Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Рассмотрены симметрии графиков функций, указаны способы применения этих симметрий при решении уравнений.

И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И. И. ЧУЧАЕВ

Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, Саранск

Хорошо известна роль симметрии в геометрии и алгебре. Многие сталкивались с задачами, решение которых значительно упрощается при использовании симметричности фигур или алгебраических выражений. Настоящая статья адресована преимущественно старшеклассникам. Ее цель - показать, что графики основных элементарных функций симметричны относительно преобразований, порожденных сдвигами, симметриями, гомотетиями и инверсиями прямой, и указать, как симметрии графиков функций могут быть использованы при решении уравнений.

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

Пусть X - непустое множество. Взаимно однозначное отображение f множества на себя называется преобразованием множества X. Ясно, что если f и g - преобразования множества X, то их суперпозиция f (g) и отображение f -1 (обратное к f ) также являются преобразованиями множества X.

В этом разделе будут рассмотрены преобразования числовых множеств (преобразования движения, подобия, инверсии), имеющие основополагающее значение в геометрии.

1.1. Преобразование движения

Преобразование f числовой прямой R называется движением на R, если оно сохраняет расстояния между точками R, то есть для любых x, y k R справедливо равенство

| f (x) - f (y) | = | x - y |.

Справедлива

Теорема 1. Если функция f - движение на R, то либо f (x) = x + a при всех x, либо f (x) = a - x. Если функция f (x) = x + a при любых x k R или f (x) = a - x, то f (x) - движение на R.

Действительно, пусть функция f (x) - движение на R, f (0) = a и x > 0. Ясно, что | f (x) - a | = x. Убедимся, что функция f (x) - a не меняет своего знака на (0; ?) и, значит, либо f (x) - a = x при всех x > 0, либо f (x) = a - x. Допустив противное, получим, что найдутся x1 > 0 и x2 > 0, такие, что f (x1) - a > 0, f (x2) - a < 0. Тогда

| x1 + x2 | = | f (x1) - f (x2) | = | x1 - x2 |,

и, значит, либо x1 = 0, либо x2 = 0, что невозможно.

Аналогично убеждаемся, что или f (x) - a = x при всех x < 0, или f (x) = a - x. Так как функции

f (x) = a + | x |, f (x) = a - | x |

не взаимно однозначны, то либо f (x) = a + x при всех x k R, либо f (x) = a - x.

Напомним, что преобразование, задаваемое функцией f (x) = x + a, называется сдвигом прямой R на a единиц, а преобразование, задаваемое функцией f (x) = = a - x, - симметрией относительно точки a /2. Очевидно, что эти преобразования являются движениями на R.

1.2. Преобразование подобия

Подобие на прямой - это преобразование на R, изменяющее все расстояния между точками R в одном и том же отношении k (иначе говоря, сохраняющее отношение расстояний между точками). Число k называется коэффициентом подобия. Имеет место

Теорема 2. Если функция f (x) - преобразование подобия (с коэффициентом подобия k) на R, то либо f (x) = = kx + a при всех x k R, либо f (x) = - kx + a. Если функция f (x) = kx + a при всех x k R и k ? 0, то f (x) - преобразование подобия на R с коэффициентом подобия | k |.

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.

Преобразование R, задаваемое функцией f (x) = kx, k > 0, называется гомотетией (растяжением) R с коэффициентом гомотетии k. Очевидно, что гомотетии на R суть подобия и любое подобие можно задать в виде композиции гомотетии, симметрии и сдвига.

1.3. Преобразование инверсии

Пусть заданы точка a k R и число r > 0. Каждой точке x k R, отличной от a, поставим в соответствие лежащую по одну сторону от a точку f (x), такую, что произведение расстояний от a до x и от a до f (x) равнялось r 2. Легко заметить, что соответствие f (x) является преобразованием множества R \ {a}. Оно называется инверсией R с центром в точке a радиуса r.

Пусть f (x) - инверсия R с центром в точке a радиуса r. Поскольку точки x и f (x) лежат по одну сторону от a, то

( f (x) - a)(x - a) = r 2.

Отсюда следует, что

где b = r 2 - a2 и, значит, a2 + b > 0.

