Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?
| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?|
|
|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Рассматриваются проблемы быстрого и сверхбыстрого нагружения. Вводится новый критерий разрушения и предлагается метод для определения необходимых параметров. Результаты прилагаются к решению прикладных проблем: эрозии и дезинтеграции. В заключение делается попытка объяснить феномен аномальной потери сопротивления среды. Доказывается существование солитона разрушения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯН. Ф. МОРОЗОВ
Санкт-Петербургский государственный университет
ВВЕДЕНИЕ
Корни науки о прочности теряются в глубине веков. Висячие сады в древнем Вавилоне, пирамида Хеопса, величественные сооружения античной Греции и Рима свидетельствуют, что неизвестные нам специалисты знали секреты науки о прочности. Во времена средневековья Галилео Галилей был первым, кто обратил внимание на дефекты как на первопричины разрушения. Однако ученые более позднего времени - Кулон, Мариотт, Мор и другие - рассматривали разрушение как спонтанный акт, не анализируя вопросы структуры, и по существу следующий шаг был сделан только в 1920 году в работах А. Гриффитса, когда он [1] ввел понятие поверхностной энергии разрушения П, пропорциональной площади вновь образовавшихся поверхностей, и решал вопрос о распространении трещины, составляя уравнения энергетического баланса1
?U + ?П = ?A.
Здесь ?U - разность упругих энергий в первом и втором положениях (рис. 1), ?A - дополнительная работа внешних сил при переходе из первого положения во второе, ?П = 2ge, g - удельная поверхностная энергия; в случае трещины ?U ~ e и ?A ~ e. Подставляя найденные ?A, ?U и ?П в соотношение (1), получаем критическое значение внешней нагрузки p. В 1957 году Дж. Ирвин [2] воспользовался асимптотическими формулами Снеддона для напряжений в окрестности вершины трещины
подсчитал ?A и ?U и в силу соотношения Гриффитса (1) получил простое и наглядное условие нераспространения трещины
K < Kc .
I. НОВЫЕ ПОДХОДЫ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Теория Гриффитса-Ирвина является в настоящее время основой для всех расчетов на трещиностойкость в инженерном деле. Существенно, что K c является постоянной, присущей данному материалу, его параметром, как модуль Юнга, коэффициент Пуассона, теплоемкость и т.д. Однако в последние 20 - 30 лет более углубленные и изощренные эксперименты обнаружили определенные условия, в которых теория Гриффитса-Ирвина "работает" неудовлетворительно. В статике это прежде всего образцы и конструкции с угловыми вырезами. Рассмотрим (рис. 2) две следующие ситуации: пластина с прямолинейным разрезом и пластина с вырезом в виде лунки, близкой к разрезу. Расчеты по Снеддону дают следующие выражения:
а анализ по Гриффитсу-Ирвину демонстрирует существенное расхождение ситуаций (I) и (II), что противоречит здравому смыслу.
Теоретическое обоснование ситуации с угловым вырезом проведено в работах В.Г. Мазьи, С.А. Назарова и автора этих строк [3]. Авторами показано (1989 год), что в случае углового выреза 2p - a, сравнивая две ситуации (см. рис. 1), получаем ?П ~ e, но
и, следовательно, метод Гриффитса-Ирвина получения критической нагрузки не "работает". Еще бЧльшие трудности при применении теории Гриффитса-Ирвина возникают в задачах о динамическом быстром и сверхбыстром нагружении. Большинство ученых - экспериментаторов и теоретиков - надеялись, что при динамическом нагружении можно будет пользоваться критерием типа
K(t) < Kd ,
где Kd - так же как Kc , параметр материала. Однако эти надежды не осуществились. Приведем несколько разъясняющих примеров.
1. Прежде всего рассмотрим мысленный эксперимент Г.П. Черепанова (1974 год) [4]. Анализируется полубесконечная трещина, к берегам которой внезапно приложена нагрузка p, действующая в течение времени T. Коэффициент интенсивности K этой задачи легко вычисляется [4]:
Отсюда видно, что, выбрав pT Q, а T 0, получим и коэффициент интенсивности становится как угодно большой величиной при произвольно малом импульсе Q.
2. Приведем основополагающие опыты Рави-Чандара и Кнаусса [5] из Калифорнийского технологического института (1984 год). Взяв пластину из Гомалита-100, экспериментаторы нагружали берега трещины и фиксировали нагрузку. В момент старта трещины t* измеряли коэффициент интенсивности Kd (рис. 3). Верхняя кривая на рис. 3 убедительно демонстрирует, что Kd не есть постоянная материала, какой является Kc , и лишь при большом времени до разрушения выходит на статическую асимптотику Kc .
