координатном представлении вид гауссова волнового пакета (см. Гаусса распределение):
21* 2*1 2
Здесь I ≈ (А/тш)1''*, a ≈ любое комплексное число, действит. часть к-рого связана со ср. значением оператора координаты (л-) в состоянии | a>: Re a ≈ = (а|аг|а)/к 2 ?, а мнимая ≈ со ср, значением оператора
импульса (р}: 1т а.=1(а\р\а}/{^2 А. Т.о., положение центра хс гауссова пакета в К. с. определяется числом а:
хс≈\ 2 I Re а. В импульсном представлении волновал ф-цил К. с. также имеет вид гауссова пакета:
К. с. |а) образуют полную, точнее переполненную, систему векторов состояний; разложение единичного
оператора / имеет вид
j __ _ |
Произвольный вектор состояния ложен по К. с.:
может быть раз-
*ff
-«-'И
- 00
Хехр
a
, 2ft* 2 ' fc 2 у
Вместо- операторов х к р удобно ввести операторы уничтожения a u рождения а + :
r
(кроет означает эрмитово сопряжение)* Название one-
л
рати ров связано с тем, что действие а+ на состояние jft) гармонич. осциллятора с заданной энергией #п=
≈ wtrt+Vz) (л ≈ О, 1, 2, . . .) переводит осциллятор в возбужденное состояние |п-[-1}, увеличивая его энер-
гию па квант энергии Atw, а действие а на | п) уменьшает его энергию на этот же квант,
К. с. |а) является собственным состоянием оператора уничтожении:
Оно получается действием унитарного оператора D (a) ~ ≈ ехр(ай+ ≈ а*а) на вектор осн. (вакуумного) состояния |0>, |ос>^Й (а)[0>, alO)=G (зв╦здочкой помечено
л
комплексное сопряжение). D (а) наз. оператором сдвига, т. к. он смещает центр волнового пакета на величину
У" 2 ос/.
Скалярное произведение двух векторов К. с. (или матричный элемент единичного оператора в представлении К. с.) имеет вид
2 2 [
п не равно нулю при а=?^Р, т. е. К. с. ыеортогоналыш. Однако квадрат модуля скалярного произведения
очень быстро стремится к пулю при |а≈ р|>1, что физически отвечает уменьшению перекрытия двух волновых пакетов, центры к-рых раздвигаются (поскольку а и р определяют центры этих пакетов).
По состояниям \п) с заданной энергией К. с. разлагается в ряд:
71 =
Это означает, что exp (|a|2/2)la) является производящей ф-циеи для состояний |/г).
Ср. значение энергии осциллятора в К. с. ]«} определяется ф-лой
В квантовой теории поля система частиц с целым спи-IIOM ≈ бозонов (фотонов, д-мезонов и т. д.) ≈ описывается как бесконечный набор квантовых гармонич. осцилляторов. Возбужд╦нному состоянию осциллятора \п} отвечает при этом совокупность и бозонов с энергией ;. со. В этом случае оператор уничтожения а уменьшает, а оператор рождения а+ увеличивает число частиц в системе на единицу.
К. с. квантованного эл.-магн. поля (и других бозе-полей) вводятся на основе представления гамильтониана поля в виде суммы гамильтонианов гармонич. осцилляторов, отвечающих разл. модам колебаний ноля. Для моды определ. частоты и поляризации ал.-магн. поля К. с. описывается привед╦нными выше ф-лами, при этом в К. с. число фотонов неопредел╦нно, а распределение по числу фотонов является распределением Пуассона. Если осе осцилляторы поля находятся ь К. с., то состояние квантового поля наиб, близко к классическому.
Важность К. с. п финике обусловлена тем, что во ми. случаях физ. квантованные поля находятся именно в таких состояниях. Напр., классич. ток, создаваемый движущимися электрич. зарядами, излучает фото-иы, находящиеся в К. с. Инфракрасная расходимость в квантовой электродинамике объясняется и устраняется уч╦том того, что квантованное поле в случае малых частот находится в К. с. При точном квантовомеха-нич. описании когерентных источников света с необходимостью возникают К, с. эл.-маги. поля. Свойства сверхтекучести и сверхпроводимости также могут быть объяснены тем, что соответственно сверхтекучая компонента в жидком гелии и купсровские пары в сверхпроводниках находятся в К. с. Это же относится и к др. явлениям с упорядоченном.
Для произвольных квантовых систем С 7V степенями свободы К. с. вводятся по след, схеме. Находятся
N неэрмитовых интегралов движения А,-= U (t}aiU^l(t) с бозопными коммутац. соотношениями [Л/, Л ]=6,i/f,
где U (0 ≈ оператор эволюции системы, переводящий вектор состояния» заданный в нач. момент времени,
1440)), в вектор состояния [Т (t)}=U(t)\V (0)); а;≈ оператор уничтожения, действит. и мнимая части к-рого определяют нач. точку траектории системы в фазовом пространстве ср. координат и импульсов (6;^ ≈ символ Кронекера). Затем находится нормированный вакуумный вектор (вектор осн. состояния) из решения системы
ур-ний Д,'|0)=0. Действием на этот вектор оператора сдвига строится К, с.:
JV
«> - Ц ехр (ее/ Af ≈
\ 0>,
а.
а распределение по уровням энергии является рас пределением Пуассон»;
При этом эволюция К. с. зада╦тся ф-лой
__└-Ш'/2
удовлетворяющее временному ур-нию Шр╦дингера. Для квантовых систем общего вида ср. изменения координат и импульсов, вообще говоря, не соответствуют классич. траекториям, а волновые ф-ции в К. с. являются гауссовыми пакетами только в нач. момент времени ≈ произведение неопредел╦нностей коорди-
наты и импульса не оста╦тся со временем равным L
ш О
X
X ш
О.
393
