появились два направления в исследовании дифференц. ур-ний: А. т. д. у. и теория динамических систем. В А. т, д. у, исследуют поведение решений на всей комплексной плоскости, расположение особых точек, поведение решений в их окрестности и т. д. В частности, методами А. т. д. у. изучают свойства спец. функций матем, физики. А. т. д, у. существенна для задачи о движении тв╦рдого тела вокруг неподвижной точки, задач гидро- и аэродинамики, теории солитопов и др. Методы и результаты А. т. д. у. различны для линейных и нелинейных дифференц. ур-ний.
Линейная теория. Рассмотрим систему из п ур-ний
w' = A(z)w + f(2), (1)
где w{z)=--(w1(z), -.-, ш, (г)), / (г) = (ft (г), ...,/└(*)), A (z}- ≈ матрица-функция порядка пХп с элементами а,-д (z), и скалярное ур-ние порядка п
1>-|_ . . . -j-fl,t (2) ш = /(2). (2)
Аналитичность решений. Пусть D ≈ область в комплексной плоскости г, все элементы &ik(z) и ф-ции ff(z) аналитичны в D. Если область D односвязна, то все решения системы (1) являются однозначными аналитическими в D вектор-функциями, в неодпосвязной области решения являются, как правило, многозначными. То же справедливо для ур-ния (2).
Особые точки (ОТ) и их классификация. Рассмотрим однородные ур-ния, соответствующие (1) и (2):
w' (z} = A (z)w, (3) w?<re> + яг (г) u><« -1) 4- . . . +л└ (*} w = Q. (4)
Точка s0 наз. ОТ системы (3) или ур-вия (4), если она является ОТ для одного из элементов а^ (z) (коэф. «/(z)). Пусть г0 ≈полюс, тогда система (3) имеет фундам. матрицу И7 (г) вида W(z)=<D (z) (z≈ z0) Р7 где Р≈ пост. матрица, матрица- функция Ф (z) разлагается в ряд Лорана
200 q>^(2 ≈ z0)ft, сходящийся в нек-ром кольце вида ≈≈ 00
О < | z ≈ ZQ | < R. ОТ гс наз. регулярной, если ряд Лорана для Ф (z) содержит конечное число отрицат. степеней z ≈ z0, и иррегулярной в противном случае. Это косвенная классификация: она да╦тся в терминах свойств решений, а не коуф. системы. Аналогично классифицируются ОТ ур-ния (4). Бесконечно удал╦нная точ-Kaz≈ оо наз. ОТ системы (3), если точка 2^0 ≈ особая
для системы w't = ≈ t~zA (J"1) TV, полученной из (3) заменой переменного г = 1/*; аналогично для ур-ния (4). Регулярные особые точки ≈ наиб, простой и хорошо изученный тип ОТ. Точка zn является регулярной ОТ ур-ния (4) тогда и только тогда, когда
at(z) = (z ≈ z0)-''p/(z),
где ф-ции pi (z) аналитичны в точке z0. Точка s≈ со является регулярной ОТ ур-ния (4) тогда и только тогда, когда a, (z) ≈ z~*qi (z), где ф-ции qf (z) аналитичны в точке z≈ ее. Определяющее ур-ние в регулярной ОТ z0 имеет вид
его корни наз . характеристич. показателями в точке ZQ. Если ни одна из разностей р/ ≈ p^t i £ fc, ко есть целое число, то ур-ние (4) имеет след. фундам. систему решений:
где ф-ции ф, (z) 1алитичны в точно z0. Если среди этих разностей есть целые числа, то решения могут содержать целые степени логарифма In (z≈ ZQ]. Ур-ние 2-го порядка с регулярной ОТ z0 имеет вид
^Q) (5)
где ф-ции PI(Z), pa W аналитичны в точке z0, определяющее ур-ние таково:
Р (Р ≈ 1) + PPi W + Pz (z0) = 0.
