ходящую в классически . недоступной области, вдоль к-рой минимален модуль мнимого действия. Вероятность туинелирования и основном определяется экспоненциально малым фактором ехр ( ≈ 2|S|/&), где S ≈ мнимое действие вдоль туннельной траектории, Пред-экспоненц. множитель находится с помощью правил сшивки на каустике по известной волновой ф-ции внутри потснц. ямы.
К. п. легко обобщается на нестационарный случай, если в ф-ле (12) подразумевать под S зависящее ОТ времени действие, подчиняющееся нестационарному ур-нию Гамильтона ≈ Якоби.
К. п. можно получить на представления Фейнмана волновой ф-ции в виде интеграла по всем путям (см. Функционального интеграла метод), если считать И. малой величиной. Тогда осн. вклад в интеграл вносит малая окрестность путей, вдоль к-рых действие минимально, т. е. классич. траекторий.
К, н. можно использовать в чисто матем. целях для вычисления асимптотич. вида решений обыкновенных линейных диффсренц. ур-ний второго порядка:
друг от друга линейными комбинациями дифференциалов координат £i! да, ..., qs и выражаемые неинтегри-русмыми равенствами вида
dn; ^ afl dq± + а,-я dq? + . . . -f ais dqs (i =^ 1 , 2t . . . , s) (1)
(где ацс ≈ коэфк, зависящие от qlt q^ .,., qs), паз. дифференциалами К,, а сами я1ч л2> .-., л$ ≈ К. данной системы. Поскольку ур-ния (1) неинтегрируемы, то явных выражений для К. л, как функций qi: q^ ..., qs не существует. Если же ур-ния (1) могут быть проинтегрированы и из них можно определить я/ как ф-ции qi4 б?2, ..,, qs, то я/ будут в этом случае не К., а нек-рыми новыми обобщ╦нными координатами системы. По аналогии величины
[ср. с ур-нисм (2)1. К такому виду приводятся ур-ния для гипергеометрических функций И неК-рьгх важных частных случаев этих ф-ций (ф-ций Бесселя, Лежандра, Лагерра и др."). Асимптотич. решения этих ур-ний имеют общий вид
и подчиняются эталонным ур-ииям вблизи разл, особых точек. Если q*(x) ≈ аналитич. ф-цкя, то такие решения можно продолжить в комплексную плоскость х. Однако на нск-рых линиях в комплексной плоскости, нал. линиями Стокса, коэф. А и В могут резко меняться. В частности, из каждой точки поворота я0, в к-рой 92(^0) ≈ 0, выходят три линии Стокса под углом 120°.
/Г* \ Решение i/0, к-рое вед╦т себя как ехр I i\ qdx] на
V J я<> / биссектрисе одного из углов (убывающая экспонента),
приходит с неизменным коэф. на линии Стокса, ограничивающие этот угол. Но на третьей линии Стокса появляется пторая экспонента с коэф. ±в. Матрица, преобразующая коэф. А, В при переходе с одной линии Стокса на другую, наз. матрицей монодро-м и и. Знание этой матрицы позволяет «сшивать» ква-зиклассич. асимптотики к разных областях без детального исследования эталонных уравнений. В частности, привед╦нное правило изменения коэффициентов в окрестности точки поворота эквивалентно правилу сшивки (4).
Историческая справка. Как метод решения диффе-реиц, ур-ний. К. п, впервые применялось Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1837. Дальнейшее развитие К, и, нашло в трудах Рэлея (J. Rayleigh, 1912) и X. Джефрпса (Н. Jeffreys, 1923), В связи с задачами квантовой механики К. п. было вновь изобретено Г. Венцелем (G. Wentzel), X. Крамерсом (Н. A. Kramers) и Л. Брил-люэном (L. N. Brillouin) в 1926, вследствие чего оно часто и паз. методом ВКБ (WKB или JWKB). Крамере, в частности, установил правила сшивки вблизи точки поворота,
Квазиклассич. правила квантования были угаданы Н. Бором (N. Bohr) в 1913, за 13 лет до создания регулярной квантовой механики.
Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантоиал механика, а изд., М., 1974; Мигдал А. Б., Качественные методы н квантовой теории, М., 1975; М а с л о в В. ГГ., Ф i1-дорюк М, В., Квазиклассическое приближение для уран-нений квантовой механики, М., 1976. В* Л. Покровский,
КВАЗИКООРДИНАТЫ ≈ понятия, устанавливаемые
след, образом: если положение механич. системы определяется А- обобщ╦нными координатами qit <?2, ..., qs, то
(i = l, 2, ._..,*) (2)
(где qk~dqif/dt ≈ обобщ╦нные скорости, t ≈ время) наз. кваз и скоростям и. Поскольку явных выражений для К. я/ не существует, то со/, в отличие от обобщ╦нных (истинных) скоростей, но представляют собою производных по времени от к.-н. координат (параметров), а символ dnf/dt в равенствах (2) является лишь условным обозначением,
Использование К. и квазискоростей позволяет в ряде случаев существенно упростить вид соответствующих ф-л и ур-ний, а также выкладок, связанных с их получением. Напр., для твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки 0, проекции его мгновенной угл. скорости на связанные с телом оси Oxyz, если за обобщ╦нные координаты принять Эйлера углы tp, \|>, 0, имеют значения (см. Эйлера кинематические уравнения):
(3)
- -т;- = (sin 0 sin ф) i|)-|- (cos ф) 6,
dt
0)2
dt
* ¥
(sin 6 cos 9) -ф ≈ (sin 9) и,
с;
и
величины
dn
2,
являющиеся независимыми
Эти ур-пия, но виду аналогичные равенствам (2), не могут быть проинтегрированы и из них нельзя определить яь Jt2, Я3 как ф-ции ф, TJJ, G. Следовательно, nlt л21 лэ будут в данном случае соответствующими К., a Wj, (02, (og ≈ -квазискоростями, к-рые не могут быть выражены в виде производных по времени от к.-н. величин. Но используя 1%, ыа, со3 и приняв одновременно за оси Oxyz гл. оси инерции тела для точки Q, можно, напр., получить очень компактное выражение для ки-
нетич, энергии Т тела: 71=0,5(/1«1-[-/2<02+^дМз), где Л» ^2' ^з ≈ моменты инерции тела относительно осей х, у, z соответственно. Из равенств (3) видно, каким громоздким будет ур-ние для Г, выраженное непосредствен-
" * * _
но через координаты ф, ip, 9 и скорости ср, \[э, 0. Если же в данном случае воспользоваться ур-ниями Лаг-ранжа в К. (см. [2]), то в них вместо производных от Т
» * -
по обобщ╦нным скоростям ф, т|>, 6 войдут производные по квазискоростям с^, о)2> мз> имеющие, как видно, очень простые выражения (^71/За)1^=/1и1 и т. д.), а производные по К. itj, ic2, л3 обратятся в нули; в результате получаются очень компактные дифференц, ур-ния движения тела вокруг точки О (см. Эйлера динамические
уравнения).
Лит.: 1) Уиттекер Е. Т., Аналитическая динамина, пер. с англ., М.≈ Л., 1037, § 30; 2) Лурье А. И., Аналитическая механика, М., 1961. С. М. Taps.
КВАЗИКРИСТАЛЛ ≈ тв╦рдое тело, состоящее из атомов, к-рые не образуют кристаллич. реш╦тки, но тем не менее обладают дальним координац. порядком, проявляющимся в способности когерентно рассеивать падающее излучение (см. Дальний и ближний порядок). Дальний координац. порядок принципиально отличает К. от жидкостей н аморфных тел, а отсутствие подреше-ток ≈ от таких нестехиометрич. соединений, как т. н. алхпм. золото (Hg3_fiAsFft). Как и вещества с волнами 255
