Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум --> Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад?

| Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Явление циклотронного резонанса (ЦР) заключается в резонансном поглощении свободными носителями заряда электромагнитного излучения в присутствии постоянного магнитного поля. ЦР нашел широкое применение для определения зонной структуры, изучения процессов рассеяния и рекомбинации в полупроводниках.

Е. М. ГЕРШЕНЗОН

Московский педагогический государственный университет

ВВЕДЕНИЕ

Наряду с электронным парамагнитным резонансом (ЭПР) [1] и ядерным магнитным резонансом (ЯМР) [2] циклотронный резонанс (ЦР) является одним из самых информативных методов исследования твердых тел, содержащих свободные электрические заряды, - проводников. Явление ЦР может быть объяснено как на основе законов классической физики, так и с использованием квантово-механических представлений. Для объяснения сути явления начнем рассмотрение с движения заряда в пустоте. Как известно (см., например, [3]), на заряд q, движущийся со скоростью в постоянном электрическом поле напряженностью и постоянном магнитном поле напряженностью действует сила Лоренца

где первое слагаемое справа - электрическая составляющая силы Лоренца - электрическая сила второе представляет собой силу, действующую на движущийся заряд в магнитном поле - магнитную силу Эта сила, как ясно из ее структуры, перпендикулярна и, следовательно, не совершает работы, и не меняет энергии заряда, но искривляет его траекторию, закручивая его в плоскости, перпендикулярной Поле не оказывает никакого воздействия на составляющую скорости частицы вдоль Поэтому ниже мы будем считать, что лежит в плоскости, перпендикулярной

При отсутствии поля заряд с массой m равномерно вращается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной с круговой частотой

называемой циклотронной, смысл термина - чуть позже. Сила играет здесь роль центростремительной силы.

Предположим, что во время движения заряда по окружности на короткий промежуток времени Dt (Dt много меньше периода движения заряда по окружности Тс = 2p / wc) включается постоянное поле перпендикулярное Поле совершит работу над зарядом В зависимости от угла между и эта работа может быть положительной или отрицательной. Если DА > 0 (ускоряющее поле ), то кинетическая энергия заряда увеличится. Если поле включается многократно, причем моменты включения подбираются так, чтобы каждый раз выполнялось условие DА > 0, то энергия заряда может возрасти весьма значительно. На этом принципе действует ускоритель заряженных частиц, именуемый циклотроном (отсюда термин "циклотронная частота"). Принцип его действия иллюстрирует рис. 1. Если же каждый раз при включении поля DА < 0, то заряд теряет свою энергию, излучая при этом электромагнитные волны. Так действуют генераторы сверхвысоких частот - магнетроны (это иллюстрируется действием тормозящего поля на частицы в моменты времени 4-7 на рис. 1).

Если на образец, помещенный в постоянное магнитное поле, действует гармонически меняющееся электрическое поле то при определенных условиях, которые будут обсуждены ниже, при совпадении частоты изменения электрического поля w с циклотронной частотой wс возникает сильное "резонансное" поглощение энергии электромагнитного поля движущимся зарядом - циклотронный резонанс. Это поглощение может быть обнаружено и измерено. Очевидно, что частота наблюдаемого резонанса позволяет определить отношение q / m.

Свойства свободных зарядов (или носителей заряда) в проводниках (в частности, заряд и масса) различны. Они зависят от деталей структуры кристаллической решетки материала. Изучая ЦР, можно получить множество сведений об этих свойствах.

Анализ результатов измерения ЦР существенно упрощается, если поглощение электромагнитного излучения происходит равномерно по всему исследуемому образцу. Такие условия достаточно легко реализуются в полупроводниках, где концентрация свободных носителей обычно достаточно мала. Основное внимание в статье будет уделено полупроводникам. В металлах, где концентрация свободных носителей велика, ЦР осложняется из-за наличия скин-эффекта, благодаря которому переменное электрическое поле проникает в образец только на малую глубину.

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ

Строгая классическая теория ЦР базируется на использовании кинетического уравнения Больцмана, а в очень больших магнитных полях возникает необходимость квантово-механического подхода. Нас, за исключением отдельных случаев, удовлетворит элементарная теория.

