ш
X
о.
>
"^ V ≈ темп-pa D энергетич. единицах. Трансляционно инвариантное взаимодействие на правильной реш╦тке (однородная модель) может зависеть от ориентации ребра (анизотропная модель). В однородной модели на квадратной реш╦тке задают две ф-ции: Е^(ОЪ о2) па горизонтальных р╦брах и Sv(0n °~a) 31а вертикальных. В однородной модели на треугольной и гексагональной реш╦тках анизотропия характеризуется тремя ф-циями. В однородной и изотропной модели энергия парного взаимодействия одинакова на всех р╦брах. Для абелевых групп симметрии можно выбрать от/ так, чтобы парное взаимодействие е.2 зависело только от разности а/≈cry спинов, расположенных на концах ребра. В табл. 1 перечислены нек-рые группы, используемые при построении моделей.
Т а б л. 1.
566
Группа
Сзшиовал переменная (МРГОЖРСТПО значений)
и ≈группа трансляций па прямой
≈группа дискретных трансляций па прямой
О (2)≈группа плоских вращений
≈ DC(^ ЦОЙСТВИТ. ЧИ-
сла
я
целые числа
Нарушение* симметрии внеш. полем h
е, (ф) = h cos ф,
понижа-
симметрия ется до /
е,
) ≈ ≈kn2,
симметрии нарушается полностью
е.
0 ≈группа дискретных плоских вращений на угол 0,-
г ≈макс.
аиелепа подгруппа группы тетраэдра
можно пользоваться переменными
Е, =/i COS q И,
симметрия понижается до Z
симметрия нарушается полностью
р(,з> О, 1,
(2)
симметрии наруша ется полностью
Симметрия взаимодействия является решающим фактором при выборе модели для описания реальной физ. системы. Ниже привед╦н ряд моделей и указано, в каких оксгтернм. ситуациях они реализуются.
1, Гауссова модель (свободное иоле). Симметрия взаимодействия/?, Т~лъ (ф/ ≈<ру) ≈∙'"(Ф;≈фу)а/2.
Это простейшая и точно решаемая модель. Е╦ свойства используют при расч╦тах в др, моделях.
2. Дискретная гауссова модель. Симметрия взаимодействия Z,
Т ~ *е (ГЦ ≈≈ Hj) ≈ К (л/ ≈≈
≈ду)а/2. Модель используют для описания систем адсорбиров. атомов на поверхности металлов с большим отношением двух периодов подложки. М о-
дель К п б р о р ы. Симметрия взаимодействия Z. Это простейшая модель, описывающая флуктуации поворх-
Рис. 1. Модель поверхности кристалла.
л/ укапывают высоту
ностк кристалла. Целые числа
столбика над площадкой с номером / (рис. 1),
Т~ге (н/ ≈ п$ = К \\ п/ ≈ nj\\. Обе модели обладают оди-
наково!! симметрией и одинаковыми свойствами при низких темп-рах.
3. XY-м. о д е л ь (пленарный м а г н е т и к), U (1)-модель. Группа симметрии взаимодействия О (2). Спин Sy ≈двумерный единичный вектор в плоскости «л╦гкого намагничения» Яу^=(соав/, sin Оу). Взаимодействие спинов «обменное», Г~1е(А'/, Sy) =/ (SfSj) = = / cos (9/≈ Оу). ЛТК-модель применяют для описания магпетиков, пл╦нок сверхтекучего 4Не и сверхпроводников. МодельБерезипског о≈В и л л э п a (БВ) обладает той же симметрией О (2), отличается выбором
00
ПСВ ш (6/- 9/) - 2 ехР 1- J (0/ ~ в/≈2лп,7)*/2],
к-рые не имеют гиббсояской формы. Однако при низких томн-рах (/ > 1) ПСВ обеих моделей приближ╦нно совпадают. Преимущество модели БВ в е╦ матсм. простоте.
4. М о д е л и с си м м е т р и е и Zq. Дискретные варианты АТ-модели и модели БВ. Симметрия О (2) XY-модели или модели БВ нарушена до Zq. Соответствует плаыарному маг-нотику с осью анизотропии порядка q. Углы 0,- принимают дискретные значения 0/ ≈ 2з1р ijq (р .∙ ≈ Q, 1, q ≈ 1)т а ПСВ ' здесь такие же, как в непрерывных моделях БВ и XV. В моделях Поттса парное взаимодействие обладает макс, возможной симметрией для ^-компонентного спина,
≈ T~le(pfr pj) ≈ Кб p.p.-, где б ≈ символ Кронекера.
' /'
При 7 ≈ 2,3 модели Поттса являются наиб, общими Zz- и Zs-моделями, Zj-модоль известна как модель
Изинга, для к-рой в переменных Qf=(≈l}p/'i
≈ Т~1&(о[> try) = /а,-сту. При 7 > 0 модель описывает ферромагнетик, при / < 0 ≈антиферромагнстик. Возможны смешанные типы в анизотропных моделях: Jh <?v < 0. Те же правила справедливы в модели Поттса, если / заменить наУ(. Реш╦точный газ П от тс а ≈обобщение модели Поттса на случай реш╦ток с вакансиями. Для описания вакансий вводят дополнит, переменную Jy = 0,l. При *у = 0 /-и узел свободен, при iy≈1 он занят. Энергия состояния имеет вид:
Рис. 2. Типичная
иоршина шахмат-
ной реш╦тни.
взаимодействия, z,- ≈ статисти-
г. j
К и К' ≈ постоянные
ческий вес вакансии. Модель Изинга хорошо описывает нек-рыо слоистые магнстики. Модель Поттса при q ≈ 2, 3, 4 описывает плавление разл. соизмеримых кристаллов в мопослое адсорбиров. атомов. Ещ╦ одной реализацией тр╦хкомпонснтпоп модели Поттса является антисегнетоэлектрич. структура, возникающая в сплаве окиси алюминия с серебром при Г = ЗООК. Модель реш╦точного газа Поттса при q~ 3 использовалась для числ. расч╦та фазовой диаграммы криптона на графите. Модель А ш к и л а ≈ Т о л л е р a (AT) описывается двумя изинговскими спинами (//'= ± 1; о}а> = ± 1 в каждом узле у. Взаимодействие между спинами обоих сортов, расположенными в соседних узлахт имеет вид
j o(- о; 3 оно инвариантно относительно груп-
7j2'> 0"r "^ ii: o*( , o^i ≈s- ± GI и является наиб. общим для данной симметрии. Вместо параметров J0, J\\-> ^ai ^з удобно использовать значения ПСВ для четыр╦х спиновых конфигураций: и>0=ехр (∙/0+^1+^2+^3)» uff = ехр (/0-|-/,* ≈ Jj≈/^), где (i,/, k] ≈ произвольная перестановка индексов 1, 2, 3. Частными случаями модели AT являются модель Изинга (один из параметров J,- равен нулю) и модель Поттса (J}^=J2~J3). При У! -.∙-_ /2 симметрия взаимодействия повышается до Z4-
")
}
