пои операторы рождения и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям антикоммутации
(6)
Операторы 4-импульса Р и заряда Q Д. п. след, образом выражаются через операторы рождения и уничтожения:
-К
(операторы а\\(р] а^ (р) и а\\(р] а^(р) являются соответственно операторами числа частиц и числа античастиц в состоянии с 4-импульсом р и спирилько-стыо X).
Полная система векторов состояния строится пут╦м
действия операторов aj и а£ на вакуумное состояние
JO). Так, йх(р)|0) и ajf(p)|0) представляют собой векторы одночастичного состояния соответственно частицы и античастицы с импульсом р и спиральностью X, а вектор
описывает состояние п частиц с импульсами и спираль-ностями />1т К^ р2, Х2; ...; р;м )∙ п. В соответствии ъФер-ми ≈ Дирака статистикой вектор (8) антисимметричен относительно перестановки любой пары переменных pi, X/ (t = l, 2, ... , ft).
Лит.: Боголюбов Н. Н., ШлрковД.В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Б ь ╦ р-к е н Д. Д., Д р е л л С- Д., Релятивистская квантовая теория, пер. с англ., т. 2, М., 1078. С. М. Биленъкий. ДИРАКА УРАВНЕНИЕ ≈ квантовое (волновое) ур-ние для релятивистской частицы со спином /i (электрона, мюона, кварка и др. частиц). Получено (для электрона) в 1928 П. А. М. Дираком (Р. А. М. Dirac) из след, требований: 1) ур-ние для волновой ф-ции частицы г|>(#, t) (ос ≈ пространственные координаты, t ≈ время) должно быть линейным для того, чтобы выполнялся принцип суперпозиции состояний; 2) в ур-ние должна входить первая производная \\|э (эс, t) по времени с тем, чтобы задание -ф в нач. момент определяло волновую ф-цшо в любой последующий момент времени; 3) ур-ние должно быть инвариантным относительно Лоренца преобразований, т. е. иметь один и тот же вид во всех инерциальных. системах отсч╦та; 4) величина тр+(ж, t)X Xip(a?, t) (где +≈означает эрмитово сопряжение) должна иметь физ, смысл плотности вероятности нахождения частицы в точке х в момент времени г; 5) ур-ние для свободной частицы (массы т) должно быть построено так, чтобы состояние с импульсом р и энергией 8 было его решением только в случае, если выполняется релятивистское соотношение £2=р*-\\-т? (используется система единиц А = с=1),
Всем этим требованиям удовлетворяет система ур-ний для ф-ции ty(x)j к-рая имеет четыре компоненты и записывается в виде столбца:
3?=g x**xv= (г0)2 ≈ д;2, где g ≈ метрический тензор (зг°=$), то ур-пие имеет вид
^(^ = 0, (1)
где -у*1 ≈ Дирака матрицы, и.≈ О, 1, 2, 3 (по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Со-
пряж╦нный биспинор ^(ж)=1|1+(я) 7° удовлетворяет ур-нию
=il-y ijj вытекает ур-ние непрерывности:
Из (!) и (2) для четыр╦хмерного вектора тока /(*=
(3)
Временная компонента вектора тока равна плотности вероятности нахождения частицы в точке & в момент времени #°, а его пространственные компоненты являются компонентами тр╦хмерного вектора потока вероятности.
При данном импульсе/» Д. у. имеет четыре линейно независимых решения: два решения с положит, энергией ╦ ≈ р0 (р0= У~р'*-\\-т?) и два решения с отрицат. энергией £ ≈≈/?0. Они могут быть записаны (соответственно) в след, ковариантном виде
где спиноры и(р], и (≈ р) удовлетворяют ур-ниям
(5)
= YV-Ta/'a. « = lt 2, 3). Для сопряж╦нные спиноров имеем:
Для каждой из пар спиноров в качестве независимых. могут быть выбраны решения с определ. спиралыюстыо (проекцией спина на направление импульса) X (X≈ = ±Уг). В представлении Дирака ≈ Паули (в к-ром Y° диагональна) эти решения имеют вид:
(7)
'К '
Здесь и^ ≈ двухкомпоиелтный спинор, удовлетворяющий ур-шш
где п≈р/\\р], a (alt O2, ag) ≈ Паули матрицы, а множитель jV определяется нормировкой спинора и(±р]. Используются след, нормировки {для каждого значения
а) (
б) в(±р)и(± р)=±1,
в) и
(т ≈ точка пространства-времени). При преобразованиях Лоренца и пространственных поворотах они преобразуются как компоненты четыр╦хкомпонентного спинора (6itcnuttopa].
Ковариаптный вид Д. у. зависит от выбора метрики пространства-времени. Если метрика выбрана так, что
(9)
при этом f+y=l .
Для т≈0 решения свободного Д. у. являются собств. ф-циями матрицы у6≈ ≈ гу"?1?*?31
Р). (Ю)
- * у '"
В матричные элементы процессов со слабым взаимодей-
X
а
§:
ствием спиноры
г описывающие нетрино, входят в
633*
")
}