Верно и обратное. Дробно-линейная функция (1) задает инверсию R с центром в точке a радиуса r = Тем самым справедлива

Теорема 3. Совокупность всех инверсий R совпадает с совокупностью всех дробно-линейных функций вида (1).

Функция g(x) = 1/ x задает инверсию с центром в нуле радиуса 1. Легко убедиться, что любую инверсию можно представить в виде суперпозиции двух сдвигов, гомотетии и инверсии с центром в нуле радиуса 1. Преобразование, обратное к инверсии f (x), является инверсией, совпадающей с f (x), а суперпозиция двух инверсий может и не быть инверсией.

1.4. Преобразования, задаваемые

дробно-линейными функциями

Дробно-линейная функция

где a, b, c и d - фиксированные числа, взаимно однозначна на области определения x ? - d / c. Она, вообще говоря, не является преобразованием R \ {d / c} (j(x) ? ? a / c при всех x ? - d / c). Дополним числовую прямую одной идеальной точкой ? (назвав ее бесконечностью и отождествив с + ?) и положим Доопределим функцию j(x) на - d / c и ?, приняв

(в случае c = 0 полагаем j(?) = ?). Из предыдущего следует, что доопределенная функция j(x) на R является преобразованием Эти преобразования будем называть дробно-линейными преобразованиями R.

Нетрудно заметить, что суперпозиция двух дробно-линейных преобразований R является дробно-линейным преобразованием, обратное преобразование к дробно-линейному - дробно-линейным. Совокупность всех дробно-линейных преобразований содержит как сдвиги, симметрии, подобия и инверсии R, так и их суперпозиции.

2. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Напомним, что множество M ? X называется симметричным (инвариантным) относительно преобразования F : X X, если F (M ) = M, то есть если образ M совпадает с M.

Пусть j, y - дробно-линейные преобразования Тогда отображение F, которое каждой точке (x, y) множества ставит в соответствие точку (j(x), y(x)) этого же множества, является его преобразованием.

Пусть f - функция с областью определения D( f ) ? R. Доопределим функцию f (если это возможно) во всех предельных точках a области определения D( f ) по правилу

Очевидна следующая

Теорема 4. График функции y = f (x) симметричен относительно преобразования F тогда и только тогда, когда y(x) ? D( f ) при всех x ? D( f ) и справедливо равенство

f (y(x)) = j(f (x)).

Отсюда следует, что функция y = f (x) периодическая периода T в том и только том случае, если ее график симметричен относительно преобразования R i R, при котором точка (x, y) переходит в точку (x + T, y) ; график функции y = f (x) имеет ось симметрии x = a, если и только если 2a - x k D( f ) для любого x k D( f ) и f (2a - x) = f (x); точка (a, b) является центром симметрии графика функции y = f (x) тогда и только тогда, когда 2a - x k D( f ) при всех x k D( f ) и f (2a - x) = 2b - f (x).

При помощи последнего утверждения нетрудно убедиться, что точка перегиба (- b / 2a, f (- b / 2a)) кубической параболы f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ? 0, является центром ее симметрии.

График функции y = (x2 - 1)/ x симметричен относительно преобразования, которое точке (x, y) ставит в соответствие точку (1/ x, - y). График функции y = (4 - - 2x2)/ x симметричен относительно преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (4/ x, 1/ y).

Используя теорему 4, легко доказать, что если график функции имеет или две вертикальные оси симметрии, или вертикальную ось симметрии и центр симметрии, то функция является периодической; если график функции y = f (x) имеет два центра симметрии, то найдутся линейная функция h(x) и периодическая функция g(x), такие, что f (x) = h(x) + g(x) при всех x k D( f ).

Функции линейная f (x) = x, показательная f (x) = a x, a > 0, a ? 1, логарифмическая f (x) = loga x, a > 0, a ? 1, степенная f (x) = x a относятся к основным элементарным функциям. Оказывается, их можно охарактеризовать при помощи совокупности рассматриваемых нами преобразований, относительно которых их графики симметричны.

Теорема 5. Функция f линейная ( f (x) = x) на R тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно всех преобразований R i R, при которых точка (x, y) переходит в точку (x + a, y + a) либо точка (x, y) переходит в точку (b - x, b - y), a, b k R.

