, его распределение может быть подсчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей.

Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Собственно, это является одним из определяющих факторов для компании, и на страховом рынке идет достаточно жесткая конкурентная борьба за вкладчиков. Расчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае применение ЭВМ может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с тем, что при росте N величина P часто имеет определенный предел, который можно принять в качестве приближенного значения искомой вероятности. Мы рассмотрим два вида приближений для вероятности разорения: приближение Пуассона и нормальное (гауссовское) приближение.

Приближение Пуассона основано на следующей теореме:

Предположим, что индивидуальные иски xi независимы и принимают только значения 0 и 1 с вероятностями p и q соответственно. Допустим, что N ?, q 0, но Nq имеет конечный положительный предел

Nq l.

Тогда

Как распределение Пуассона, так и различные его характеристики рассчитаны для многих значений параметров, и полученные данные опубликованы в виде таблиц. Для приложений к страхованию особенно важны квантили. Квантиль уровня a - это наименьшее число xa такое, что P(h # xa ) $ a.

Рассмотрим пример. Пусть компания выплачивает сумму b = 1 в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Предположим, что на этих условиях в компании застраховано 3000 человек в возрасте x = 38 лет. Из некоторых таблиц смертности следует q38 = 0,002984 (из каждых 1000 человек, доживших до 38 лет, до 39 доживает примерно на 3 человека меньше). Тогда Nq © 9.

Зададимся каким-то уровнем, в пределах которого мы допускаем возможность разорения. Пусть этот уровень 5%, то есть мы хотим, чтобы вероятность разорения была не больше 5%. В соответствующих таблицах распределения Пуассона мы находим строчку, соответствующую l = 14 и P(h # x95%). Получаем x95% = 14. Это означает, что плата за страховку для каждого застрахованного должна быть 14 / N © 0,0047 (от величины страхового пособия). Если страховое пособие b = 250 000 рублей, то реальная плата за страховку составляет p = bx95% / N © © 1167 рублей. Нетто-премия, как следует из сказанного выше, равна p0 = Ex = bq38 = 750 рублей.

Разность p - p0 называется страховой надбавкой, или надбавкой за безопасность, а (p - p0)/ p0 называется относительной страховой надбавкой, или относительной надбавкой за безопасность и обозначается q.

В нашем примере q = 55,6%. Страховая надбавка обеспечивает защиту компании от разорения по причине случайных флуктуаций индивидуальных рисков вокруг их среднего значения p0 .

Общая формула для платы за страховку, таким образом, имеет вид

p = (1+ q)p0 .

Другим приближением, которое является значительно более общим, является приближение Гаусса. Гауссово приближение основано на центральной предельной теореме, в простейшей формулировке утверждающей следующее:

если случайные величины x1 , ..., xN независимы и одинаково распределены со средним a и дисперсией s 2, то при N ? функция распределения центрированной и нормированной суммы

имеет предел, равный

.

Если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы N имело порядок несколько десятков), а слагаемые не очень малы, то применимо гауссово приближение для

Вернемся к примеру. Используя известные в теории вероятностей формулы для математического ожидания и дисперсии, получим

ESN = N Ex = 3000 " 0,003 = 9,

VarSN = N Varx = 3000 " 0,003 " 0,997 © 9,

где Ф определено формулой (7).

Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была не более 5%, величина (u - 9)/3 должна быть равной x95% = 1,645 (из таблиц), то есть u = 3 " 1,645 + + 9 = 13,935. Соответственно, плата за одну страховку должна быть p = u / N © 0,004645, то есть в абсолютных величинах около 1161 рублей. Сравнивая эту сумму с суммой, полученной с помощью пуассоновского приближения (1167 рублей), мы видим, что различие незначительно (© 0,5%).

Однако гауссово приближение удобно тем, что позволяет получить для премии p аналитическую формулу, в которую явно входит нетто-премия. Например, если в компании застраховано N человек и для каждого из них иск имеет одно и то же среднее a (которое мы принимаем в качестве нетто-премии p0) и дисперсию s 2, то вероятность неразорения дается формулой

Если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была в пределах a, то

Соответственно относительная страховая надбавка

Столь подробный анализ конкретной задачи мы провели для того, чтобы хотя бы в малой степени показать, с какими проблемами сталкиваются математики, занимающиеся анализом страхования. Главный вопрос: как связаны между собой сумма, которую платит индивидуум, и сумма, которая возвращается ему в страховом случае? Чем рискует индивидуум и чем рискует компания, занимающаяся страхованием? И как сделать это риск разумным?

При этом еще есть орган, который стоит над компаниями. В разных странах эта структура называется по-разному. Например, в Великобритании это служба называется Службой Правительственного Актуария [1]. Одна из главных задач этой службы - выбор системы требований и условий, которым должна удовлетворять страховая компания с точки зрения минимизации вероятности ее разорения, в первую очередь по причине ее ответственности перед вкладчиками. В момент разорения МММ в нашей печати активно обсуждался вопрос, несет или нет какую-нибудь ответственность государство перед вкладчиками. Причем общественное мнение было отнюдь не на стороне вкладчиков: сами виноваты, поверили жуликам. Это абсолютно неправильная позиция. Государственные структуры, выдающие компаниям лицензии на право работы с ценными бумагами, должны выработать некоторую систему требований, а компания должна этим требованиям удовлетворять. Это нормальная актуарная работа. И если компания разорится, еще один актуарий (эксперт) должен дать ответ на вопрос, обоснованно или нет была выдана лицензия. И если нет, то ответственность перед вкладчиком несет не только компания, но и структура, выдавшая лицензию.

В заключение вернемся к эпиграфу настоящей работы. В отечественном жаргоне есть аналог этой пословицы: "Кто не рискует, тот не пьет шампанское". Хорошее шампанское дорого, поэтому рисковать надо умело.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дэйкин К. Введение в актуарную профессию. Кемерово: Кузбассвузиздат, 1994.

2. Ширяев А.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. С. 684.

3. Ширяев А.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. С. 780.

4. Panjer H., Willmot G. Insurance Risk Models. Schaumberg IL: Society of Actuaries, 1992.

5. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. М.: Финансово-актуарный центр МГУ им. М.В. Ломоносова, 1994.

* * *

Семен Израилевич Спивак, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования БашГУ. Область научных интересов: обратные задачи математической химии, математическое моделирование кинетики и термодинамики сложных химических реакций, финансовая математика. Автор 230 научных работ и одной монографии.