3. Существенными для понимания процесса динамического разрушения явились опыты Шоки и др. (Стенфорд, 1986 год) [6] по определению функции минимальной амплитуды: нагрузку на трещину держали фиксированное время T, постепенно повышая уровень (амплитуду) нагружения. Определяли минимальное пороговое значение амплитуды, при которой впервые при заданном времени происходит разрушение. Затем время нагружения меняли. В результате получили функцию p = pmin(T ), характеризующую процесс разрушения. Если измерять коэффициент интенсивности напряжений в момент разрушения, то получим нижнюю кривую на рис. 3.
4. В качестве заключительного примера укажем опыты Н.А. Златина, Г.С. Пугачева и др. [7] (Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Академии наук СССР, Ленинград, 1974 год). Разрушение происходит с задержкой ?t после максимального уровня напряжения, что также входит в противоречие с традиционными представлениями о критериях разрушения.
Приведенные примеры, а число их можно существенно увеличить, демонстрируют необходимость новых подходов к проблеме хрупкого динамического разрушения.
В 1988 году Ю.В. Петров, А.А. Уткин и автор этих строк [8] предложили новый феноменологический критерий разрушения
Если в какой-то момент t равенство выполняется, то разрушение может иметь место. Здесь sI - главное напряжение, sc - прочность на разрыв бездефектного образца из данного материала, d - параметр длины, t - параметр времени.
Предлагаемый критерий является естественным обобщением статического критерия Нейбера-Новожилова
и критерия критического импульса Никифоровского-Шемякина
Очевидно, основная трудность применения критерия в правильном выборе параметров d и t. Нами предложено вычислять d по формуле
В силу этого выбора предложенный критерий для простых задач статики дает критические значения внешних нагрузок, совпадающие с критическими значениями по теории Гриффитса-Ирвина. Выбор t осуществляется по-разному для бездефектного материала и для задач с трещинами. Для бездефектного материала мы считаем t по формуле
где c - максимальная скорость распространения упругих волн. Так, выбранное t хорошо согласуется с результатами экспериментов по отколу Р.Б. Броберга (Ирландия) [9], а также Златина и Пугачева (Россия) [7].
В окрестности вершины трещины выбор t осуществляется по другому принципу. Кальтхофф, Д. Шоки и др. установили экспериментально, что разрушение может иметь место, если текущий коэффициент интенсивности не превышает некоторого критического значения в течение некоторого промежутка времени - инкубационного времени tinc , являющегося параметром данного материала. Они опубликовали в виде таблиц результаты экспериментов по определению tinc для основных материалов.
Следует обратить внимание, что указанные эксперименты достаточно трудоемки и сложны. Я предлагаю следующую альтернативную процедуру. Над серией стандартных образцов из выбранного материала проводим эксперименты по определению
p = pmin(T).
Затем в силу критерия (4) рассчитываем эту же функцию p, она будет зависеть еще и от параметра t:
p = pmin(T, t).
Выбираем t из условия максимальной близости кривых (6) и (7). Можно доказать (см. [10]), что найденное так t удовлетворяет всем условиям для tinc , то есть
t = tinc.
Резюмируя, можно сформулировать следующие положения:
1) поведение материалов и конструкций в условиях быстрого и сверхбыстрого нагружения не может быть предсказано на основе простой экстраполяции результатов статических испытаний;
2) необходимо проводить специальное тестирование материалов на быстрое нагружение;
3) в качестве определяющих параметров предлагаются sc , d, t или в силу (5) sc, Kc , t = tinc , причем sc и Kc - традиционные параметры, а t следует определять либо по Кальтхоффу, либо по по нашей методике.
II. ПРИМЕНЕНИЕ НОВЫХ КРИТЕРИЕВ РАЗРУШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ЭРОЗИИ
Проблемы эрозионного разрушения являются актуальными как для промышленности (защита летательных и космических аппаратов), так и для глобальных вопросов мироздания (лунные кратеры и т.д.). Проводимые эксперименты позволили определить описанную ниже типичную схему эрозионного разрушения. Схематизируем задачу следующим образом: на упругое полупространство падает абсолютно твердая частица - шарик заданного радиуса R. Утверждается:
1) при скорости V соударения меньше VIcr шарик отскакивает без разрушения среды,
2) при V > VIcr в среде наблюдается хрупкое разрушение,
3) при V > VIIcr пластическое разрушение.
