ш 3
X X
О
аргументы во всей области D их определения. Эти условия могут быть интегральными:
или алгебраическими: С (/у, dfj/dxf)=Q. В обоих случаях задача сводится к обычной введением множителей Лагранжа К. В первом случае переходят к новому функ-
ционалу F=^P-\\-KK, решают ур-ния Эйлера ≈ Лагранжа, а множитель л находят из условия К=0 на экстремали. Во втором случае вводят новый функционал
' = F
s
(х) dxj_. . .dxn
и неизвестную ф-цию Я. (х) находят из ур-ний Эйлера ≈ Лагранжа,
В. и. используют в разл. областях физики. Фактически все законы» формулируемые обычно в локальном дифференц. виде, можно сформулировать на ьариац. языке. Фундам. примером является наименьшего действия принцип в классич. механике. Здесь роль переменной х играет время г, меняющееся в заданном интервале [а, 6J, функциональными аргументами являются
обобщ╦нные координаты Q/ (г), а называемый дей-
ГЬ ствием функционал 5[7/]=\\ Jf(7/. Qj) dl зада╦тся
Лагранжа функцией Jif. Согласно принципу наименьшего действия, движение с заданными граничными условиями для q/(a) и qj (Ъ) осуществляется по экстремали функционала S. В физике используют также др. вариац, принципы.
В задаче о движении материальной точки во внеш. поле можно интересоваться только формой траектории без детального знания временной зависимости q(t]. В этом случае используется принцип минимизации укороченного действия, или принцип Молер-т ю и: при задании лотенц. энергии U, полной энергии Е, начальных и конечных точек траектории вся траектория определяется минимизацией функционала
где dl ≈ элемент длины траектории, а д,- и г/у ≈ начальная и конечная с╦ точки. Принцип Мопертюи является следствием принципа наименьшего действия и допускает обобщенно на сложные механич. системы.
Аналогом принципа Моперткш в оптике служит Ферма принцип наименьшего времени; в среде с переменным показателем преломления п траектория луча света
рл
такова, что интеграл \\ fdl/n(q) минимален. Иначе
*9,-
говоря, луч света избирает себе траекторию, для прохождения к-рой требуется мишш. время.
Последний пример ≈ вариац. принцип Р и т ц а в квантовой механике. Задачу о решении ур-ния Шр╦-
дингера Hty(q) = Ety(q) можно сформулировать как задачу о минимизации функционала J≈ \ $*fftydqi\\pu
дополнит, условии \\ -^Ptydq ≈ l (здесь q ≈ набор обобщ╦нных координат). Принцип Ритца ≈ незаменимое орудие расч╦та сложных атомов и ядер, когда точное решение ур-ния Шр╦дингера невозможно и задачу решают минимизацией функционала J на нек-ром классе пробных ф-ций.
Лит.: Кура и т Р., Гилъбярт Д., Методы математической физики, иер. с нем., т. 1, 3 изд., М.≈ Л., 1051; Л а в-р е н т ь е в М. А., Л ю с т ti p н i-т к Л, А.. Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.≈ Л,, 1950: Арнольд В. И,, Математические методы классической мехдники, 2 изд., М., 1979. А. В. Смилга. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ ≈ поло-зкения, устанавливающие свойства, к-рыми истинное, т. е. фактически происходящее под действием задан-
ных сил, движение (или состояние равновесия) ме* ханич. системы отличается от всех е╦ кинематически возможных движений (состояний), и позволяющие получить в качестве следствия ур-пия днижения или условия равновесия этой системы. Ряд В. н. м. выражает эти свойства в видет к-рый позволяет распространить принцип на др. области физики. Этим обусловливается важность В. п. м. для всей теоретич. физики. Практич. ценность В, п, м. заключается в том, что при применении их к решению задач механики из ур-ний движения или условий равновесия исключаются наде-р╦д неизвестные реакции соответствующих связей.
Устанавливаемое В. п. м. свойство движения сводится во многих случаях (но не всегда) к тому, что для истинного днижения системы нек-рая физ. величина, являющаяся ф-цисй кинематич, и динамич. характеристик этой системы, имеет экстремум (минимум или максимум). При этом В. п. м. могут отличаться друг от друга видом той физ. величины (той ф-ции), к-рая для истинного движения является экстремальной, а также особенностями механич. систем и классами тех движений, для к-рых это экстремальное свойство имеет место. По форме В. п. м. можно разделить на дифференциальные, устанавливающие, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый данный момент времени, и интегральные, устанавливающие это различие для перемещений, совершаемых системой за конечный промежуток времени. В рамках механики дифференц. принципы имеют более общий характер, т. к, они приложимы к системам с любыми голономныыи и неголономными связями (см. Голопом-ная система^ Леголономная система). Интегральные принципы в их наиб, компактной форме приложимы только к голономным и даже только к консервативным системам. Однако выражение их через энергию и инвариантность по отношению к преобразованиям координат системы делает эти принципы приложимыми далеко за пределами классич, механики.
К осн. дифференц. В. п. м. относятся: 1) возможных перемещений принцип, устанавливающий общее условие равновесия механич. системы с идеальными связями, согласно к-рому положения равновесия отличаются от всех др. положений системы тем, что только для положений равновесия сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю; 2) Д'Аламбера ≈ Лагранжа принцип, устанавливающий общее свойство движения механич. системы с идеальными связями, согласно к-рому истинное движение системы отличается от всех кинематически возможных тем, что только для истинного днижения сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна в каждый момент времени нулю. Равенство, выражающее этот принцип математически, наз, ещ╦ общим ур-нием механики (см. Динамика). К др. дифференц. В. п. м. относятся Журдена принцип, принцип наименьшего принуждения (см. Гаусса принцип) и принцип наименьшей кривизны (см. Герца, принцип).
К интегральным В. п. м, относятся т. н. принципы наименьшего, или стационарного, действият согласно к-рым для данного класса сравниваемых друг с другом движений истинным является то, для к-рого физ. величина, наз. действием, имеет за время перемещения системы минимум (точнее, экстремум). Принцип наименьшего действия чаще всего применяется в форме Гамильтона ≈ Остроградского или Моперткш ≈ Лагранжа. В принципе Гамильтона ≈ Остроградского сравниваются движения, происходящие между двумя данными конфигурациями системы за один и тот же промежуток времени, а иод действием в простейшем случае понимается определ. интеграл но времени от разности между кипетич. и потенциальной энергиями системы. В принципе Молертюи ≈ Лагранжа сравниваются движения консервативной системы между двумя данными ее кон-
")
}