Простейшая теория ЦР базируется на уравнениях движения заряда в электрическом и магнитном полях ( - импульс заряда):

Здесь справа помимо силы Лоренца присутствует слагаемое учитывающее влияние столкновений частицы с любыми дефектами кристаллической решетки: примесями, неоднородностями, тепловыми колебаниями решетки, которые приводят к рассеянию энергии заряда. Для простоты время релаксации t считается здесь не зависящим от Импульс и скорость носителя связаны между собой обычным соотношением (на самом деле это необязательно так). Решая уравнение (3) относительно и вычисляя поглощаемую мощность (n - концентрация зарядов), получим, что при выполнении условий (wct)2 @ 1 и | Dw | = | w - wс | ! wc (условия резонанса) поглощенная мощность резко возрастает. При этом поглощаемая мощность РЦР(w) определяется соотношениемРЦР(w) = а проводимость -

где s0 - проводимость в статическом случае, Е0 - амплитуда электрического поля. При точном резонансе s(w) = s0 /2.

Известно, что при Н = 0 и wt @ 1 проводимость sН = 0(w) © s0 /(wt)2 ! sЦР . Это связано с тем, что за время свободного пробега поле много раз успевает сменить направление, а поглощаемая мощность - свой знак, поэтому эффективное поглощение между двумя соударениями весьма мало.

Нетрудно показать, что в присутствии магнитного поля и при выполнении условий резонанса поглощаемая мощность остается все время положительной. Полуширина линии ЦР dw, то есть абсолютная величина разности | w wс | , при которой поглощение равно половине резонансного, составляет

До сих пор мы считали, что электромагнитная волна линейно поляризована. Ясно, что при использовании электромагнитной волны с правильно выбранным направлением круговой поляризации при резонансе можно получить поглощение, равное статическому.

Выясним теперь, какую информацию можно почерпнуть из измерения ЦР. Напомним прежде всего, что носителями заряда в проводниках могут быть электроны (q = - e) и (или) дырки (q = + e). Запишем теперь статическую проводимость s0 в известном из элементарной теории виде:

где - подвижность носителя заряда, определяющая среднюю скорость носителя заряда при воздействии на него электрического поля единичной напряженности.

(а) Инерционные свойства носителя в кристалле определяются свойствами кристаллической решетки. Характеристикой этих свойств является так называемая эффективная масса носителя, которая в различных материалах различна. Она может быть разной у разных групп носителей в одном и том же материале. Именно эффективная масса фигурирует в формуле (2) для частоты wс . Для краткости мы будем говорить просто масса.

Принимая во внимание формулу (2) и учитывая, что | q | = е, заключаем, что измерение частоты ЦР сразу позволяет определить массу m носителя заряда в кристалле.

(б) Формула (4) описывает ЦР в плоскополяризованном поле В этом случае нельзя определить знак носителей заряда: резонанс имеет место как для электронов, так и для дырок. Учтем теперь, что вращения электронов и дырок в поле происходят в противоположных направлениях, так как их заряды имеют разный знак. Используя волну, поляризованную по кругу, и выбирая надлежащим образом направление вращения, можно обеспечить циклотронное поглощение только одного типа носителей заряда. Правую часть выражения (4) для s(w) в этом случае следует удвоить. Таким образом, ЦР позволяет определить знак носителей заряда.

(в) В реальном кристалле всегда имеется анизотропия электрических свойств, которая характеризуется тем, что эффективным массам приписывается тензорный характер. Изучение особенностей анизотропии масс в кристаллах, то есть деталей их зонной структуры, явилось одним из важнейших применений ЦР. Измерение wс позволяет определить величину эффективной массы как в случае простой зоны, когда выполняется соотношение и изоэнергетические поверхности в пространстве импульсов представляют собой сферы, так и для более сложных (например, эллипсоидальных) изоэнергетических поверхностей, характерных для зон проводимости наиболее широко применяемых полупроводников - германия (Ge) и кремния (Si).

