Табл. 2. ≈Бифуркации смены устойчивости периодических дпижепий
U
з:
на
ДО
ДИИ
1. Бифуркации удвоения периода
11 ос л Р бифуркации
МуЛЪТИШГИ-
"каторы
Модель
НО.ТШНРЙНЫЙ осциллятор, параметрически иоубумшн-емый периодич. силой, напр.:
.X ≈ /iJC ∙)-( 1 + Ь COS 0)
Комментарии
Бесконечная цепочка бя-фуркацип уцтм'ишг периода≈один из наиб, распростран╦нных путей позник-нопгнин стохастич. поведении в реальных с истоми х
Рождение двух-частотных колебаний
Генератор Ван дер Поли иод действием ынсш. силы
** +
Я: ≈р. (1 ≈ JC2) х + х ≈ А sin9
При а=лл,3 (где п, q ≈ лш"' числа, а афО\\ я; 2я/3; я/2) рождается тор, на н-ром располагаются устойчивое и неустойчиво? пгриодич. движения. При а=0; я; 2я/Я; л, 2 рождения гладкого тора иг происходит и ситуации более-сложна
3. Рождение пары устойчивых ш'ри-одических длишс-ний
Выну надеины г коле Пани я упругий линейки под деист вины малой периодич. силы
Такая бифуркации
ТОрНЦ ДДЯ НСЛИН^ЙНЫХ СИСТЕМ, для которых зависимость потенциальной энергии от переменной имеет два минимума, находящихся под действием внеш. силы,
мого периодич, движения за период Т (см. также параметрический резонанс и Устойчивость колебаний). Математически мультипликаторы ≈ это собстн. значения матрицы esp HT, характеризующей решение Z(t) ≈ C(t) елр ПТ линеаризованной системы в окрестности исследуемого периодич. движения x=f(t4 и,), f(t-\\-T, u,)=/(*, ц). Здесь R постоянная, а С(t) ≈ ле-риодич. матрица, C(t--T)=C(l). В автономной системе, оиисынаемон ур-ни>1.\\ш, явно независящими от времени, один из мультипликаторов всегда равен единице, ноотому Б дальнейшем говорится только об остальных. Если все остальные мультипликаторы по модулю мвиь-ше 1, то исходное периодическое движение устойчиво. L>., связанные с потерей устойчивости, происходят при значениях параметров системы, при которых один или несколько из них равны по модулю 1 (табл. 2).
В с.чучао равенства одного из мультипликаторов ≈1 осуществляется т. н. Б. удвоения периода (табл. 2, строка 1). Она характеризуется тем, что в бифуркац. момонт малое по модулю возмущение чврез период просто меняет знак, а череа следующий оборот в линейном приближении происходит замыкание траектории. В результате ;)той Б. ии исходного периодич, движения рождается устойчивое периодич. движение приблизительно удвоенного периода, а исходный режим становится неустойчивым. Появлению днухчастотпых колебаний в физ. системе отвечает Б. рождения двумерного тора из периодич. траектории (табл. 2, строка 2). В системах, зависящих от двух параметров, или в системах с ой-родел. типом симметрии встречается Б., при к-рой рождается сразу 2 устойчивых предельных цикла (табл. 2, строка 3).
Б., в результате к-рых исчезают статич. или периодич. режимы (тт е, состояния равновесия или предельный циклы), могут приводить к тому, что динамич. система переходит в режим стохастических колебаний. Термин «Б.» иногда используют для обозначения перестроек таких объектов, к-рые не .меняются во Бремени; в этом случае употребляется также термин «катастрофа» (см. Катастроф теория).
Лит.: Андронов А. А., Витт А. А., X а и -нин С. Э.└ Теория колебаний, 3 и;'-д,, М., 1981; Теории бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 19ti7; А р-н о л ь л Р. И., Допплнитрльные глакы теории оОык но венных дифференциальных ураннений, М., 1У78; его же, Теория катастроф, 2 ияд., М., НШ; М а р с д е н Д., М а к - К р а-к ? и М,, Бифуркации рон^дптстя цикла и е╦ приложения, пер. п англ., М., 19й(); X а к о и У., Синергетика, пер. с англ., М., 1!╧0; Р а 0 и н о и и ч М. И., Т р У б е ц к о и Д. И., Введение в теорию колебаний и ноли, М., 1984.
В. С, Афраймцвич, М. И. Рабинович.
БИЭКСИТОН ≈ связанное состояние двух жситоиов: (iipocTeiinuiii экситонпый комплекс), напр. Френкеля экситопы или Ваиье ≈ Momma экситпон-ы* Л., образованные из двух УКСИТОНОВ Френкеля, паблто* да л и с г» в антифсрромагнитнон а- модификации кристаллического 02 [1]. Наиб, исследованы Б. Ванье ≈ Мотта [2], Эти четыр╦хчастичные образования за1шмают но энергии связи промежуточное положение между моле-
кулой Б.
Н
п
б и п о ио
и т р о н и с м (см. Позитроний), существует ио всей области значении параметра
а^т^/^д (тэ, "'д ≈ эффективные массы электрона и
4 ^
дырки). Предполагается, что ;«э</Нд)5 т. е, 0<а< 1. При этом его энергии связи £Б монотонно возрастает
от #Б=*?0,02 с?эк (й"эк ≈ анергии связи каждого экси-
тона Ванъо ≈ Мотта) при a=i (бипозитроний) до £ ~0,35 £ък при а≈ ^0 (молекула Н2), По-видимому,
при а~1 величина ^Б может значительно увеличи-
ваться за сч╦т взаимодействия частиц черен т. н. в и р т у а л ь н ы е ф о н о н ы (т, е, через деформацию реш╦тки, вызываемую частицами, входящими в В.), а также за сч╦т короткодействующего притяжения между электронами и дырками. Б. в кристаллах, в которых разрешены прямые пзлучателыше (бес-фононные) переходы в осн. состояние экситона, обнаруживаются по спектрам люминесценции, отвечающий переходам Г>. ≈ >- экситои; они наблюдаются также в спектрах поглощения, соответствующих обратным переходам экситон -*- Б. Высокая интенсивность линннг т. е. большая вероятность этих переходов, обеспечивается тем, что им отвечает гигантская сила осциллятора, к- ран в расч╦те на один рождающийся Б. примерно рав-
")
}