Сравним результаты экспериментов Ю.В. Полежаева [11] и Л.И. Урбановича [12] с расчетами, основанными на критерии (4). Воспользуемся теорией удара Герца в изложении [13] (рис. 4).
Записываем уравнение движения частицы-шарика:
где
Очевидно, что в момент встречи dh / dt = V, а максимальное внедрение h0 имеет место при dh / dt = 0.
Решая уравнение (8), получаем
где t0 - полное время контакта. Следуя [13], предполагаем
подсчитываем в силу [14] максимальное растягивающее напряжение
Если пороговая скорость VI , то в силу критерия (4) в случае известного t значение VI может быть найдено как минимальный положительный корень уравнения
Обратно, если мы знаем VI, то можем из (13) определить t.
Урбанович [12] при исследовании бомбардировки алюминиевого сплава В-95 (E = 73 ГПа, n = 0,3; sc = 460 МПа, R = 150 мкм) определил первую критическую скорость VI = 33 м/с, затем, учтя (13), вычислил t, оказавшееся равным 0,5 мкс.
Аналогичное значение для tinc было получено нами для данного сплава при анализе экспериментов Златина-Пугачева [7], и, наконец, простые предварительные вычисления по нашей теории дали значения
sc = 460 МПа, KIc = 37 МПа, c = 6500 м/с,
что является достаточно удовлетворительным результатом с двойной проверкой.
III. ПРОБЛЕМЫ ДЕЗИНТЕГРАЦИИ
Одной из чрезвычайных опасностей, которые подстерегают человечество, является опасность столкновения Земли с каким-либо внеземным объектом: кометой, большим метеоритом и т.д. В июне 1994 года комета Шумейкеров-Леви столкнулась с одной из планет Солнечной системы, но теоретически возможно столкновение небесных тел с Землей, поэтому необходимо:
1) уметь вычислить траекторию объекта,
2) создать оружие уничтожения,
3) дезинтегрировать объект оптимальным образом.
Опыт космических стыковок вселяет оптимизм в вопрос о расчете траекторий, и, по-видимому, решение проблемы будет зависеть от быстродействия вычислительных машин.
Вторая задача еще ждет решения, но определенные идеи обсуждаются; в свое время А.Д. Сахаров предложил использовать для этой цели ядерное оружие и продумывал систему защиты Земли от последствий ядерного удара. Теоретические и практические аспекты этой проблемы были обсуждены на нескольких международных конференциях.
К нашей тематике относится третья задача. На основании критерия (4) мы можем рассчитать задачу о дезинтеграции упругохрупкого шара при постоянном внешнем нормальном давлении p, внезапно снимаемом. Помимо предположения о справедливости критерия (4), принимаются следующие постулаты:
1) если критерий выполняется для r = r0 , t = t0 , мы предполагаем, что разрушается слой r0 - d /2 < r < < r0 + d /2,
2) мы имеем новый шар 0 < r < r0 - d /2 и сферический слой r0 + d /2 < r < R, в которых процесс разрушения продолжается,
3) окончанием процесса разрушения можно считать ситуацию, когда зоны разрушения покрывают весь шар, однако мы можем рассчитать остановку процесса априори.
IV. ФЕНОМЕН ПОТЕРИ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ
В последние годы ученых, занимающихся прочностью, помимо магистральных задач о надежности конструкций, интересуют также такие экзотические проблемы, как сверхпластичность, сверхпроводимость, память формы и др.
Одной из таких проблем является феномен потери сопротивления среды. Суть его такова. В 80-е годы московские ученые К.И. Козорезов и Г.Г. Черный при проведении экспериментов по бомбардировке среды частицами обнаружили, что большинство частиц отскакивает от преграды, часть застревает в районе пограничного слоя, но существуют единичные экземпляры, которые проникают в слой на глубину порядка тысячи своих диаметров [15].
Можно дать такую трактовку обнаруженному явлению [16]. Будем рассматривать упругую плоскость с трещиной. Применим для описания ситуации более простую гибридную модель Р. Томсона [17] (рис. 5). Упругая плоскость заменяется двумя обладающими изгибной жесткостью стрингерами (упругими полосами) с насаженными на них материальными точками, которые, в свою очередь, связаны соответствующими вертикальными пружинами. Пружины могут рваться и "залечиваться" в соответствии с законом, показанным на рис. 6.
Потенциал энергии такой системы имеет вид
где yi - ординаты i-й материальной точки, а F в силу вышеуказанного закона определяется по правилу
Тогда уравнения движения системы таковы:
g{yj + 2 - 4yj + 1 + 6yj - 4yj - 1 + yj - 2} + rj byj + m = 0.