В таком сложном случае циклотронная частота [4]

где q - угол между и осью вращения эллипсоида масс, m^ и m|| - поперечная и продольная массы тензора эффективных масс. В случае еще более сложной зонной структуры, например у валентных зон Ge и Si, формулы для wс становятся еще более сложными. Но и здесь циклотронный резонанс дает возможность определить параметры валентной зоны.

(г) Ширина линии ЦР обратно пропорциональна времени релаксации t. Эта величина содержит информацию о процессах рассеяния носителей, которое может определяться их взаимодействием с колебаниями кристаллической решетки, нейтральными и ионизованными примесями, межэлектронным взаимодействием. Для полупроводников при достаточно низких температурах Т - а именно они представляют интерес для наблюдения ЦР - время t и, следовательно, подвижность носителей m начинают зависеть от (перестает выполняться закон Ома) уже в относительно малых полях и происходит разогрев носителей заряда. Применение ЦР для изучения "горячих носителей" представляет особый интерес, так как дает возможность бесконтактного приложения к образцу электрического поля и избирательного воздействия электромагнитного излучения на ту или иную группу носителей, не затрагивая остальные. Это существенно, так как в полупроводниках, как правило, присутствуют несколько типов носителей (электроны различных минимумов зон проводимости, легкие и тяжелые дырки и т.д.) и измерения с помощью резонансного метода значительно проще анализировать, в то время как на постоянном токе результат измерений является сложной суперпозицией вкладов различных типов носителей.

(д) Интегральная интенсивность резонансного поглощения зависит от концентрации носителей n, поэтому, измеряя площадь резонансной кривой (или ее высоту) при изменении условий эксперимента (температуры, подсвета, концентрации примесей и т.д.), можно применить ЦР для изучения рекомбинационных процессов.

Носитель заряда описывает в плоскости, перпендикулярной замкнутую кривую (в простейшем случае изотропной массы - окружность), то есть поперечное по отношению к движение является финитным. Согласно квантовой механике, спектр энергии финитного движения является дискретным. Уровни энергии поперечного движения для изотропной массы (уровни Ландау) определяются формулой

%Л = "wc (N + 1/2), N = 0, 1, 2, _

При наличии рассеяния уровни Ландау размываются. Однако при условии wсt @ 1 формула (8) приближенно сохраняет свою силу. На квантовом языке ЦР можно описывать как переход носителя с N-го уровня на (N + 1)-й с поглощением фотона с энергией "w. При w = wс такой переход становится резонансным и интенсивность переходов резко возрастает.

Если температура Т достаточно высока, так что тепловая энергия kБТ (kБ - постоянная Больцмана) велика по сравнению с расстоянием между уровнями Ландау (kБТ @ "wc), носители заселяют много уровней и квантово-механическое описание ЦР переходит в классическое, которое было изложено выше. При "wc > > kБТ носители заряда находятся на нулевом уровне Ландау (если концентрация носителей не слишком велика). Под действием электрического поля электромагнитной волны они переходят с нулевого уровня Ландау (N = 0) на первый (N = 1), это приводит к поглощению фотона "w, вероятность поглощения имеет максимум при "w = "wc . Максимум отчетливо выражен, если уширение уровней Ландау, обусловленное конечностью времени релаксации t, мало по сравнению с расстоянием между ними " / t ! hwc .

УСЛОВИЯ НАБЛЮДЕНИЯ ЦР

И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДИКИ

Обсудим теперь условия наблюдения ЦР, экспериментальные методы и используемую аппаратуру.

Сделаем оценки величин, определяющих эффект (см. (4)-(6)).