Теорема 6. График функции y = ax симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (x + b, aby) или точка (x, y) переходит в точку (b - x, ab / y), b k R. Если график функции y = f (x), определенной на R и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = ax при всех x k R.

Теорема 7. График функции y = loga x симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (abx, y + b) или точка (x, y) переходит в точку (ab / x, b - y), b k R. Если график функции y = f (x), определенной на (0, ?), симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = loga x для любого x k R.

Теорема 8. График функции y = x a симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (kx, k ay) или точка (x, y) переходит в точку (k / x, k a / y), где k > 0. Если график функции y = f (x), определенной на (0, ?) и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = x a при всех x > 0.

Доказательства приведенных теорем несложны. Докажем, например, теорему 7. Первая часть теоремы следует из свойств показательной функции и теоремы 4. Для доказательства второй части положим

h(x) = loga f (x).

Тогда функция h(x) определена на R и по теореме 4 при всех x, b k R справедливы равенства

h(x + b) = loga f (x + b) = loga ab f (x) = h(x) + b,

h(b - x) = b - h(x).

Согласно теореме 6, h(x) = x при всех x k R и, значит, f (x) = x a.

3. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ

Автоморфные функции являются обобщениями периодических и четных функций. Их теория, созданная в конце XIX и начале XX века, главным образом трудами А. Пуанкаре и Ф. Клейна, представляет собой в настоящее время обширную область комплексного анализа. Однако эти функции представляют интерес и при изучении функций действительного переменного.

Пусть функция f определена на D( f ) так, как указано в предыдущем разделе. Назовем ее автоморфной (квазиавтоморфной), если существует дробно-линейное преобразование j, такое, что j(x) т x, j(x) k D( f ) для любого x k D( f ) и f (j(x)) = f (x) (соответственно f (j(x)) = f (x)). При этом функцию j будем называть инвариантом (соответственно квазиинвариантом) функции f. Функцию j(x) ╞ x будем считать тривиальным инвариантом.

Иными словами, функция f автоморфна (квазиавтоморфна), если ее график симметричен относительно некоторого преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (j(x), y) (соответственно (j(x), - y)), причем j(x) т x.

Ясно, что периодические функции (j(x) = x + T, T - период), четные функции (j(x) = j(- x)) являются автоморфными, а антипериодические и нечетные функции - квазиавтоморфными.

Функции x /(x2 + 1), ((x2 - 1) ln | x |)/ x являются автоморфными, j(x) = 1/ x - их инвариант; функция (x2 - - x + 1)3/ (x(x - 1))2 имеет пять инвариантов: 1 - x, 1/ x, 1/(1 - x), (1 - x)/ x, x /(1 - x).

Функции x /(x2 - 1), ln x, (x3 - 1)/(x3 + 1) квазиавтоморфные, j(x) = 1/ x - их квазиинвариант.

Отметим, что дробно-линейная функция j(x) является инвариантом (квазиинвариантом) многочлена ненулевой степени p(x) тогда и только тогда, когда j(x) = = 2b - x и (соответственно p(x) = ).

Теорема 9. Если непостоянная функция f (x) непрерывна на R, а линейная функция j(x) = kx + a является инвариантом или квазиинвариантом f (x), то | k | = 1.

Доказательство. Пусть j(x) = kx + a - инвариант f (x). Ясно, что k ? 0. Предположим, что | k | < 1. Поскольку

(j(n)(x) - n-кратная суперпозиция j(x)) - инвариант f (x), то при всех x k R и любом n k N справедливо равенство

Так как k n 0 при n ?, то из непрерывности функции f (x) следует, что f (x) = f (a /(1 - k)). Это невозможно.

Если предположить, что | k | > 1, то, заменив j(x) на

(j-1(x) - функция, обратная к j(x)), опять получим противоречие. Следовательно, | k | = 1.

Если j(x) - квазиинвариант функции f (x), то

j(2)(x) = k2x + ka + a

есть инвариант f (x) и, значит, k2 = 1.

Следующая теорема характеризует инварианты и квазиинварианты непрерывной периодической функции.

