по всем промежуточным конфигурациям 6), в квантовал теории ему подчиняются не сами вероятности, а амплитуды Л (такие, что Рай = |Лай|2): Аас = ^АаЬАЬс. Матсм.
∙ч
оформление этого утверждения эквивалентно введению функционального интеграла :по значениям обобщ╦нных координат в момент времени t на всех возможных траекториях системы. Все результаты обычной к пантовой динамики получаются тогда из постулата, что фаза амплитуды есть классич. действие, измеренное и
единицах & : Aai;^exp(iSab/k).
Фейнмановский функциональный (континуальный) интеграл широко используется также в квантовой теории ноля.
В квазиклассич. приближении, когда фазы S/rl велики, оси. вклад в континуальный интеграл да╦т область, где фаза стационарна, т, е. 8S ≈ 0 при вариации траекторий. Т. о., принцип наим, действия для классич. траекторий оказывается следствием квантовой динамики.
Лит.: 1) Ландау Л, Д., Лифшиц Е. М., Механика, 4 изд.. М., 1988; и х ж е, Теория поля, 7 изд., М., 1388; 2} Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; 3) Медведев Б. В., Начала теоретической физики, М., 1977; 4) Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных нолей, 4 изд., М., 1984; 5) Б е р е з и л Ф. А., Метод вторичного квантования, 2 изд., М., 1986; 6) С л a D и. о в А. А., Ф а д-д е t: и Л. Д., Введение н кшштовую теорию калибровочных лолой, 2 изд.. М., 1988. Б. В. Медведев, В. П. Паяло*.
ЛАГРАНЖИАН (Л?) ≈ плотность Лагранжа функции. L (г), L (0≈ \ dx*G (t, x); играет фундам. роль в лаграп-
жевом формализме для полевой системы. Заданно Л. полностью определяет ур-ния движения и сохраняющиеся динамич. величины. Л. является функционалом полейт и вид этого функционала в значит, мерс фиксируется физ. требованиями локальности, релятивистской инвариантности, инвариантности относительно групп внутренних симметрии* Благодаря локальности функционал сводится к ф-ции нолей фа (х) и (обычно) их первых производных, взятых в одной и той же пространственно-временной точке £≈ (г, лс). Строго говоря, требования инвариантности налагаются не на сам
Л., а на действие S= \ X (x)dx, В зависимости же
J
S от % имеется произвол: добавление к J2? полной
производной любой ф-ции /(г), обращающейся в 0 на границе области интегрирования Йт не меняет S, a также ур-ний движения и выражений для сохраняющихся динамич. величин. В релятивистской теории S и (с точностью до этого произвола) X являются скалярами относительно преобразований Пуанкаре группы. В теории тяготения Л. есть скалярная плотность. В случае внутр. симметрии требования инвариантности не так универсальны: выбор группы симметрии по существу фиксирует модель, описывающую определ. круг физ. явлений. Напр., группой внутр. симметрии, скаляром относительно к-рой должны быть действие и Л., для электродинамики является t/(l), ДЛЯ теории электрослабого взаимодействия ≈ $ U (2)($U (I) , для квантовой хромодинамики ≈ ∙ Sf/(3). На языке теории групп в качестве Л. можно взять любую ф-цию Казимира операторов соответствующей группы. Далее выбор Л. определяется соображениями простоты: чтобы ур-ния движения были дифференциальными но выше 2-го порядка, суммарная степень производных в отд. слагаемых в Л. не должна превышать 2. В реальных ситуациях этих принципов отбора вс╦ же не хватает для однозначного выбора Л. В общем случае Л. оказывается полиномом по полям и их производным. Билинейная по ним часть в Л. (кинетические плюс массовые члены) наз. свободным Л., а остальные члены образуют Л. взаимодействия.
В квантовой теории поля Л, становится оператором, и его выражение через операторы нолей требует доопре-
(см. Нормальное произведение), Л. взаимодей-стшш участвует в построении матрицы рассеяния', перенормировка добавляет к нему контрчлены. Взаимодействие с внегп. классич. током /д (х) описывается добав-
лением к Л. члена ^/а(я)фя(з)-
а
Принципиальное для квантовой теории поля требование перенормируемости налагает новые ж╦сткие ограничения на вид Л.; в большинстве реальных моделей остающаяся свобода сводится к выбору небольшого числа констант (масс и констант взаимодействия).
,'lum. см. при ст. Лагргшисев формализм. Б. П. Павлпв.
ЛАГРАНЖИАН ЭФФЕКТИВНЫЙ в квантовой
теории поля ≈ лагранжиан, в к-ром учтено в огранич. области энергий взаимодействие лишь части из полного числа степеней свободы, содержащихся в исходном фундам. лагранжиане квантовой теории поля (КТП). При этом «лишние» степени свободы, содержащиеся в фундам. лагранжиане, либо вообще не возбуждаются и могут по учитываться при построении Л. а., либо, через вакуумные флуктуации, определяют вид взаимодействия полей в Л. э. Практически любой из известных лагранжианов может рассматриваться как эффективный с точки арения более глубокой теории. Поэтому Л. э. является одним из важнейших понятий КТП.
Процедура построения Л. э. состоит в исключении лишних степеней свободы из исходного лагранжиана. Исключение может производиться разными способами, напр, с помощью интегрирования по этим степеням свободы в функциональном интеграле (что соответствует суммированию по их вакуумным флуктуациям) или с помощью техники операторного разложения. В адронпой физике, где явное исключение лишних степеней свободы, как правило, оказывается невозможным, методика построения Л. э. основывается па использовании принципов симметрии.
Л. э. применяется для вычислений в ипзкоэнерготич. адронной физике, при описании слабого взаимодойст-внят в сочетании с операторным разложением он находит широкое распространение в квантовой хромодина-.чике (КХД). В практич. вычислениях последовательно использовать Л. э. можно только в 1-м порядке теории возмущений. Это, в частности, связано с тем, что при уч╦те входящих в Л. э. взаимодействий в высших порядках приходится учитывать (в промежуточных состояниях) возбуждение тех степеней свободы (напр., компонент полей с большими импульсами), к-рых нет \\ первоначальном Л. э. Т. о., учет высших приближений, как правило, приводит к выходу за рамки применимости первоначального Л. э. Исключение составляют перенормируемые Л. э. (см. Перенормированная теория возмущений), итерация к-рых при описании низко эпсргетич. процессов является непротиворечивой. Boo известные реалнстич. лагранжианы (лагранжианы КХД и электрослабога взаимодействия) являются перепорми-руемыми Л. э, С точки зрения более глубокой КТП (напр., с точки зрения моделей великого объединения).
Исторически первым примером Л . э. , непосредственно полученного из исходного фундам. лагранжиана, явился Гейзенбсрга ≈ Эйлера лагранжиан (ГЭЛ), описывающий нелинейное взаимодействие низкоэнергетич. компонент эл.-магл. ноля, возникающее за счет суммирования по вакуумным флуктуациям электрон-позитронного поля в лагранжиане квантовой электродинамики. Характерной величиной
напряж╦нности поля в ГЭЛ является I'\=m2c3/e1lt где е и т ≈ заряд и масса электрона (^2/^с=а^1/гз7), В полях такой напряж╦нности заряд е на расстоянии
KoMiiTOiiOBCHuH длины электрона^ г^-Хс ≈ и/тс, приобретает энергию ~тс2. ГЭЛ получен для медленно ме-
и
х
CL
<
няющихся поле с характерными частотами поэтому он яг-ляется ф-цией только отношений
545
435 Физическая энциклопедия, т. 2