При комнатной температуре время релаксации носителей заряда в полупроводниках обычно порядка t = = 10-13-10-15 с. Поэтому для наблюдения ЦР с помощью обычной сверхвысокочастотной (СВЧ) аппаратуры необходимо для выполнения условия wсt @ 1 использовать глубокое охлаждение вплоть до гелиевых температур (температура кипения гелия при нормальном давлении составляет 4,2 К) и кристаллы высокой степени чистоты. Значения эффективной массы m электронов и дырок в полупроводниках лежат в диапазоне 0,01-0,5m0 (m0 - масса свободного электрона). Примем для оценки m / m0 © 0,3. СВЧ-диапазон хорошо оснащен до сантиметровых и миллиметровых волн, то есть до частот 1010-1011 Гц. Положим w /(2p) = 24 ГГц, что соответствует w = 1,5 " 1011 рад/c (короткая часть сантиметрового диапазона). Тогда требуемое для наблюдения резонанса магнитное поле составит Н = 2 " 103 эрстед.

На рис. 2 приведены кривые ЦР, соответствующие различным значениям wt. Видно, что отчетливый резонанс наблюдается при wct $ 1. Это значит, что в среднем между двумя последовательными соударениями носитель заряда проходит не меньше 1/(2p) части длины окружности.

ЦР был предсказан Я.Г. Дорфманом, независимо от него - Р.Б. Динглем и впервые исследован Г. Дресселхаузом, А. Кипом, Ч. Киттелем в 50-х годах. С тех пор выполнено множество работ по изучению ЦР в полупроводниках, особенно подробно в германии (Ge), кремнии (Si), антимониде индия (InSb) и арсениде галлия (GaAs). ЦР превратился в один из основных методов изучения зонной структуры и процессов рассеяния. Создана разнообразная высокочувствительная исследовательская аппаратура, эксперименты выполняются вплоть до Т $ 0,3 К (такие температуры получают при использовании изотопа гелия 3Не, не переходящего в сверхтекучее состояние вплоть до столь низких температур) в магнитных полях Н # 100 кЭ, которые реализуются с помощью сверхпроводящих соленоидов, на частотах вплоть до терагерцового диапазона с использованием клистронных и полупроводниковых генераторов (сантиметровые и миллиметровые волны) и ламп обратной волны (субмиллиметровые волны) [5]. При необходимости ЦР может быть реализован и в инфракрасном диапазоне длин волн с помощью соответствующих лазеров.

Простейшие радиоспектрометры для измерения ЦР мало отличаются от разработанных для электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) и комплексного изучения полупроводников на сверхвысоких частотах, которые достаточно подробно описаны в ранее опубликованных статьях [1, 6]. Поэтому здесь можно не приводить схемы приборов, а ограничиться их различиями.

Полупроводниковый образец при исследовании ЦР помещается в резонаторе в максимуме электрического поля. Условия резонанса осуществляются плавным изменением магнитного поля. При низких температурах в достаточно чистых полупроводниках свободных носителей практически нет, необходимая для индикации концентрация создается подсветкой образцов.

При ЦР может меняться и статическая проводимость образца из-за изменения концентрации n или времени релаксации t за счет увеличения энергии носителей при резонансе. В этом случае вместо обычно используемой регистрации ЦР по изменению уровня поглощенной СВЧ-мощности можно использовать изменение сопротивления образца, включенного в цепь постоянного тока. Образец снабжается контактами, которые могут быть использованы для подачи на него напряжения смещения.

Наиболее чувствительными методами регистрации являются балансные, то есть такие, в которых при отсутствии исследуемого эффекта отклика системы нет, например способ измерения поглощенной (отраженной) СВЧ-мощности при изменении концентрации носителей, вызванном модуляцией возбуждающего их света, - ведь на высокой частоте при отсутствии резонанса проводимость, а следовательно, поглощение (отражение) мощности СВЧ вообще не меняются и сигнал в цепи детектора равен нулю. При регистрации ЦР "по постоянному току" (на самом деле, конечно, измерением изменения проводимости при резонансе в низкочастотной цепи на частоте модуляции, используемой при синхронном детектировании) метод модуляции проводимости светом перестает быть балансным - в цепи регистрации вне резонанса будет просто измерена фотопроводимость образца на используемой частоте модуляции. Поэтому для осуществления балансного метода регистрации в случае непосредственной регистрации изменения статической проводимости применяется не модуляция света, а модуляция мощности СВЧ - вне резонанса поглощения практически нет.