Если pi ≈ p2 ≈ нецелое число, где р, ≈ характеристич. показатели, то ур-ние (5) имоет фундам. систему ре-
шений wi(z) = (z ≈ 20}р|" tp/ (2), где ф-ции ф/ (z) аналитичны в точке zfl, tp,-(zn) = l. Если pi ≈ р2 есть целое неотрш^ат. число, то ур-нио (5) имеет фундам, систему решений
(Z) = (Z ≈ Z0)Pl ф! (2) , W2 (Z) = (Z ≈ 20)P2 <p2
11 (Z≈ Z0),
где 0 ≈ постоянная, ф-ции <р/ (2) аналитичны в точке z0,
ф/ W = l-
Примеры: ур-ние Эйри: w" ≈ zw ≈ 0, z=oo^ ≈ иррегу-
лярная ОТ; ур-ние Бесселя: z*w" -}- zu>' -\\- (z2 ≈ у2)^^0, z^O ≈ регулярная, z^co ≈ иррегулярная ОТ; гипер-геометрич. ур-ние: z (1- ≈ г) zt>" H-[y ≈ (ct- - p-hl)zj u-1' ≈ ≈ ctfiw ≈ 0 имеет регулярные ОТ: О, 1, со.
Ур-нием класса Фукса наз. ур-нис (4), вес ОТ к-рого на римановой сфере являются регулярными. Известен общий вид таких ур-ний. Все осн. дифференц. ур-ния 2-го порядка, возникающие в задачах матем. физики, можно получить иэ ур-ния с пятью регулярными независимыми ОТ; при этом разности характеристич. показателей в каждой ОТ равны L/2-
Точка z0 является регулярной ОТ системы (3), если A (z) = (z ≈ 20)~15(z), где матрица-функция И (sj ана-литична в точке z0, В (z0) ф. О, Если все разности р/ ≈ р^, i F k, где р/ ≈ собств. значения матрицы B(z0)i не являются целыми числами, то система (3) имеет фундам. матрицу вида W(z) = ($(z)(z ≈ zu}p, где Р ≈ диагональная матрица с элементами рь р2, ..., р└, матрица-функция Ф (z) аналитична в точке 20 и невырождена. Если среди этих разностей есть целые числа, то фундам. матрица содержит целые степени In (z ≈ zn). Неизвестны необходимые и достаточные условия того, что
z0 ≈ регулярная ОТ системы (3). Система w' ≈ ^
Х(з ≈ flft)"1, где ftfr ≈ разл. комплексные числа, А^ ≈ пост, ненулевые матрицы порядка пХп и ^i-f- . - . ~f -f- Л/л т^ 0, является системой класса Фукса и имеет регулярные ОТ ai, я2, ..., am, оо.
Иррегулярные особые точки. Пусть в системе (3)
где г ^ 0 ≈целое, ряд сходится при г | > Л, тогда г≈оо есть иррегулярная ОТ, и система имеет фундам. матрицу вида W (z) = S (z) exp <?(z), где Q (sj ≈диагональная матрица, элементы к-рой являются многочленами от z1/n, п > 0 ≈ целое: qfi (з) =s q^z * -j-g/iz l~ * "+
Элементы s^ матрицы S имеют вид
≈ У
-l/tt
Эти ряды сходятся лишь в исключит, случаях и являются асимптотич. разложениями нек-рой фундам. матрицы в нек-рых секторах комплексной плоскости z при s|≈j-oo. Асимптотика фундам. системы решений ур-ния 2-го порядка
да╦тся ВКБ-формулой
ехр
(см. Квазиклассическое приближение) при |: z лежит в секторе сь < arg z < р, р≈ а < 2эт/(г
Нелинейная теория. Рассмотрим систему из п ур-ний и задачу Коши
Г ___ .f i ji»^ / \\ ___ /йЧ
Теорема Коши. Пусть вектор-функция /(z, w) аналитична в окрестности точки z = z0, W ≈ WQ, тогда
т^^
X
<
77
")
}