Теорема 10. Пусть f (x) - непрерывная периодическая функция на R периода T. Если j(x) - инвариант (квазиинвариант) f (x), то j(x) = x + nT + T /2, где n k Z.

Отыскание инвариантов функций - задача достаточно сложная. Однако для дробно-квадратичных функций

можно указать алгоритм их поиска.

Положим

s1 = bc1 - b1c, s2 = ac1 - a1c, s3 = ab1 - a1b.

Преобразуя равенство f (x) = f (y), где y = j(x), нетрудно получить, что

(y - x)(s1 + s2(x + y) + s3xy) = 0.

Отсюда следует, что

Заметим, что условие равносильно тому, что квадратные трехчлены ax2 + bx + c и a1x2 + b1x + + c1 имеют общий корень. Дробно-квадратичная функция f (x) не может иметь других инвариантов, ибо каждое свое значение она принимает не более двух раз (решение уравнения f (x) = c сводится к решению квадратного уравнения).

Если s3 = 0, то j(x) = - x - s1 / s2 . Это означает, что прямая x = - s1 /(2s2) является осью симметрии функции f (x). Условие s3 = 0 равносильно условию - b /(2a) = = - b1 /(2a1)). Поэтому график дробно-квадратичной функции симметричен относительно некоторой вертикальной прямой тогда и только тогда, когда оси симметрий парабол y = ax2 + bx + c, y = a1x2 + b1x + c1 совпадают.

4. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

И УРАВНЕНИЯ

В этом разделе изложим способы применения симметрий графиков функций при решении уравнений и начнем с приемов использования инвариантов автоморфных функций.

Применение инвариантов при решении уравнений вида

f (g(x)) = f (h(x)),

где f, g, h - некоторые функции, основано на следующем очевидном факте. Если функция j - инвариант f (в том числе и тривиальный), то решения уравнения

j(g(x)) = h(x),

содержащиеся в ОДЗ уравнения (2), являются корнями уравнения (2). Заметим, что спектр уравнений (2) достаточно широк - от хорошо знакомых по курсу математики средней школы до уравнений олимпиадного характера, предлагаемых и на Соросовских олимпиадах (см. пример 2). Перейдем к примерам.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. ОДЗ уравнения: x ? 0; 1; 3; 7/2. Уравнение имеет вид (2), причем

Используя инварианты f, выписанные в предыдущем разделе, получим, что решения совокупности уравнений

содержащиеся в ОДЗ исходного уравнения, являются его корнями. Следовательно, 6, 7/3, суть решения уравнения. Поскольку уравнение сводится к алгебраическому уравнению десятой степени, то оно других решений не имеет.

Пример 2. Найдите наименьший положительный корень уравнения

{tg x} = sin x,

где {a} - дробная часть a [1, задача 11.1.1].

Решение. Ясно, что искомый корень уравнения содержится в одном из промежутков (0; p /2) и (p /2; p]. Будем искать его (если он есть) в интервале (0; p /2). В этом случае уравнение имеет вид (2) (sin x = {sin x}), причем

f (x) = {x}, g(x) = tg x, h(x) = sin x.

Функция f периодическая периода 1 и строго возрастающая на [0, 1), поэтому уравнение на (0; p /2) равносильно совокупности уравнений

tg x = sin x + k,

где k k Z. Поскольку tg x - sin x - строго возрастающая на (0; p /2) функция, то каждое уравнение совокупности может иметь не более одного корня, при этом если k1 < k2 (k1 , k2 k Z), то таким же неравенством связаны корни соответствующих уравнений. Очевидно, что при k # 0 уравнения совокупности не имеют требуемых решений. Уравнение

tg x = sin x + 1

имеет такой корень, равный Ясно, что этот корень требуемый.

Совокупность уравнений, порожденных всеми инвариантами функции f, вообще говоря, неравносильна уравнению (2) (см. пример 3). В некоторых случаях можно указать процедуру, позволяющую находить потерянные корни.