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Приведем несколько примеров исследования ЦР.

1. Анизотропия эффективных масс приводит к необходимости исследовать поглощение в зависимости от ориентации кристалла. На рис. 3, а и б приведены типичные резонансные кривые, полученные в [4] для кристаллов германия и кремния. Образец вырезался так, чтобы его поверхность совпадала с кристаллографической плоскостью (110). Вращением достигалась такая ориентация образца, что внешнее магнитное поле можно было направлять вдоль осей [001], [110] и [111]. Это обеспечивало полную информацию об эффекте анизотропии. Полученные данные об анизотропии эффективных масс электронов приводятся на рис. 3, в и г, экспериментальные точки сопоставляются с результатами расчета. Предполагается, что в первом случае имеется набор кристаллографически эквивалентных эллипсоидальных поверхностей равной энергии, ориентированных вдоль направлений (111), во втором случае - вдоль направлений (100).

Расчет анизотропии масс дырок (рис. 3, д и е) более сложен, и мы на нем останавливаться не будем. Видно, что результаты эксперимента также хорошо соответствуют теории.

2. Вклад процессов рассеяния в уширение линии ЦР зависит от средней энергии носителей %: dwc = t-1(%). При низких температурах существенно рассеяние на акустических фононах и примесных атомах. При рассеянии на заряженных примесях t(%) возрастает, для акустических колебаний убывает, для нейтральных примесей практически не зависит от %. Поэтому в первом случае (а также при межэлектронном рассеянии) с ростом % линия сужается, во втором расширяется, в третьем полуширина остается неизменной. С ростом % акустическое рассеяние становится преобладающим. При увеличении СВЧ-мощности Р растет напряженность микроволнового электрического поля на образце и, как и при разогреве носителей заряда в постоянном электрическом поле, меняется их подвижность за счет уменьшения t (такие носители называют горячими). При умеренных значениях рассеяние импульса обусловлено вынужденным взаимодействием с акустическими фононами (t1 ? Е 0,5 ? Р 0,25), в сильных полях - спонтанной эмиссией фононов (t1 ? Е 0,8 ? Р 0,4). Эксперименты по ЦР полностью подтверждают предсказания теории.

Рисунок 4 иллюстрирует сказанное. Эксперименты выполнены на Ge при Т = 4,2 К на частоте ~10 ГГц (длина волны ~ 3 см). Образец вырезали в плоскости (110) и помещали в резонатор так, чтобы вектор лежал в плоскости (110). Исследовали разогрев тяжелых дырок при ориентациях магнитного поля || [100] и || [111]. При || [111] для сравнения производили разогрев электронов. Греющее СВЧ-поле на образце изменялось от # 0,1 до 15 В/см. Носители возбуждались светом от лампы накаливания, модулированным с частотой 1000 Гц. На рис. 4, а видна трансформация линий ЦР электронов и дырок с разогревом, на рис. 4, б представлена зависимость dw(Р ) для электронов и тяжелых дырок. Видно хорошее совпадение эксперимента с теорией.

Обращает на себя внимание изменение формы линии по мере разогрева. Формула (4) описывает линию резонанса в случае t = const, которую называют лоренцевой. При разогреве t меняется по мере изменения энергии и, следовательно, частоты w. Форма резонансной кривой при достаточно сильном разогреве усложняется: кривая приобретает характерную прямоугольную форму: сравнительно плоский участок вблизи точного резонанса и резко спадающие края (такие кривые часто называют гауссовыми). Эксперимент полностью подтверждает это.

Мы ограничились одним примером применения ЦР для исследования механизмов рассеяния. На самом деле возможности в этой области очень велики. С помощью ЦР изучаются анизотропия t, влияние взаимодействия носителей различных групп, детали рассеяния на примесях, влияние квантовых эффектов на рассеяние и др.

