Я0 ≈ новозмуще'нная Гамильтона функция (отвечает задаче Кеплера), #, р ≈ совокупность всех gfl, pd, //г ≈ возмущение (учитывает взаимодействие с другой планетой). Решение невозмущивной задачи (при //i=0) имеет вид:
__ /└ _ Q t j\\
Ч и ~ Ча \\^-ji r ft */i
где ау, ру ≈ произвольные постоянные, в качестве к-рнх в рассмотренном выше примере можно выбрать сскулирующии элементы. Тогда с уч╦том возмущения а/ и ру становятся ф-циями времени:
дН,
Ур-ниям (4) можно придать форму:
, ..,, #г;; О»
(5)
в к-рой явно выделен малый параметр е, содержащийся в возмущении. С помощью подходящего преобразования нач. условия всегда можно выбрать нулевыми:
= 0. Решение удобно искать в виде ряда по е:
(6)
(0 =
Подставляя (6) в (5) и приравнивая члены при одинаковых степенях е, получаем:
2/1
"ft
tj
\ О л- = о!
(7)
-S:
df
и т. д. Т. о., задача сводится к последоват. вычислению ряда интегралов от известных ф-ций.
Однако при конкретном осуществлении описанной процедуры часто возникают осложнения. Координата планеты q(t) в нулевом приближении является периодич, ф-цией времени, к-рая содержит осн. гармонику с частотой о>≈ 2л/Т (где Т ≈ период обращения планеты) и колебания, отвечающие высшим гармоникам с частотами п/ш/. Поэтому нес ф-щш, входящие в задачу, представляются в виде рядов Фурье, а ур-ния (4). (5) должны быть написаны для коэффициентов таких рядов. Расстояние между планетами r(i), входящее в возмущающие силы, будет содержать комбиниров. частоты
вуШу±и/(о/, где пу, пу пробегают все целые значения. Среди них будут встречаться малые частоты, если осн.
частоты toy и со/ являются кратными. Кроме того, в возмущающей силе всегда есть член, соответствующий нулевой гармонике, к-рый не зависит от времени. Он отвечает среднему действию возмущающей силы за времена, большие по сравнению с периодами обращения планет.
Возмущения, не зависящие от времени, согласно ф-лам (7), дают поправки к оскулирующим элементам, линейно растущие со временем. Такие возмущения наз. вековыми. {Существует, однако, теорема, что большая полуось эллипса а не содержит вклада от вековых возд1ущений,} Для отд. простых ситуаций оказывается возможным доказать, что суммирование вековых возмущений во всех порядках сводится к смещению осн. частот на величины, пропорциональные возмущающим силам, и не приводит при t≈>-oo к большим искажениям траекторий планет.
Особого рассмотрения требуют также тс члены в возмущающей силе, к-рые содержат комбиниров. частоты. Эти члены наз. критическими. Они тоже приводят к
нарастающим со временем поправкам к невозмущ╦нному движению, С ними связано, в частности, явление т, н. либрации ≈ колебание больших полуосей эллин-сов или к.-л. др. параметров, характеризующих орбиту. Либрация часто встречается в системах планета ≈ спутник.
Правильный уч╦т вековых возмущений и либрации позволяет с хорошей точностью аппроксимировать решение задачи трех тол в небесной механике тригономет-рич. рядами, что соответствует периодич. движению. Погрешность, даваемая такими рядами за промежутки времени ^1000 лет, меньше точности астр, наблюдений. Существование таких решений гарантирует устойчивость планетной системы для промежутков времени ^10И лет. Но точное (при всех временах) представление решения в виде тригонометрич. рядов невозможно [А. Пуанкаре (Н. Poincare), 1892]. Поэтому неизвестно, насколько сильно изменится Солнечная система за времена £3>1G6 лет, в частности не окажутся ли планеты в опасной близости к Солнцу.
Всегда существуют, однако, частные решения, отвечающие периодич. движению. Если представлять наборы параметров (нач. значений координат и скоростей), характеризующих движение, в виде точек на прямой, то частные периодич. решения будут располагаться на ней с плотностью, соответствующей распределению рациональных чисел (Пуанкаре, 1899). Поэтому в произвольной близости к произвольно заданным нач. значениям координат и скоростей всегда существуют такие нач. значения, к-рые отвечают периодич. решению.
Но движение может не быть периодическим, и тем не менее параметры орбит будут оставаться огранич. ф-циями времени, т. е, планеты не уйдут на бесконечность. Именно такая ситуация при довольно слабых ограничениях на нач. условия реализуется в Солнечной системе (В, И. Арнольд, 1901).
Проблема устойчивости движения в классической
механике
*
Ещ╦ одним важным аспектом В, т. в классич. механике являются возмущения траекторий, вызванные малым изменением нач. условий. Здесь следует отметить выяснение проблемы устойчивости движения по первому приближению В. т. При нек-рых, довольно слабых ограничениях имеются след, утверждения (А. А. Ляпунов, 1892). Пусть изменение нач. условий характеризуется малым параметром е. Если поправки к решению, полученные в первом приближении по е, не содержат экспоненциально нарастающих по времени членов, то движение в целом будет устойчивым. Если такие члены содержатся в нервом приближении, то движение окажется неустойчивым. Т. о., отброшенные члены, соответствующие высшим приближениям по е, не влияют на устойчивость движения.
Теория возмущений в квантовой механике
Рассмотрим примеры, характеризующие методику В. т. в квантовой механике,
Стационарная В. т. Пусть кваптовомсхаиич. система находится в стационарном состоянии, а энергия возмущения не зависит от времени. Осн. задачей здесь является нахождение уровней энергии 8п и волновых ф-ций tyn возмущ╦нной системы. Эта задача аналогична уч╦ту вековых возмущений в классич. механике. Ожидается, что энергия (частота) нач. состояния изменится пропорционально возмущению и, кроме того, изменится форма волновой ф-ции. Аналитически решение данной задачи выглядит след, образом. Стационариоэ Шр╦дингера уравнение имеет вид:
^, = £Л» (8)
X
м Q
где Я0 ≈ гамильтониан нулевого приближения, U= =еУ ≈ оператор возмущения. Полный набор состоя-
")
}
