1tom - 0514.htm
561
а/
Вершинные модели. На шахматной доске в центрах белых граней (подрош╦тка -4) расположены спины <т/, в центрах ч╦рных граней (подрсш╦тка В] ≈ спины ид. Взаимодействуют спины четыр╦х граней, сходящихся в одной точке ≈вершине (рис. 2). Каждой конфигурации спинов на гранях с вершиной V приписывается гнибсовский статистич. вес wy (а/,о/; u.tf, ^), лаз. вершинным статистич. весом (ВСВ). Статнстнч. вес W {ст, и.} заданно!! конфигурации спинов {о, ц} па реш╦тке равен произведению ВСВ всех вершин. Предполагается, что ВСВ не меняется при независимых перестановках аргументов (а/<-+а/) и (и,д*-*ц&)-Если ВСВ не зависят от переменных и.д, и,«,, модель относится к оиисинньы ранее моделям с парным взаимодействием, т. к. на подреш╦тко А спины а/ являются ближайшими. Если ВСВ ну (от/, о~у; (Лд
представимы в виде произведения ПСВ wv (а/, оу) и
и-V (jJ-ui H&L то система спинов {a/, \ia] распадается на две пснзаимодсйствующне подсистемы с парным взаимодействием,
В о с ь м и в е р ш и и н а я модель (8 F-модсль). Спины а и ц принимают значения ± 1. Энергия взаимодействия спинов в вершине инвариантна относительно группы Z2(2)Z2:o,- ≈* ±07, fid ≈ ∙> ± ^ia :
Симметрией 8 V-модели обладает атомарный водород, адсорбированный на поверхности вольфрама.
Р╦берное представление 8 У-м одели. На р╦брах шахматной реш╦тки вводят переменные а/ = ± 1 (Z^_номер ребра). Знак переменной изображается направлением стрелки на ребре: если щ ≈ 1, то при движении в направлении стрелки ч╦рное поле должно оставаться справа, а при щ =∙ ≈ 1 ≈ слева (рис. 3). Переменную GC.J связывают с переменными a,-, ue на гранях i и и, раздел╦нных ребром l:a.i ≈ ст,-р.а. Произведение ctj по р╦брам, сходящимся в вершину V, равно единице. Восемь возможных конфигураций стрелок в вершине изображено на рис. 3. Случаи X и Y COOT-
Обобщ╦нная 8 F-м о д е л ь. Р╦берную модель мощно рассматривать вне зависимости от е╦ связи с 22 (х) ^-симметричной граневой моделью. В рамках этой модели можно описать модели Поттса, AT и модель Бакстерат если параметризовать ВСВ согласно табл. 2.
Т а П л. 2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IlOMfp
вершины
|
|
|
|
|
|
|
1
|
8
|
|
|
|
ВСВ »а подро-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
га╦тке X. . .
|
aeu
|
Q^
|
be'"-
|
be ~~ u
|
се3
|
сс~ s
|
d
|
d
|
|
|
|
ВСВ на подре-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шетке Y . .
|
ae~
|
«C~U
|
be"
|
be*
|
ce~s
|
се&
|
d
|
d
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r-
I
-4-
1 /
л-
Модель Бак стера (симметричная ЗУ-модель), w=s≈0, модель имеет точное решение. Шести-вершинная модель (6 V - м о д е л ь, модель льда), частный случай ЗУ-модели при d=0. Модель ж╦стких г е к с а г о и о в (треугольный реш╦точный газ). Узлы треугольной решетки заняты частицами или свободны. Вес занятого узла равен z, вес свободного узла равен 1. Соседние узлы не могут быть заняты одновременно. Переменная а/ описывает занятый узел (оу≈1} или вакансию (0у=0). Модель можно сформулировать как вершинную па квадратной реш╦тке, для этого треугольная реш╦тка (пунктирные линии) деформируется, как показано на рис. 4. рис. 4. Модель ж╦стких гекса-
Обобщ╦нная МО- гонов на квадратной реш╦тке.
д е л ь ж ╦ с т к и х г е к-
с а г о н о в (ЖГ) получается из предыдущей внесением в ВСВ дополнит, множители ехр (/^^аа-^Мц^ц), где L и М. ≈ новые параметры. Модель ЖГ имеет точное решение, если L, М и z связаны соотношением:
*≈
-*-
-
У
\-^
/ I
+
+ 4-
Рис. 3. Допустимые вершины 8 V-м одел и. На гранях указана одна из двух возможных спиноыых конфигураций, другая пол у частей из не╦ обращением всих знаков.
ветствуют разным типам вершин на шахматной доске, образующих подреш╦тки X и У. Каждой конфигурации стрелок в вершине приписывают ВСВ: wlt ..., ФВ. ВСВ не изменяются при изменении ориентации всех стрелок в вершине (2а@#а-симметрия). ВСВ на реш╦тках X и Y различны.
Модель ж╦стких гексагонов является предельным случаем ЖГ при L≈и), М-*≈со и фиксиров. 2.
Преобразования моделей. Можно установить соответствие между нек-рыми из описанных моделей с помощью дуальных преобразований (ДП). В самодуальных моделях ПСВ сохраняют свой вид при ДП, преобразуются только параметры взаимодействия, а ПСВ приобретают нормировочный множитель. В 8 V-модели можно произвести ДП для спинов на одной из подреш╦ток, зафиксировав их на другой. При таком частичном ДП SF-модель перейд╦т в модель AT. При а≈ Ь 87-моделъ дуальна однородной и изотропной модели AT. Совершив ДП над оставшимися переменными (полное ДП)Т можно установить соответствие между двумя дуальными бУ-моделями (переменные они, при полном ДП обмениваются подреш╦тками). Полное ДП модели AT состоит из двух последоват. частичных ДП: AT-*-8F-»-AT. Модель БВ дуальна дискретной модели Гаусса, если /(/ = 1.
Куло поиски и реш╦точный газ. Низ-кол ежащие возбужд╦нные состояния систем с симметрией 0(2) (ХК-модоль, модель БВ) разделяются на спиновые волны и магн. вихри. Последние характеризуются целочисл. переменной т (Щ, определяющей циркуляцию спинов вокруг грани с центром в R. Числа т{В) паз. зарядами вихрей. После исключения спиновых волн задача сводится к вычислению статистич. суммы двумерной кулоковской нейтральной плазмы па реш╦тке. Роль заряж. частиц играют вихри, их взаимодействие логарифмически зависит от расстояния.
Щ
a
567
")
}
