частиц в разл. точках (rt и rz) зависит от разности потенциальных энергий частиц в этих точках:
≈- ≈ охр ! ≈ F
hT
В частном случае отсюда следует барометрическая формула, определяющая распределение плотности числа частиц в ноле тяжести над земной поверхностью в зависимости от высоты Я. В этом случае U(H}=mgH, где $ ≈ ускорение силы тяжести, т ≈ масса частицы, Н ≈ высота над земной поверхностью.
Для смеси газов с частицами разд. массы Б. р. показывает, что распределение парциальных плотностей частиц для каждого компонента не зависит от др. компонентов. Для газа во вращающемся сосуде U (г) есть иоле центробежных сил U (г)=* ≈ mto2r/2t где со ≈ угловая скорость вращения. На этом эффекте основано разделенно изотопов и высокодисперсных систем на центрифуге.
Для квантовых идеальных газов состояния отд. частиц определяются не импульсом и координатой, а кнан-товымп уровнями энергии £,∙ частицы в поле U (г).
В этом случае ср. число гц заполнения г-го квантового -состояния равно
[0*-£,-)/*Г)],
(3)
где и,≈ химический потенциал, определяемый из условия, что суммарное число частиц на всех квантовых уровнях равно полному числу частиц в системе:
If л У = Л*. Формула (3) есть продельный случай Ферми, ≈ Дирака распределения и Возе ≈ Эйнштейна распределения при таких темп-pax и плотностях, когда ср. расстояние между частицами значительно больше длины волны де Бройля, соответствующей ср. тепловой
скорости (V/N) /3 » k/y^mkf, т. е. когда нет квантового вырождения газа.
Лит. см. при ст. Болъцмана статистика. Д. Н. Зубарев. БОЛЫЩАНА СТАТИСТИКА ≈ статистика систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц (т. е. классич. идеального газа); частный случай статистики Гиббса для классич. идеального газа. Предложена Л. Больцманом (L. BoLtzmann) в 1868≈71. В более общем смысле Б. с.≈ предельный случай квантовых статистик идеальных газов (Базе ≈ Эйнштейна статистики и Ферми ≈ Дирака статистики] для газа малой плотности, когда можно пренебречь квантовым вырождением газа, но следует учитывать квантование уровней энергии частиц.
Основа В. с,≈ распределение частиц идеального газа по состояниям. Поскольку частицы не взаимодействуют между собой, гамильтониан системы можно представить в виде суммы гамильтонианов отд. частиц и рассматривать состояния не в фазовом пространстве всех частиц, как в статистич. механике Гиббса, а в фазовом пространстве координат и импульсов одной частицы. Это фазовое пространство разбивается на большое число малых ячеек с таким фазовым объ╦мом G/, чтобы каждая из них включала много близких состояний. Это возможно, т. к. уровни энергии- макроскоиич. системы расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению с увеличением числа частиц N и объ╦ма
-тела V (отношение N/V принимается постоянным). Состояние одной частицы соответствует опродел. ячейке фазового пространства, а состояние всей системы из ./V частиц ≈ набору чисел Nt-, характеризующему распределение состояний частиц по ячейкам G/. Фазовый объем ячеек выражается и единицах Л3, гдо h ≈ Планка постоянная, а число 3 соответствует числу степеней свободы одной частицы. Согласно квантовой механике, координату и импульс частицы можно определить лишь
∙с точностью, допускаемой соотношением неопредел╦н-костей* отсюда ╧ ≈ миним. размер фазового объ╦ма одной частицы (до создания квантовой механики единица фазового объ╦ма выбиралась произвольно). Объ╦м
С/, выраженный в единицах А3, имеет смысл максималь-но возможного числа макроскопич. состояний в ячейке. В Б. с. предполагается, что частицы распределяются по разл. состояниям совершенно независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различ-ньтх возможных микроскопия, состояний, соответствую-щих заданному макроскопич. состоянию газа с энерги-ей £ и числом частиц N (статистический вес W^ мак-
росостояния по Больцману), определяется числом разл, способов, к-рыми можно распределить ^V частиц по состояниям в ячейках размером G/ при Nt- частиц в каждой ячейке:
где учитывается, что перестановка частиц в пределах каждой ячейки не меняет состояния. При правильном больцмановском подсчете статистич. веса нади, однако, учитывать, что перестановки тождественных частиц не меняют состояния, и поэтому Wr следует уменьшить
в ЛМ раз:
Это правило подсч╦та состояний, предложенное Гибб-сом, лежит в основе Б. с. При таком определении статистич. веса для энтропии системы £ получим:
В основе статистической физики лежит предположение, что все микроскопии, состояния, реализующие данное макроскопич. состояние, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорциональна величине статистич. веса W. В статистич. равновесии энтропия максимальна при заданной энергии и числе частиц, что соответствует наиб, вероятному распределению. Егот следовательно, можно найти из условия икстремума S (или W] при фиксированных § и TV. Из того условия следует Болъцмана распределение для ср. чисел заполнения г-го состояния с энергией £,-:
*ч≈ G. -
где ц ≈ химический потенциал, Т ≈ абс. темн-ра. Энтропия идеального газа, подчиняющегося Б. с,, равна
S - 2; (Ni In Gi≈In ЛГ/I) =≈S^. In __L ,
т. к. lnNi\\ ж Nj\\n.(Ni/e).
Б. с. применима к разреженным атомным и молекулярным газам и плазме, но для плотных газов и плазмы, когда существенно взаимодействие между частицами, надо применять не Б. с., а статистику Гиббса, т. е. Гиббса распределение. Б. с. применима к электронам в невырожденных полупроводниках, для металлов надо учитывать вырождение и применять статистику Ферми ≈ Дирака.
Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Статистическая физика, ч. 1, 3 над., М., 1976, § 37, 38; М а и о р д ж., Г е н (I е р т - М а и е р М., Статистическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1980, гл. 7; ЗоммерфельдА., Термодинамика и статистическая физика, пер, с нем., М., 1955, § 21).
Д. Я. Зубарев,
БОЛЫЩАНА //-ТЕОРЕМА ≈ одно из важных положении кинстич. теории газов, согласно к-рому для иэп-лиров. системы в нерапновесном состоянии существует //-функция Больцмана, точнее ≈ функционал, зависящий от ф-ции распределения частиц по скоростям и координатам и монотонно убывающий со временем. Б. Я-т, установлена Л. Больцманом (L. Bolt7mann) в 1872. Я-функция равна энтропии газа с обратным знаком, дел╦нной на £; следовательно, Б. //-т. выражает закон возрастания энтропии для изолиров. системы, В ранновесном состоянии Я-функция постоянна.
Q
LU
223
")
}