3. Как отмечалось, обычно ЦР регистрируется по изменению отраженной (или прошедшей) мощности СВЧ. При этом зависимость поглощения от частоты Р(w) имеет вид резонансной кривой, форма которой может несколько меняться в зависимости от интенсивности падающего излучения. Выше уже упоминалось, что ЦР можно наблюдать и по изменению статической проводимости s. Этот метод в ряде случаев обладает достоинствами, в частности тем, что детектором служит сам образец. Важными особенностями метода являются возможность появления линий, форма которых радикальным образом отличается от обычных резонансных кривых, изменение этой формы и даже знака отклика в зависимости от внешних условий (освещенности, температуры, величины электрического поля и т.д.). Это изменение знака будем называть инверсией отклика.

В результате резонансного поглощения энергия электронов (дырок) % возрастает. При этом меняются их подвижность m и концентрация n и, следовательно, статическая проводимость образца s изменяется - возникает отклик ds. Если меняется только подвижность m, то отклик ds можно записать как

здесь d % > 0 - изменение %, резонансным образом зависящее от частоты.

Если меняется только концентрация n, то

Знаки производных, входящих в выражения для ds, зависят от механизмов рассеяния и рекомбинации, соотношения между концентрациями электронов и дырок (оно, вообще говоря, зависит от интенсивности освещения), уровня СВЧ-мощности, параметров образцов и температуры.

На рис. 5 приведены примеры изучения таких кривых, реализованных в Gе при Т = 4,2 К в диапазоне волн от 8 до 0,8 мм (на частотах 36, 72, 150 и 360 ГГц). Образцы Ge, снабженные токовыми, потенциальными и холловскими контактами, помещались в полости сверхпроводящего соленоида, создающего магнитное поле до 40 кЭ. За образцом монтировался детектор из n-InSb, используемый для индикации ЦР в Ge "на проход". Одновременно с помощью контактов можно было регистрировать ЦР по изменению статической проводимости и проводить гальваномагнитные измерения на постоянном токе. Применялось как межзонное, так и термическое возбуждение носителей. В первом случае был использован p-Ge с суммарной концентрацией примесей Nд + Nа ~ 1013 см- 3 и Nд / Nа ~ 0,8, во втором случае n-Ge с Nд ~ 1012-1014 см- 3 и Nа ~ 1012 см- 3 (индексы д и а относятся к донорам и акцепторам соответственно). На рис. 5, А приведена зависимость ширины линии электронов от интенсивности света, полученная с помощью детектора из n-InSb. Стрелками показаны относительные направления электронного и дырочного пиков в различных частях кривых при индикации по изменению статической проводимости. Рисунок 5, Б иллюстрирует эволюцию формы линий (первой считается инверсия при большой интенсивности света для кривой 1 на рис. 5, А ). На рис. 5, Б (слева) с изменением Н меняется соотношение между концентрациями электронов и дырок, справа - механизм рассеяния.

Проведенное обсуждение явления ЦР поневоле ограничено лишь элементарной теорией и простейшими экспериментами в наиболее распространенных полупроводниках. Практически ничего не говорилось о квантовых эффектах, наблюдаемых на высоких частотах в сильных магнитных полях, которые, в свою очередь, влияют на ширину и интенсивность исследуемых линий, приводят к появлению гармоник циклотронного резонанса и другим эффектам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Блюменфельд Л.А., Тихонов А.Н. Электронный парамагнитный резонанс // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 9. С. 91-99.

2. Воронов В.К. Ядерный магнитный резонанс // Там же. 1996. ╧ 10. С. 70-75.

3. Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики: Электродинамика. М.: Просвещение, 1990. 320 с.

4. Дресселхауз Г., Кип А., Киттель Ч. Циклотронный резонанс электронов и дырок в кристаллах кремния и германия // Проблемы физики полупроводников. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. С. 599-626.

5. Гершензон Е.М. Субмиллиметровая спектроскопия // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. ╧ 4. С. 78-85.

6. Гершензон Е.М. Субмиллиметровая спектроскопия полупроводников // Там же. ╧ 5. С. 110-117.

Рецензент статьи А.С. Сигов

* * *

Евгений Михайлович Гершензон, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой Московского государственного педагогического университета, член-корреспондент РАО. Лауреат Государственной премии СССР. Автор более 400 научных работ, монографий, учебников.