Пусть автоморфная функция f (x) каждое свое значение принимает не более n раз и j1 , j2 , _, jn - совокупность различных ее инвариантов (ясно, что в этом случае функция не может иметь более n инвариантов). Очевидно, что если x0 - решение уравнения (2), не являющееся решением совокупности уравнений

ji(g(x)) = h(x), i = 1, 2, _, n,

то либо либо найдутся номера i и j, такие, что i ? j и ji(g(x0)) = jj(g(x0)) (в противном случае функция примет значение f (x0) n + 1 раз).

Пример 3. Решите уравнение

(3x - 4)(x2 - 1) ln | x | = x(9x2 - 24x + 15) ln | 3x - 4 |.

Решение. ОДЗ уравнения: x ? 0; 4/3. Уравнение можно записать в виде (2), полагая

Как было отмечено в предыдущем разделе, функция j(x) = 1/ x является инвариантом функции f (x). Поэтому решения уравнений

то есть 2 и , являются корнями исходного уравнения.

Если x > 0, то Ясно, что f '(x) > 0 при x > 1 и f '(x) < 0 при 0 < x < 1. Отсюда следует, что функция f (x) строго убывает на (0, 1], строго возрастает на [1, ?) и f (x) > f (1) = 0 при x > 0, x ? 1. Поскольку функция f (x) нечетная, то из предыдущего следует, что она каждое свое значение принимает дважды. Поэтому если есть потерянный корень, то он является решением уравнения x = 1/ x. Проверкой убеждаемся, что 1 является решением исходного уравнения, а -1 нет. В итоге получим, что корнями исходного уравнения являются 1, 2,

Пример 4. Решите уравнение

где {x} - дробная часть x, [x] - целая часть.

Решение. Приняв

замечаем, то уравнение имеет вид (2). Функция f (x) является дробно-квадратичной, поэтому она каждое свое значение принимает не более двух раз. Инвариантом функции f будет функция

Так как g(x) ? 1 при любом x и уравнение j(g(x)) = g(x), то есть уравнение

решений не имеет, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Очевидно, что корнем первого уравнения семейства будет 1/2. Поскольку 0 # {x} < 1, то, решив неравенство

получаем, что корни второго уравнения совокупности должны удовлетворять неравенству [x] # - 4. Теперь, используя тождество x = [x] + {x}, легко заметить, что корнями уравнения являются x = n + (2n - 7)/(2n - 1), где n k Z и n # - 4. Ясно, что корни уравнений совокупности образуют решения исходного уравнения.

Теперь приведем примеры использования симметрий графиков функций более общего вида.

Пример 5. Решите уравнение

Решение. Положим

Так как

то уравнение можно записать в виде f (x) = 1/ f (t(x)). Поскольку

(график функции f симметричен относительно преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (- x, 1/ y)) и f (x) ? 0 при любом x, то уравнение равносильно уравнению f (x) = f (- t(x)). Нетрудно проверить, что f ' < 0 при всех x и, значит, является убывающей на R. Тогда уравнение эквивалентно уравнению x = - t(x), то есть уравнению x = 1 - 2x. Отсюда получаем, что уравнение имеет единственное решение x = 1/3.

Пример 6. Решите уравнение

где [a] - целая часть a.

Решение. Приняв

уравнение можно записать в виде f (x) = 1 - f (t(x)). Если | x | < 1, то [(x + 1)/2] = 0 и, значит, f (x) = | x |. Кроме того, при всех x

Следовательно, функция четная и периодическая периода 2. Построив график функции, замечаем, что точка (1/2, 1/2) является центром симметрии графика, поэтому справедливо равенство f (1 - x) = 1 - f (x). Отсюда получаем, что уравнение записывается в виде f (x) = f (1 - t(x)). Поскольку функция f является возрастающей на [0, 1], то уравнение равносильно совокупности уравнений

? x = 1 - (3x - 5) + 2n,

где n k Z. Поэтому решениями исходного уравнения являются x = n /2, где n k Z.

ЛИТЕРАТУРА

1. Третья Соросовская олимпиада школьников, 1996-1997. М.: МЦНМО, 1997. 512 c.

Рецензент статьи В.А. Ильин

* * *

Иван Иванович Чучаев, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Мордовского государственного университета. Область научных интересов - теория полуупорядоченных пространств, спектральный анализ операторов. Автор и соавтор учебно-методического пособия и более 50 научных работ.