<
542
ЕДЫ среды друг от друга (этими параметрами могут быть значения координат хп, yfi> s0 в нек-рый момент времени £0), X, У, Z ≈ проекции объ╦мных сил, р ≈ давление, р ≈ плотность. Получены Ж. Лагранжем (J. Lagrange) ок. 1780.
Решение общей задачи гидромеханики в переменных Лагранжа сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить х, у, 2, р, р как ф-ции времени и параметров дь да, я3. Для решения этой задачи необходимо к ур-ниям (1) присоединить 'ур-ние неразрывности, имеющее в неременных Лагранжа вид
дх ди дг
а3,
дх дау
a?
Для отыскания закона движения ур-ниямгг (2) пользуются редко, т. к. интегрирование системы 3n~hA ур-ний, когда п велико, связано с большими трудностями. Однако если закон движения будет найден другим пут╦м (напр., с помощью ур-ний Лагранжа 2-го рода), то по ур-ниям (2), в к-рых левые части известны, можно определять реакции связей.
2) Лагранжа у равнения 2-го рода ≈ дифференциальные ур-ния движения механич. системы, в к-рых параметрами, определяющими положение системы, являются независимые между co6oii обобщ╦нные координаты. Для голономных систем Л. у. 2-го рода имеют в общем случае вид
d tit
i = l, 2, ..., s),
(3)
[] &at
0й, да.
(2)
и ур-ние состояния р=/(р) для баротропного движения или р ≈ const для несжимаемой жидкости. Бели зависимости х, у, z от «!, «2, д3, t найдены, то траектории, скорости и ускорения частиц определяются обычными методами кинематики точки.
Обычно при решении задач гидромеханики пользуются Эйлера уравнениями. Л. у. применяются гл. обр. при изучении нестационарных движений, в частности колебат, движений жидкости, в нек-рых вопросах теории турбулентности.
Лит. ем. при ст. Гидроаэромехпника. С. М. Taps.
ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ механики. 1) Лагранжа уравнения 1-го рода ≈ дифференциальные ур-ния движения механич. системы, к-рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж, Лагранжем в 1788. Для голопомной системы, состоящей из п материальных точек, на к-рую наложено k связей вида
fi&i, Vi, *ь -. .; *└, уп, гя; 0 = 0 Л. у. 1-го рода имеют вид
= 1, 2, ..., k), (1)
= Fv
VX
л), (2)
где q,- ≈ обобщ╦нные координаты, число к-рых равно числу s степеней свободы системы, q,- ≈ обобщ╦нные-скорости, Qf ≈ обобщ╦нные силы.
Для составления ур-ний (3) надо, выбрав q , определить кинетич. энергию системы в е╦ движении относительно иперциалъной системы отсчета и выразить
эту величину явно через q,- и £/, т. е. найти 2" (д/, д/, О» время войд╦т сюда при нестационарных связях. Значения Qi находятся по заданным (активным) силам, в число к-рых при неидеальных связях включают и силы трения. С матем. точки зрения ур-ния (3) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных ур-ний 2-го порядка относительно координат ?,-; интегрируя эти ур-ния и определяя постоянные интегрирования по нач. условиям, находят д,-{2), т, е. яакои движения системы в обобщ╦нных координатах.
По сравнению с ур-ниями в декартовых координатах (см., напр., ур-ния Лагранжа 1-го рода) ур-нин (3) обладают тем важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему материальных частиц ила тел; кроме того, при идеальных связях из ур-ний (3) автоматически исключаются все напер╦д неизвестные реакции связей. Л. у. 2-го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач» широко пользуются для изучения движения разл. механич, систем, в частности в динамике механизмов и машин, в теории гироскопа, в теории колебаний и др.
Для неголономной системы, на к-рую, кроме геом. связей, учитываемых выбором координат q , наложено ещ╦ k дифференциальных связей, выражаемых равенствами
ft
Лк1-«/ = 0 (и = 1, 2, ...,*), (4)
Л. у. 2-го рода принимают вид
k
где mv ≈ массы точек системы; xv, j/v t 2V ≈ координаты этих точек; Fvx, FVy, Fvz ≈ проекции приложен-ных к каждой точке активных сил; X/ ≈ неопредел╦нные множители, пропорциональные реакциям соответствующих связей; t ≈ время. Аналогичные ур-ния могут составляться и для нег&лономных систем. Ур-ния (2) совместно с (1) дают систему Зп-j-fc дифференциальных ур-ний, из к-рых находятся 3« неизвестных ф-ций #v (0) #v (01 zv (*)> дающих закон движения точек системы, и k множителей Д. (£), позволяющих определить проекции реакций связей по ф-лам
≥ О Л ≥
дТ
дТ
.it
∙ t о
1 = 1, 2, ...,
и-1
i=\
Ур-ния (5) совместно с (4) дают возможность определить s неизвестных координат д, и k напер╦д неизвестных множителей JIK как ф-ции времени.
В физике особое значение имеет та форма Л. у., к-рую они принимают в случае голономной системы, находящейся под действием одних только потенц. сил (см. Консервативная система). Если ввести ф-цию Лагранжа (лагранжиан) L, равную в этом случае разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы:
^v,-=
02,
то, т, к. для потенц. сил Qf=≈dl\/dq^ равенства примут вид
d / dL \ dL
