случай медленно меняющегося р (х). Предэкспоненц, множитель обеспечивает1 закон сохранения числа частиц, т, е. независимость потока числа частиц
.'/== (2ml]
от координаты (зв╦здочка означает комплексиое сопряжение).
Решения (3) с той же точностью справедливы и в классически недоступной области £<iU(x}. Однако в этом случае величина р (х) становится чисто мнимой. Поэтому одно из решений экспоненциально убывает, а другое раст╦т по мере удаления в классически недоступную область. Эти решения описывают чисто квантовый эффект подбарьерного проникновения частиц.
Критерий (1) не выполняется вблизи класснч. точек поворота XQ, где £/Ц>)=£. Бели U (х) регулярен в точке £0, то вблизи нее ур-ние Шр╦дингера можно приближ╦нно заменить ур-нисм с линейным потенциалом U(x}~U' (x(t) (#≈ z0), к-рое сводится к ур-нию Зйри {см. Эйри функция).
Его решения:
где сом
Пусть потенциал U(х} таков, что в н╦м имеется две области классически разреш╦нного движения, одна из к-рых ограничена (рис.). Классич. частица, находящаяся в дотенц, яме, не сможет покинуть е╦. Но квантовая частица имеет отличную от нуля волновую ф-цию и в подбарьерной области. Выход частицы из потснц. ямы сквозь барьер является квантовым эффектом, наз. туинелированиеы
(туинелышм проникновением; см. Туннельный эффект}. Вероятность туннелирования за единицу времени определяется ур-нием
w ≈ v (<?) ехр
а
Т \
-МЕ), (4)
≈ любое решение ур-ния Бесселя с индек-
(см. Цилиндрические функции] и х
Замена точного ур-ния Шр╦дингера приближ╦нным вблизи нулей и особенностей ф-ции pz(x) носит назв.-метода эталонных ур-ний. Так, вблизи простого нуля ф-ции р2 (#) эталонным является ур-ние Эйри; если близкими оказываются два простых нуля, то эталонным является ур-пве параболич. цилиндра (см. Параболического цилиндра функции}', при сближении простого нуля и полюса эталонным оказывается вырожденное гипергеом. ур-ние (см. Вырожденная гипергеометрическая функция}. Во всех этих случаях известны аналитич. свойства решений эталонных ур-ний. Возможны и более сложные эталонные ур-ния, решения к-рых пока не исследованы.
Решения эталонного ур-ния (4) плавно сшиваются с квазиклассич. решениями (3), определяя тем самым правила перехода через точки поворота. В частности, то из решений (3), к-рое экспоненциально убывает в классически недоступной области, в разреш╦нной области вед╦т себя как
где v ≈ классич. частота движения частиц в по-тенц. яме. Множитель v(<?) возникает из условия нормировки волновой ф-ции в классически доступной области. Представление о квантовом туннелиронаиии и его количеств, выражение (7) были впервые применены Г. А. Гамовым (G. Gamov) для объяснения альфа-распада.
Другим сугубо квантовым эффектом является отражение потенц. барьером частицы с энергией, большей высоты барьера. Если потенциал является аналитич. ф-цией дг, то в К. п. коэф. надбарьерного отражения (доля отраженных частиц) равен
R £=-
2i
└ г \ р (х) dx
(8)
2С
cos
(5)
Интегрирование в показателе экспоненты происходит вдоль контура в комплексной плоскости ж, идущего из ближайшей к веществ, оси комплексной точки поворота :rj в ниж. полуплоскости к комплексно сопряж╦нной
точке поворота xQ. Ф-лы (7) и (8) применимы в том случае, когда показатели экспонент велики.
Надбарьерное отражение является частным случаем процесса, запрещ╦нного классич. механикой. В квантовой механике такие процессы, вообще говоря, возможны, но имеют экспоненциально малую вероятность. Классич. траектория такого процесса, т. е. решение вариационного ур-ния 6S≈ 0, существует, но оказывается комплексной. Комплексно и действие S вдоль траектории. Вероятность классически запрещ╦нного перехода определяется ф-лой
/ 2ImS w ~ exp f ≈ ≈ - ≈
где х(} ≈ классич. точка поворота. Если классически доступная область ограничена обычными точками поворота с^, -г2, то уровни энергии определяются правилами, квантования Бора ≈ Зоммерфельда:
(6)
Здесь п ≈ квантовое число, нумерующее уровни. При пароходе к классич. механике величина п играет роль адиабатического инварианта. Если одна или обе границы классич. движения/близки к особенностям потенциала, то в правой части ур-ния (6) вместо слагаемого Уз появляется не зависящая от п постоянная у, значение к-рой определяется характером особенности.
В 1913 Н. Бор (N. Bohr) постулировал правила квантования (6) и с их помощью впервые интерпретировал эксперим. спектры поглощения атомов водорода. В силу спец. симметрии квазиклассич. уровни энергии атома водорода совпадают с точными.
где действие взято вдоль классич, пути с мин. мнимой частью ImS. Вычисление Предэкспоненц. множителя требует конкретизации задачи.
Задача о переходах в квантовой системе часто решается методом адиабатического приближения, сходным с квазиклассическим. Необходимым условием применимости адиабатич. приближения является возможность разделения движений на быстрые и медленные. Так, в случае атомных соударений движение ионов можно считать медленным, а движение электронов быстрым. Если система помещена в переменное внеш. иоле, его частоты должны быть малы по сравнению с характерными частотами системы. В адиабатпч. приближении уровни энергии £,- квантовой системы можно считать параметрически зависящими от времени t. Условие адиабатичности нарушается при пересечении любых двух уровней #! и £2 (см. Пересечение уровней). В небольшом интервале времени около момента пересечения двух термов происходят переходы между ними. Вблизи точки пересечения справедлива эталонная система двух ур-ипйдля амплитуд состояний, являющая-
Ш
О
ас
и
и и
1
253