Здесь rj = 0, если пружинка порвана, и rj = 1 в противоположном случае.
Будем идентифировать трещины с последовательным набором порванных пружинок. Математически задача ставится следующим образом: доказать при определенном подборе параметров {b, g, l, V } существование трещины длины l, движущейся с постоянной скоростью V. Сказанное эквивалентно условию
а искомое стационарное решение
Удовлетворяя условиям гладкости
y (?l - 0) = y (? l + 0), y '(? l - 0) = y '(? l + 0)
и применяя преобразование Фурье, сводим нахождение y (t) к проблеме собственных функций для однородного интегрального уравнения
Можно доказать [16], что при определенных условиях, которым удовлетворяют параметры (b, g, l, V ), существует собственная функция, которую можно трактовать как солитон разрушения - некую ячейку, перемещающуюся в среде со скоростью V. Попаданием частицы в такую ячейку можно объяснить феномен сверхглубокого проникновения частиц в среду. Любопытно, что полученный на основе строгих рассуждений результат ассоциируется с фантастическими романами типа Жюля Верна.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Завершая статью, хотел бы привлечь внимание молодежи и прежде всего выпускников школ к такой замечательной науке, как механика, и особенно механика сплошной среды. Использование классического и современного математического аппарата, строгие логические выводы и рассуждения, с одной стороны, и в то же время реальные объекты и явления природы, которые стоят за математическими формулами, с другой, позволяют обнаружить и исследовать многочисленные тайны природы, прикоснуться к неизведанному, реально познать и использовать то, что еще недавно казалось чудом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Griffith A. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser A. 1921. V. 221. P. 163 - 198.
2. Irwin G. Analysis of Stresses and Strains near the End of a Crack Traversing a Plate // J. Appl. Mech. 1957. ╧ 3. P. 361 - 364.
3. Maz'ya V.G., Morozov N.F., Nazarov S.A. On the Elastic Strain Energy Release due to the Variation of the Domain near the Angular Stress Concentrator. Linkoping University. S-581. Linkoping, Sweden, 1983. P. 35.
4. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.
5. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An Experimental Investigation into Dynamic Fracture // Int. J. Fracture. 1984. V. 25. P. 247 - 262.
6. Shockey D.A. et al. Short Pulse Fracture Mechanics // J. Eng. Fract. Mech. 1986. V. 23. P. 311 - 319.
7. Златин Н.А., Пугачев Г.С. и др. Временная зависимость прочности металлов // Изв. АН СССР. Физика твердого тела. 1975. Т. 17. ╧ 9. С. 2599 - 2602.
8. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин А.А. О разрушении у вершины трещины // Физико-химическая механика материалов. 1988. ╧ 4. С. 75 - 77.
9. Broberg R.B. Some Aspects of Mechanism of Scabbing. In: Stress Wave Propogate Materials. New York, London: Interscience, 1960. P. 229 - 246.
10. Petrov Y.V., Morozov N.F. On the Modeling of Fracture of Brittle Solids // ASME J. Appl. Mech. 1994. V. 61. P. 710 - 712.
11. Полежаев Ю.В. Термогазодинамические испытания самолетов. М.: МАИ, 1986.
12. Урбанович Л.И. и др. Влияние механических и физических свойств материалов на критическую скорость соударения. Тез. Межд. конференции "Аналитические методы и оптимизация в жидкости и газовой динамике". Арзамас-16, 1994. С. 121 - 123.
13. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Контактная механика разрушения. М.: Наука, 1989.
14. Lawn B.R., Wilshow T.R. Idention Fracture: Principles and Application // J. Mater. Sci. 1975. V. 10. ╧ 6. P. 1049 - 1081.
15. Черный Г.Г. Механизм аномально низкого сопротивления // ДАН. 1987. Т. 292. ╧ 6. С. 1324 - 1328.
16. Morozov N.F., Paukshto M.W. On the Crack Simulation // J. Appl. Mech. 1991. V. 58. P. 290 - 292.
17. Thomson R., Hsieh C. Lattice Trapping of Fracture Cracks // J. Appl. Phys. 1971. V. 42. ╧ 8. P. 3154 - 3160.
* * *
Никита Федорович Морозов, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Российской Академии наук, зав. кафедрой теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета. Член Национального Комитета России по теоретической и прикладной механике. Главные научные интересы связаны с математическими проблемами теории разрушения и с применением асимптотических методов к задачам теории упругости. Автор более 120 научных работ и четырех монографий.
