1tom - 0581.htm
621
..., где £ ≈ образ точки |, многоточия обозначают нелинейные члены, а А ≈ матрица, собств. чис-.ла к-рой совпадают с YII -∙∙∙> Y«-i-
Существуют системы с глобальной секущей, у к-рых каждая траектория последовательно пересекает нек-рую поверхность бесконечное число раз. Отображение
тойчивые сепаратрисы периодич. движения х=х= совпадают, а при Л 2^0 это не так. Сепаратрисы пере секаются, возникает гомоклинич. траектория, образу ется «стохастический слой» (рис. 5), внутри к-рого боль шинство траекторий неустойчиво. Это приводит к то му, что электроны, имеющие сколь угодно близкие зна-
6-0
<Рие 2 Устойчивая Wsr и не- Рмс> 3' Отображение Пуанка-Рис. л. устойчивая wL и не- ре до Tpa╧TOpHHMi проходя-
устойчивая W1} сепаратрисы щим в окрестности седлового
∙сецлового периодического дни- периодического движения, жения L в случае положительных мультипликаторов.
Пуанкаре фактически определяет Д. с. с дискретным временем. К этому классу относятся все системы, описывающие действие периодич. возмущения на автономную систему, к-рые можно записать в виде
.£с = Л'(аг, 0), в ≈ о), где X≈периодическая по 6 вектор-функция. Фазовое пространство этой системы цилиндрическое: точки (ж, 6) и (ар, 0 + 2л) отождествляются. Глобальная секущая ≈ гиперплоскость 9 ≈ 0. В частности, ур-ния
"* * ≈ t *
х-\\-&ш х =≈ 0.x≈ А2/1] sin (kx ≈ 9), 9 = (о, (*)
описывающие движение электрона в поле двух волн,
-определяют Д. с. с глобальной секущей.
Устойчивые и неустойчивые сепаратрисы равновесия и (или) периодич. движений могут пересекаться. Траектории, принадлежащие пересечению устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных периодич. движений, паз. гетерокдиническими. Траектория, принадлежащая пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис периодич. движения L (и отличная от А), над. гомоклинической. Как правило, в е╦ окрестности имеется бесконечное множество разнообразных траекторий, среди к-рых содержится сч╦тное множество седловых периодич. движений. Наличие гомоклинич. траекторий может служить критерием существования сложных режимов в Д. с. (см. Стохастические колебания, Странный am/прлктор), а также яв-
Сепаратриса
ляться основой для объяснения ряда нелинейных эффектов. Так, напр., в системе ┬л (*) при наличии даже очень *- слабой второй волны (А 2<^1) в отсутствие потерь (ct=0) внеш. возмущение может сделать захваченные электроны прол╦тными и наобо-Рнс. 4. Фазовая плоскость о п пбъягистйтгя ГЛРП электрона в поле гармониче- P°Tl JTO Объясняется след. екой волны, образом. В отсутствие второй волны (А а≈О) траектория захваченных и прол╦тных электронов разделены се-
^^ ∙
парзтрисой (рис.4). Плоскость (я, х) может служить секущей плоскостью для траекторий системы {*) как при А 2=0, так и при AZ=^Q, Но при A2=Q траектории отображения Пуанкаре [точки последовательного пересечения в пространстве {;г, х, 9} траекторий системы <(*) с плоскостью 6≈0] лежат строго на траекториях автономной системы, в частности, устойчивые и неус-
Рис. 5- Невозмущ╦нная сепаратриса (штриховая линия) и гомо-клиническая траектория в е╦ окрестности на секущей 6^0. Пунктирной линией обозначены границы стохастического слоя,
чепия координат и импульсов внутри стохастич. слоя, могут стать как прол╦тными, так и захваченными.
Критерии поведения траекторий. При исследовании конкретных систем важно знать типы состояний равно-весият периодич. движений, поведения сепаратрис. Существуют критерии, позволяющие определить их непосредственно по ф-лам, задающим правые части систем дифференц. ур-пий. Для систем с двумерным фазовым пространством методы исследования развиты настолько глубоко, что многие задачи уда╦тся решить до конца. Примером подобного критерия для систем на плоскости служит критерий Бендиксона ≈
Д ю л а к а: если для системы сгг≈ /j (jlT xz), дг2~/2 fcn ги) существует гладкая ф-ция В (,гь #z) такая, что выражение д (Ы^)!д^^-\\- д (Bfz}/dx2 знакопостоянно в односвязной (двусвязной) области, то в этой области отсутствуют замкнутые траектории (не может быть более одной замкнутой траектории).
Для п^З ситуация значительно сложнее. Однако и здесь существуют разл, критерии, в т. ч. и критерии возникновения сложной структуры траекторий. Напр., критерий Мельникова существования гомоклинич, траектории заключается в следующем. Пусть периодическая по ( система
х= U (х, у)-\\-еи(х, у, 0» y = V (x, y)-j-ey(x, у, t)
при е=0 является гамильтоновой и имеет сепаратрису,
идущую из седла Ог в содло (92, ур-нпе к-рой х= = x0(i≈t0), y^y0(t≈t0). Тогда, если ф-ция
V ≈ vU}t
*}
≈ <x>
где в V, v, V подставлены те же аргументы, что и в «, имеет простые нули, то возмущ╦нная система имеет (гетеро)гомоклинич. траекторию, принадлежащую пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис с╦дел 01 и О2 (седла О1=О2). Напр,, система (*) всегда (при а=0, А 2=7^0) имеет гомоклинич. траекторию и стохас-тич. слой.
Критерий Шильпикова сформулируем лишь для систем с тр╦хмерным фазовым пространством.
__ г
Пусть система Л| = Х/(я1, х%, хэ), i = l, 2, 3, имеет состояние равновесия О: &=х*, характеристич. ур-ние для к-рого имеет положит, корень Я,3>0 и два комплексно сопряж╦нных: ^≈К%, Re Х1)2=а<0 и К3≈а>0. Пусть также одна из траекторий одномерной неустойчивой сепаратрисы точки О лежит на двумерной устойчивой, образуя петлю сепаратрисы Г. При этом как для данной системы, так и для всех близких к ней в окрестности Г существует сложная структура траок-
и
ш
*
X
зе ct
40'
")
}
