1tom - 0267.htm
339
ро с отождсстнлепными диаметрально противоположными точками). Группа 0(3) состоит из двух связных компонент, каждая из к-рых совпадает с SO(3). В качестве; параметров удобно выбрать т.н. Эйлера углы
ф, в И Т]? .
новых координат со старыми имеет вид
, 6,
(*)
где
/10 О
^ 0 cos 0 ≈sine
\0 sin0 cosG.
При последоват. выполнении двух вращений матрицы М ik \\ к1 ремножаются.
Матрицы M,-fj образуют одно из продетавлений В, г., наз. присоедин╦нным. Матрица Л//д определяет преобразование при повороте не только самих координат, но и любых векторов: связь компонент вектора в старых координатах и в новых также определяется ф-лой (*). Существуют и др. представления В, г. Простейшее представление ≈ скалярное: скаляры вообще не прообразуются при повороте. Более сложные представления связаны с преобразованием компонент тензоров второго и более высокого рангов. В пространство дифференцируемых ф-ций/(6, ф), заданных на поверхности сферы единичного радиуса, базис представлений В. г, образуют сферические функции,. Преобразование этого базиса при вращениях описывается матрицей представления, элементами которой являются Вагнера функции.
В квантовой механике важную роль играют представления, связанные с преобразованием при повороте волновой ф-ции системы с он редел, значением углового момента J, Скалярное представление соответствует /≈О, векторное ≈ случаю J = i (в единицах £), /=2 соответствует симметричному тензору второго ранга с равным нулю следом и т. д. Представлениями с опре-дел. значением / исчерпываются все возможные представления SO (3).
Часто вводит также представления в виде матриц ч╦тного ранга, связанные с преобразованием при повороте волновых ф-ций систем с полуцелым спином. Они не являются настоящими представлениями В,г., т. к. волновая ф-ция при повороте на 2л вокруг нек-рой оси меняет знак. Причина этого в том, что полуцелый спин не описывается последовательно в рамках нерелятивистской квантовой механики, для его описания следует привлекать Лоренца группу. Однако в ряде задач, когда все релятивистские явления сводятся к наличию спина, можно рассматривать двузначные представления В.г., где каждому вращению соответствует не одна унитарная матрица, а две, различающиеся знаком матрицы. Двузначным (сишюрнмм) представлениям SO (3) соответствуют истинные представления накрывающей группы SU(2).
Произведение неприводимых представлений В, г. не является неприводимым, но может быть разложено в прямую сумму неприводимых представлений. Коэф. этого разложения (Клевша ≈ Гордана коэффициенты) используют в квантовой механике при вычислении матричных элементов раал. операторов и при построении волновых ф-ций составных систем.
Вращение на малый угол можно представить в виде
М = !-[- Tigtpia 4- ?1зф13 1 ∙ 7^зФ23, 1'ДО М ≈ матрица вращения в нек-ром представлении, ф^ ≈малые углы
поворота в тр╦х независимых плоскостях, а Ттп≈фик-сиров. матрицы, к-рые в данном представлении наз. генераторами В. г. В квантовой механике генераторы В. г. имеют наглядный физ. смысл и совпадают
с операторами углового момента J. Пекоммутативпость
В. г. отражается в том факте, что коммутатор [Jт, Jf{] отличен от нуля при т Ф п.
Отметим, что в шж-рых фиа. задачах находят применение и rpyiuiF.i О (п) с л>3. Так, группа О (4) оказалась полезной при классификации состояний атома водорода, в теории гравитации интерес представляет Связанная с группой 6> (5) &е Ситтера группа^ при попытках построения единой квантовой теории ноля используют В.г. высших размерностей вплоть до 0(32).
Лит.: Л ю 0 а р с к и и Г. Я-, Теория групп и со применение в физикс\\ М., 1!)58; Г с л ь ф а н д И. М",, М и и oi о с Р. А., Шапиро 3. Я., Представ л о нин группы иращснии и группы Лоренца и их применении, М., 1958; Юн и с Л. 11., Левин-сон И. Б., В а п а г а с В. П., Математический апгтрат теории момсптл количества дтшжонин. Вильнюс, 1!НЛ1; 11 f: т-р а ш с н ь М. II., Т р и ф о li о в К. Д., Применение теории групп в квантовой механике, М-, 1%7. А, В. Смилга. ВРАЩЕНИЯ ОБРАЗЦА МЕТОД ≈ один n;i методов рентгеновского с trip цкт урн ого анализа, ВРЕМЕНИ ОБРАЩЕНИЕ ≈ см. Обращение времени. ВРЕМЕНИПОДОБШЛЙ ВЕКТОР ≈ четыр╦хмерный воктор в пространстве-времени спец. теории относительности (Мииковского пространстве-времени], квадрат временной колшоноиты к-рого больше суммы квадратов пространственных компонент. Квадрат длины В.в. (А) в метрике Мшшожжого положителен:
Здесь Ап ≈ временная, Л1, А2, Л3 ≈пространственные компоненты (ft = 0, 1, 2, 3). С помощью Лоренца преобразований последние могут быть обращены в нуль, т. е, существует система отсчета, в к-рой данный В. в, .характеризуется единственной, временной компонентой Л0'. Поскольку величина (А)2 инвариантна при преобразованиях Лоренца, А0' ≈- У (А)'*. Очевидно, любой И. в. остается лремениподобньтм при переходе и произвольно движущуюся иперциальпуто систему отсчета.
Важным примером В. в. в релнтинистскои механике является вектор четырехмерной скорости частицы с ненулевой массой покоя: и^- =d.x^/ds ≈ касат. вектор к мировой линии x^(s} частицы ($≈интервал]. Этот вектор в метрике Минковского имеет единичную длину, и2 = 1, а система отсч╦та, » к-рой его пространственные компоненты равны нулю, является системой покоя частицы (собственной системой отсч╦та). В этой системе направление им- совпадает с направлением оси времени, С В. в. и^ связан соотношением пропорциональности другой В. п. ≈ четыр╦хмерный импульс р& = ти& (т≈ масса частицы; используется система единиц, в к-poit скорость света с = 1). Временная компонента этого вектора раина полной энергии # частицы с уч╦том энергии покоя, р'2=^р^р =£2 ≈ ^2 = т2 (р≈тр╦хмерный импульс).
В пространстве-времени М ннконского вромонигго-добным будет любой вектор, лежащий внутри светового конуса, вершина к-рого совмещена с его началом. Такой В. в. соединяет точки, отвечающие событиям, к-рые могут быть причинно связаны между собой. Соответствующий интервал (длина этого вектора) также наз. временинодобпым. д. в. Гольцов. ВРЕМЕННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ≈ см. Прочности предел.
ВРЕМЯ ≈ форма существования материи, выражающая порядок изменения объектов и явлений действительности. См. Пространство и время. ВРЕМЯ ВОЗВРАТА ≈ промежуток времени, требующийся для возвращения замкнутой системы в первоначальное состояние. Согласно Пуанкаре теореме, стационарное движение консервативной механич. системы квазипериодично, т. е, по истечении нек-рого промежутка времени, наз. В.и., система верн╦тся с какой угодно степенью точности в сво╦ первонач. положение.
ВРЕМЯ ЖИЗНИ нестабильного состояния квантов о механической системы ≈ время, в течение к-рого вероятность обнаружить систему в данном состоянии уменьшается в е раз, В. ж. характеризует скорость перехода кнантовомеханич. системы из данного во все др. состояния. Обычно поня-
Ш
О.
345
")
}
