1tom - 0667.htm
7
возникновения А. необходим конечный нач. толчок, то говорят о ж╦стком режиме возбуждения.
В простейших автоколебат. системах можно выделить колебат. систему с затухавшем, усилитель колебаний, нелинейный ограничитель и звено обратной
2, я) такой моделью служит уравнение Ван дер Поля
О,
QU)
Q(D
'о
/г
а б Рис. 1. Энергетическая схема установления автоколебаний: а ≈ стационарный режим устойчив; б ≈ стационарный режим
неустойчив.
связи. Напр., в ламповом генераторе (генераторе Ван дер Поля, рис, 2, а, 6} колебат. контур с потерями, состоящий из ╦мкости С, индуктивности L и сопротивления Л, представляет собой диссипативную колебат. систему, цепь катод ≈ сетка и индуктивность L
Рис. 2. Схемы генераторов Ван дер Поля: а ≈ с колебагельным контуром в цепи анода; б ≈ с колебательным контуром в цепи сетки; в ≈ характеристика лампы.
к-рое получается при пренебрежении сеточными токами лампы и аппроксимации е╦ характеристики кривой, представленной на рис, 2, в. Это ур-ние записано
в безразмерных переменных, где ж=р1''и; t=(u(ltlt, H=act>0. Здесь оо0= (LC] '* ≈ собств. частота колебат,
контура, <х= (LC)lb(MSn≈RC) ≈ параметр превышения над порогом генерации (при сс<0 потеря в контуре больше, чем вносимая энергия), р=2Л/£2(/?С ≈ Л/50)~х характеризует амплитуду А., Ы ≈ козфф. взаимной индукции, 50 и Sz ≈ параметры вольт-амперной характеристики усилит, лампы. Тот факт, что А. в рассматриваемой системе описываются диф-ференц. ур-нием 2-го порядка (его фазовое пространство ≈ плоскость), сразу накладывает принцип, ограничения на вид А. В подобных системах возможны только периодич. А.
Геом. образом установившихся А. в фазовом пространстве системы служит аттрактор ≈ траектория (или множество траекторий), расположенная в огранич. области фазового пространства и притягивающая к себе все близкие траектории. Поскольку на фазовой плоскости траектории пересекаться не могут, в системах 2-го порядка может существовать лишь простой-ший нетривиальный аттрактор ≈ замкнутая траектория, к к-рой стремятся все ближайшие траектории. Такая траектория наз, предельным циклом, к-рый служит образом периодич. А. Размеры предельного цикла определяют амплитуду А., время движения изображающей точки по циклу ≈ период А., а форма предельного цикла ≈ форму колебаний. Величина \\\, характеризует нелинейность системы: чем больше нелинейность, тем больше форма колебаний отличается от синусоидальной (рис. 3), При малых ц (и. < 1}
РИС. 3. Осциллограммы a: (t)t ил-люстриру ю щ и е характер усганов- 'а ления и форму автоколебаний в системе (1) со от- ; ветственно: при и«1 ≈ клаиигар- б
C\\^L
в
образуют цепь обратной связи. Случайно возникшие в колебат. контуре малые собств. колебания через катушку L управляют анодным током лампы, к-рая является усилителем. При положит, обратной связи (т. е. при определ╦нном взаимном расположении катушек L и /,1) в контур вносится опродел. энергия. Если эта энергия больше энергии потерь в контуре, то амплитуда малых вначале колебаний в контуре нарастает. Поскольку анодный ток ламщ^ зависит от напряжения на сетке нелинейным образом (рис. 2, я), то при нарастании амплитуды колебаний энергия, поступающая в контур, уменьшается и при нек-рой амплитудо колебаний становится равной энергии потерь. В результате устанавливается режим стационарных А., при к-ром внеш. источник (анодная батарея) компенсирует все потери энергии. Т. о., автоколебат. системы должны быть принципиально нелинейными ≈ именно нелинейность не позволяет колебаниям безгранично нарастать, управляя поступлением и тратами энергии источника.
Чтобы определить характер А. и зависимость их амплитуды и формы от параметров системы, необходимо обратиться к анализу соответствующей математической модели. Для простейшего генератора (рис.
ионические колебания (а); при д?с1 ≈ силыш не-синусоидалъ н ы е колебания (б);при в д»1 ≈ релаксационные колебании
(в).
потери в контуре и вносимая в него энергия очень малы ≈ ур-ние (1) близко к ур-ншо гармонич. осциллятора, а А. близки к синусоидальным с частотой со0.
В др, предельном случае (ц 3> 1} потери в контуре и вносимая в него энергия очень велики по сравнению с энергией в н╦м запас╦нной, поэтому колебания будут сильно отличаться от синусоидальных, превращаясь в релаксационные. Анализ таких А. удобно проводить, разделяя движения на участки быстрых и медленных движений (см. Релаксационные колебания).
При изменении величины параметра р. не происходит никаких качественных изменений в структуре разбиения фазовой плоскости ур-ния (1) на траектории ≈ при любом fi>-0 в системе имеются единств. состояние равновесия (x=Q, dxldt≈0), к-рое неустойчиво, и единств, предельный цикл, к-рый устойчив. Качественные перестройки ≈ бифуркации происходят лишь при смено знака и.. Рассмотренная картина соответствует мягкому режиму возникновения А., к-рому соответствует фазовый портрет, изображ╦нный на рис. 4, а. В системах с ж╦стким режимом возбуждения колебания самопроизвольно нарастают лишь с пек-рой нач. амплитудой, т, е. когда имеется толчок с амплитудой, большей нск-рого кри-
ш ш
О
х
О
13
")
}
