Ш
О
X ш
CD
и
О
Эй
представляющее собой универсальную модель для описания одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией бел диссипации, в к-рых закон дисперсии для линейных воли описывается двумя членами разложения по степеням волнового числа k\ со≈ s/c(t + e&2). Предложено Д. Кортевегом (D. Korteweg) и Г. де Фри-сом {G. de Vries) в 1895 в связи с задачей о волнах на поверхности жидкости. К,≈ де Ф. у. описывает маг-нитозвуковые и ионно-звуковые волны в плазме, акустич. волны в кристаллах, поверхностные и внутр. волны в океане.
Для К- ≈ де Ф. у. найдены точные решения разл. вида, одно из осн. ≈ солитон, или уедин╦нная волна,
ы = 2ха ch-2 [к (х ≈ 4х2г≈ *└)],
амплитуда солитона х2 и положение его центра х0 ≈ произвольные постоянные. Убывающее при х-*- ± со нач. возмущение, эволюционируя согласно К. ≈ де Ф. у., распадается на ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при *->-оо вычисляется по нач. данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К. ≈ де Ф. у. бесконечные наборы точных решений, простейшим является ТУ-солптокное: w≈ 2021пД/&г8, где Д ≈ определитель матрицы
в Бюргерса ≈ Кортевега ≈ де Фрпса уравнение
х/, Mf (1=1, 2, . . ,, N) ≈ произвольные пост., 6,-у ≈ единичная матрица. При t-*-±oo JV-солитонное решение распадается на N свободных солитонов с параметрами х/. В процессе взаимодействия соли/гоны испытывают упругие столкновения, приводящие к сдвигу их центров. Полным сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при парных столкновениях.
Простейшим периодич. решением является бегущая кноидальная волна, описываемая эллиптич. косинусом cn(z≈ ci), с чем и связано е╦ название:
здесь с, Е ≈ параметры волны. При Е-»-0 кноидалъвая волна переходит в набор периодически расположенных солитонов.
К.≈ до Ф. у. допускает также автомодельные решения (см. Автомоделъиость), к-рые выражаются через решения Пенлеве уравнений. Для построения и преобразования решений К.≈ де Ф. у. можно использовать Беклунда преобразования.
К.≈ до Ф. у. имеет бесконечный набор интегралов движения
S
(и, и
х,
п ≈ U, 1t Z, ...f
где Рп ≈ полином от ф-ции и и е╦ производных, в
частности /*о=«; PI=UZ; Р2=и3~ к!/2; Ps= (uxX~\-H-5uux+5ii2)/2. При помощи функциональной производной б/бм К. ≈ де Ф. у. можно записать в виде
откуда следует, что оно является гамилыпоновой системой с ф-цией Гамильтона /2 и скобкой Пуассона
СР
6u ax
Поскольку {Int /ш}=0, можно показать, что К.≈ де Ф, у,≈ интегрируемая гамильтонова система, и явно ввести переменные: действие ≈ угол. Гамильтонова структура (1) не является единственной, выбором скобок' Пуассона можно сделать ф-цией Гамильтона любой из интегралов /п.
Рассматривают также «высшие К.≈ де Ф. у.»:
)д/п/ди = 0, Я=г3, 4, ....
,fQ их свойства аналогичны свойствам обычпого К.≈ де 4ОО ф. у. В диссипативных средах К.≈ де Ф. у. переходит
(2)
к к-рому (в отличие от К. ≈ де Ф. у. и Бюреерса уравнения) точные методы не применимы. Стационарные решения ур-ния (2) описывают структуру ударных волн в средах с дисперсией, в частности бесстолккоби-телъных ударных волн в плазме, В двумерном случае К. ≈ де Ф. у. переходит в Кадомцева ≈ Петвиашвили уравнение.
Лит.: У и а е м Д ж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977; Теория солнтонов, Метод обратной задачи, М., 1980. Б. Е. Захаров,
КОСВЕННОЕ ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (не-прямое обменное взаимодействие) ≈ обменное взаимодействие между спиновыми степенями свободы локализованных электронов (или атомных ядер) через возмущение др. электронной подсистемы: диамагнитных ионов (лигандов), окружающих магн. ионы в магнитных диэлектриках, либо электронов проводимости в полупроводниках и металлах [1].
В ранних опытах по адиабатич. размагничиванию парамагнитных солей (30-е гг. 20 в.) было обнаружено, что магн. моменты ионов d- или /-элементов (имеющих незаполненные d- или /-электронные оболочки в атомах) оказываются не вполне свободными даже в тех случаях, когда ионы разделены диамагнитными группами (ионы галоидов, молекулы воды и др.) и перекрытие d(/-}-волповых функций (орбиталей) на разных узлах кристаллической реш╦тки пренебрежимо мало. Тем самым, хотя обменная связь существует, прямое обменное взаимодействие (в духе модели Гайтлера ≈ Лондона ≈ Гейзенберга для молекулы Н2) в этом случае является чрезвычайно слабым. X. А. Крамере (Н. А. Кгатегз), опираясь на идею Ф. Блоха (F. Bloch), в 1934 показал, что обменная связь магн. ионов, окруж╦нных диамагнитными ионами, может осуществляться через виртуальные возбуждения диамагнитной подсистемы кристалла. Ф. Андерсон (Ph. Anderson) в 1950 развил эту идею и применил е╦ к объяснению антиферромагнитных свойств соединений d-металлов типа МпО. Природу К, о. в. Крамерса ≈ Андерсона (т. н. с в е р х-обменного взаимодействия) можно пояснить на простой задаче «тр╦х центров, четыр╦х электронов*, являющейся предельной идеализацией случая МпО (ряс.). Из рис. видно, что виртуальные процессы, обусловливающие К. о, в., таковы: перескок электрона из заполненной оболочки лигаыда (иона О2 - ) в ^-оболочку магн . иоиа Mn2 + (6) ; переворот спинов оставшегося электрона лиганда и спина d-электрона др. магн. иона вследствие прямого обменного взаимодействия (е); перескок d- электрона из оболочки первого иона обратно в оболочку лиганда. Тем самым возиикает выигрыш в анергии осн. состояния системы с антипараллельными спинами относительно состояния с параллельными спинами, в к-ром один из процессов б или в невозможен. Возникающая зависимость полной энергии кристалла от суммарного спина в данном случае благоприятствует антиферро-магнитиому упорядочению магн. моментов. Величина К. о. в. Крамерса ≈ Андерсона порядка е4, где е ≈ параметр перекрытия волновых d-ф-щш парамагнитного иона и волновых ф-цнй электронов - лиганда. Теория К. о. в. Крамерса ≈ Андерсона при применении к реальным кристаллам требует рассмотрения большого числа промежуточных возбужд╦нных состояний, слагаемых высших порядков но в и т. Д. Андерсон в 1959 предложил поэтому др. подход [2], в к-ром на первом этапе в рамках теории поля лигандов (внутр икр металлического поля) определяются волновые ф-ции магн. иоиа в диамагнитном окружении без уч╦та обменных взаимодействий с др. магн. ионами; при этом d-ф-ции оказываются медленно спадающими с расстоянием за сч╦т примеси состояний электронов лигандов. На втором этапе рассматриваются обменные
