3) С К.≈Г. к. тесно связаны З/-СИМБОЛЫ Битера:
(5)
к-рые обладают более простыми свойствами симметрии Haii р.,
^ ^
/и.
т
h
;(*)
где а={ ≈ 1)Л+Л+/. Имеются также нетривиальные симметрии З/-СИМБОЛОВ, отличные от (*) и установленные Редже (см. [6]). Зу-символы представляют собой амплитуду вероятности того, что три угл. момента /ь )2 и / складываются в полный угл. момент, равный нулю. С этим и связана их высокая симметрия. Табл. 3/-символов см., напр., в [2, 7].
Обобщением 3;'-символов являются т. н. 3/г/-символы, к-рые появляются при рассмотрении разл. схем сложения (?г-|-1) угл. моментов.
4) К. ≈ Г. к. возникают в разложении произведения двух 27-ф-ций Вигнера, описывающих преобразование волновой ф-ции частицы с угл. моментом ji при вращениях системы отсч╦та:
Лаук Д ж.. Угловой момент в квантовой физике, пер. с англ., т. 1≈2, М., 1984; 6) Смород и некий Я. А., Ш е л е R и н Л. А,, Коэффициенты Клебша ≈ Гордана с разных сторон, «УФН», 1972, т. 106, с. S; 7) Э д ы о н д с А., Угловые моменты в квантовой механике, в сб.: Деформация атомных ядер, пер. с англ., М., 1958. В. С, Попов.
КЛЕЙНА ≈ ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ (Клейна ≈
Гордона ≈ Фока уравнение) ≈ простейшее релятивистски-инвариантное ур-ние, описывающее свободное скалярное (или псевдоскалярное) поле физические. Впервые получено в 4926 Э. Шр╦дивтером {как релятивистское обобщение Шр╦динеера уравнения) и независимо О. Клейном (О. Klein), В. А. Фоком и В. Гордоном (W. Gordon). В квантовой теории поля применяется для описания частиц со спином 0. В Минковского пространстве-времени. К. ≈Г. у.≈ линейное однородное диффе-ренц. ур-ние 2-го порядка: (С\-\-гп*}у(х)≈0, где Г] ≈ Д'Аламбера оператор, т ≈ масса частицы, ср ≈ полевая ф-ция или е╦ компоненты в пространстве внутренней симметрии, (Я=(.ЕО, а?) ≈ точка пространства-времени; используется система единиц, в к-рой А=с=1). Решение К.≈Г. у. записывают в виде разложения но плоским волнам:
-.-,
(g) =
где p~{pj, р) ≈ 4-импульс, рх≈р°х°≈рх
Здесь g ≈ произвольный элемент вращений группы £<9(3), определяемый, напр., тремя углами Эйлера; связь между исходной волновой ф-цией -ф и волновой
ф-цией ^ в пов╦рнутой системе отсч╦та имеет вид
т-2, ∙ ∙ ., -8
Из (6) вытекает, что интеграл от произведения тр╦х D-ф-ций (в частности, от тр╦х полиномов Лежандра) выражается через К, ≈ Г. к.
5) Одним из наиб, важных физ. приложений К. ≈ Г. к. является теорема Вигиера ≈ Эккартао виде матричных элементов тензорных операторов:
</'"' I TJM \ i≥> = C╧'JM <
Здесь TJM ≈ неприводимый тензорный оператор ранга У, имеющий 2/Н-1 компонент (М≈ /, / ≈ 1, . . ., ≈ J) и преобразующийся при вращениях так же, как волновая ф-ция состояния с моментом /, т. е. по неприводимому представлению D(J) группы 50(3); (]' \\ Tj\\j) ≈* привед╦нный (редуцированный) матричный элемент, к-рый уже не зависит от проекций mL, mz и М п является инвариантом относительно вращений. Замечат. особенностью теоремы Вигнера ≈ Зккарта является явное отделение теоретико- групповых аспектов оператора TJM [связанных с К. ≈ Г. к. ф-лой (7)] от его сиец. свойств, зависящих от конкретной физ. задачи (привед╦нные матричные элементы, к-рые не могут быть вычислены в общем виде}.
При сложении более двух моментов применяются Рака коэффициенты и Зя/-символы. Для упрощения вычислений при сложении большого числа моментов развита спец. диаграммная техника [4].
Различные свойства К. ≈ Г. к, наиб, полно изложены
в монографиях [3, 5] и в [6].
Лит.: 1) В к г н е р Е., Теории групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, пер. с англ., М,, 1961; 2) Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Б. М,, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., М., 1U74; 3) Еаршалович Д, А,, Москалев А. Н., Херсонский В. К.т Квантовая теория углового момента, Л,, 1975; 4) Ю ц п о А. П., ЛевинсонИ, Б., Вана-га с В. В., Математический аппарат теории момента количества движения, Вильнюс, i960; 5) Биденхарн Л.,
а+{р) п
положительно- и отрицательно-частотные компоненты Фурье. При каноническом квантовании а + и а~ интерпретируются как операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом р и энергией р°. В их терминах гамильтониан свободного поля имеет
вид // = (dpp°(p)a + (р)а~ (р). К.≈Г, у, удовлетворяют
компоненты любого свободного поля (сппнорного, векторного и дрО- При w=0 К.≈Г. у. переходит в Д'Алам->а уравнение. В римановом пространстве с метрикой (напр., в присутствии гравитац. поля с такой метрикой) К.≈Г. у. имеет вид
где g ≈ определитель матрицы ||£╧v||, р,, v≈0, 4, 2. 3.
Изучены К.≈Г. у. с разл. видами нелинейности (напр., синус-Гордона уравнение).
Лит.: Боголюбов Н, Н., Щ и р к о в Д, В., Квантовые поля, М., 1980. В. П. Павлов.
КЛЕЙНА ≈ НИШЙНЫ ФОРМУЛА ≈ выражение для дифференц. сечения do рассеяния фотона на электроне (см. Комптона эффект). В лаб. системе координат
1 а
о,
dQ^i
(1)
где Wj и W2" частоты падающего и рассеянного фотона, dQ2 ≈ элемент телесного угла для рассеянного фотона, 0 ≈ угол рассеяния, параметр г0=е2/тсг=2,8\х ХЮ~13 см≈ т» н, классический радиус электрона (е, т ≈ заряд и масса электрона, с ≈ скорость света). Частоты tot и Ш связаны соотношением Комптона:
(2}
(А ≈ постоянная Планка}. Ф-лу (1) впервые получили О. Клейн и И. Нишина (О. Klein, I. Nishina) в 1929 в рамках теории, использующей формальный аппарат квантовой механики и Дирака уравнение для описания релятивистского электрона. В 1930 эта ф-ла была заново выведена И. Е. Таммом.
В пределе ^,о)1<тс2 А выпадает из ф-л (1) и (2), при этом (1) переходит в классич. ф-лу Томсона, описывающую рассеяние света без изменения частоты (т. п. том-соновское рассеяние):
= -i-rj (1-f-cos2 0) dQz.
ш
375
